張勝黎

浙江省杭州市艮山中學(xué) (310003)

20世紀(jì)有影響的科學(xué)家和哲學(xué)家邁克爾·波蘭尼在1958年發(fā)表的全面體現(xiàn)其哲學(xué)思想的著作《個(gè)人知識(shí)》中，對(duì)傳統(tǒng)的主客觀分離的知識(shí)觀進(jìn)行了無情的批判. 他認(rèn)為知識(shí)是客觀性與個(gè)人性的結(jié)合，具有默會(huì)的成分，在一定程度上是不可言傳的，由此產(chǎn)生了“默會(huì)知識(shí)論”.相較于能言傳的，可以用文字等來表述的明確知識(shí)，默會(huì)知識(shí)是指不能表述的那部分知識(shí)，且有著不同于明確知識(shí)的顯著特征：

(1)默會(huì)知識(shí)是鑲嵌于實(shí)踐活動(dòng)之中的，是情境性和個(gè)體化的，常常是不可言傳的；

(2)默會(huì)知識(shí)是不能以正規(guī)形式加以傳遞的；

(3)默會(huì)知識(shí)是不能被加以批判性反思的.

雖然默會(huì)知識(shí)有著不同于明確知識(shí)的顯著特征，但并不表示兩者是對(duì)立的，兩者的關(guān)系可以用下圖的冰山模型來表示：

“知識(shí)的冰山模型”反映在數(shù)學(xué)上，說明了數(shù)學(xué)事實(shí)和原理知識(shí)的學(xué)習(xí)只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的冰山一角，還包含數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，也即默會(huì)知識(shí)的“激活”，而這種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程主要體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型、通過由此及彼的聯(lián)想感悟事物的本質(zhì)，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.

1．學(xué)會(huì)觀察，激活默會(huì)知識(shí)

任何聯(lián)系實(shí)際的科學(xué)研究都開始于觀察，抽象的數(shù)學(xué)也不例外，數(shù)學(xué)中的許多公理來源于對(duì)實(shí)際的觀察.通過觀察，使隱性知識(shí)轉(zhuǎn)化為顯性知識(shí)，從而激活默會(huì)知識(shí).

例1 比較下列各數(shù)的大小：

圖1

圖2

本題通過觀察函數(shù)圖像的變化特征，對(duì)一些表面上似乎不同的事物，能迅速地找出它們之間的相互聯(lián)系，透過表象抓住本質(zhì)，這直覺判斷的背后體現(xiàn)了科學(xué)的洞察力.直觀想象也是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，它借助幾何直觀去感知事物的形態(tài)與變化，并利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題.

2．實(shí)踐體驗(yàn)，激活默會(huì)知識(shí)

數(shù)學(xué)家G·波利亞指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，從這方面看數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)性歸納科學(xué).”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的問題情境中探索，在操作、觀察、討論、交流、歸納、猜想、分析和整理的過程中，理解數(shù)學(xué)問題的提出、數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得與驗(yàn)證以及數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，讓學(xué)生養(yǎng)成參與實(shí)踐、自主探索、合作交流等積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使原來較隱蔽的關(guān)系浮出水面，從而激活默會(huì)知識(shí).

例2 下列兩個(gè)判斷是否正確：

(1)如果一個(gè)二面角所在的兩個(gè)半平面分別與另一個(gè)二面角所在的兩個(gè)半平面垂直，那么這兩個(gè)二面角的大小相等或互補(bǔ).

(2)若∠BPC與平面α交于B,C兩點(diǎn)，點(diǎn)P在平面α外，點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影為A，則∠BPC<∠BAC(即空間角小于射影角).

模型1：對(duì)于(1)，很多學(xué)生受平面幾何中“一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，這兩個(gè)角的大小相等或互補(bǔ)”的啟發(fā)，用紙張做出了如圖3、圖4兩個(gè)模型，其中γ⊥α,δ⊥β，得出了“命題正確”的判斷.

模型2：部分學(xué)生考慮到從平面到空間不能作簡單的類比，而是以批判的眼光，作更深層次的思考.學(xué)生類比教室的門口,做出了如圖5的模型，當(dāng)門轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，γ與δ組成的二面角的大小是變化的，但它始終能保證γ⊥α,δ⊥β的關(guān)系成立，從而得出了“命題錯(cuò)誤”的判斷.

圖3 圖4 圖5

模型3：對(duì)于(2)，多數(shù)學(xué)生做出了如圖6的模型，并得出了“命題正確”的判斷.

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，如圖7，在ΔPBC中，使PA⊥BC，BA>CA，當(dāng)PC以PA為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C′的過程中，∠CAB由180°逐漸變化到0°，∠CPB也逐漸變化到∠C′PB，容易觀察到∠CAB與∠CPB的大小經(jīng)歷了由大于、等于到小于的漸變過程，從而得到了∠CAB與∠CPB的大小關(guān)系不確定的正確判斷.

圖6 圖7

本例通過操作實(shí)驗(yàn)，以批判的眼光，作出了正確的判斷.對(duì)于圖5和圖7的模型，只要我們把問題的真相揭示出來了，學(xué)生就能作出正確的判斷.這就是說，兩個(gè)模型在真相沒有揭示之前，相對(duì)于學(xué)生來說是默會(huì)知識(shí)，通過操作確認(rèn)，把默會(huì)知識(shí)激活了，就轉(zhuǎn)化為了明確知識(shí).

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方式，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)相比，不僅需要?jiǎng)邮?，更需要?jiǎng)幽X，學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作去得到一些猜想或假設(shè)，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程.在數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的形成過程中，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，能通過抽象、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣.

3．聯(lián)想發(fā)散，激活默會(huì)知識(shí)

想象以客觀的資料為依據(jù)，但又不拘泥于實(shí)際而有極高的抽象性，它是直覺的深化與外延的拓展，人們憑著想象來猜測(cè)研究對(duì)象的性質(zhì)及其變化.客觀實(shí)際好比空氣，想象力好比翅膀，只有兩方面緊密結(jié)合，才能飛得高、飛得快、飛得遠(yuǎn).在分析觀察時(shí)，由于某事物的啟發(fā)，聯(lián)想到其他事物，導(dǎo)致新的發(fā)現(xiàn)，是激活默會(huì)知識(shí)的有效途徑.

圖8

例3 (2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試15題)一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A，且OA=a.折疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)A′剛好與A點(diǎn)重合.這樣的每一種折法，都留下一條折痕.當(dāng)A′取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合.

這個(gè)結(jié)果顯然是正確的，但這個(gè)結(jié)果肯定有違命題者的初衷，因?yàn)樗鼪]有說明軌跡的形狀及區(qū)域范圍.那么怎樣來得到軌跡的顯性表示呢？

揭示本質(zhì)：在高考模擬訓(xùn)練中，常研究折痕與OA′交點(diǎn)P的軌跡，由對(duì)稱性可知，PO+PA=OA′=R，即點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，R為長軸長的橢圓.設(shè)M為折痕上任一點(diǎn)，則MO+MA≥OA′=R，即點(diǎn)M的軌跡是上述橢圓的外部及邊界.容易證明OP,AP與折痕的夾角相等，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，折痕所在直線與橢圓的邊界相切.

圖9

本例通過聯(lián)想發(fā)散，揭示了折紙模型背后的數(shù)量關(guān)系，激活了默會(huì)知識(shí)，得到一般化的數(shù)學(xué)結(jié)論.在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題，理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)框架，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力.

無數(shù)實(shí)踐證明：“科學(xué)的創(chuàng)新根源于默會(huì)的力量”，社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的信息化和全球化的趨勢(shì)，對(duì)人的創(chuàng)新精神培養(yǎng)和創(chuàng)造型人才的成長，提出了前所未有的緊迫要求.研究性學(xué)習(xí)提倡把知識(shí)放到一定的情境中，使書本知識(shí)重新被“激活”，使知識(shí)恢復(fù)到鮮活的狀態(tài)，只有這樣的知識(shí)，才能激活、喚起學(xué)生的內(nèi)在需要、興趣和信心，才能提升他們主動(dòng)探求的欲望.由此可見，默會(huì)知識(shí)的激活對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺.

[1]王梓坤，科學(xué)發(fā)現(xiàn)縱橫談[M].北京師范大學(xué)出版社，1993年10月第1版.

[2]葉立軍，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)[M].高等教育出版社，2015年6月第1版.

[3]史寧中，數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京師范大學(xué)出版社，2016年10月第1版.