王淼生 李寅童

福建省廈門第一中學(xué) (361003)

線性規(guī)劃在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位，其本質(zhì)就是最優(yōu)化的具體模型之一，是高考及競賽中的重點、熱點、難點，查考形式以選擇題、填空題居多．隨著高考考查重心從知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變，因此線性規(guī)劃試題對能力要求越來越高．線性規(guī)劃相關(guān)問題常常成為命題專家在截距、斜率以及距離(兩點間距離與點到直線的距離)等知識網(wǎng)絡(luò)交會處命制高質(zhì)量試題的青睞區(qū)．然而，線性規(guī)劃相關(guān)試題知識點多、變形技巧高、解答靈活性強、思維跨越度大，這些特點導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)解答不嚴(yán)謹(jǐn)，或?qū)忣}有偏差，甚至有些問題無從入手．坦率地講，有些試題連教師都出現(xiàn)瑕疵，甚至束手無策．本文擬通過具體案例來剖析出現(xiàn)錯誤的原因及應(yīng)對策略，不當(dāng)之處，敬請批評指正．

1.因任性習(xí)慣而導(dǎo)致錯誤

案例1 若α、β是2x2+2ax+b=0兩根，α∈[0，1]，β∈[1，2]，則a2+b2的最小值為 ．

圖1

2 因忽視“約束”而導(dǎo)致錯誤

圖2

3 因概念不清而導(dǎo)致錯誤

圖3

值得指出的是：案例3還有一種典型的錯解，誤以為z的最大值就是直線截距的最大值．其實由變形可得y=ax+(-z)，由此可知z的最大值恰好是直線y=ax在平移過程中截距的最小值，這是學(xué)生剛剛接觸線性規(guī)劃最容易犯的錯誤．

4 因?qū)忣}膚淺而導(dǎo)致錯誤

圖4

錯因與應(yīng)對策略：案例4為某地一道模擬試題，絕大部分學(xué)生審題膚淺、理解不透而根本看不懂題意．由向量加法聯(lián)想到三角形，這才是解決問題的突破口，再利用三角形最簡單性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊，構(gòu)造λ與μ之間關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為熟悉的線性規(guī)劃的距離問題．

值得指出的是：請讀者仔細(xì)體會上述案例1與案例4的區(qū)別．盡管都是點到直線的距離，但案例1是因為垂足點根本不在可行域而導(dǎo)致錯誤，案例4則是因為邊界為虛線的原因而導(dǎo)致取不到最小值．

5 因不會“壓縮”而導(dǎo)致錯誤

圖5

本題作為當(dāng)年填空題壓軸題，是當(dāng)年高考所有線性規(guī)劃試題中一道靚麗風(fēng)景線，也是近年來線性規(guī)劃方面高質(zhì)量命制試題的典范．然而，絕大部分學(xué)生不知所措，根本不會借助“媒介”手段：“壓縮”而成為失分重災(zāi)區(qū)．一線教師不得不捫心自問：我們課堂教學(xué)是否與新課改精神吻合？我們是否在傳授知識的同時更加側(cè)重能力培養(yǎng)及思維品質(zhì)優(yōu)化？對不等式頗有造詣的安振平先生多次提到代數(shù)變形是一種重要能力，也是數(shù)學(xué)基本功底的具體體現(xiàn)．

6 因不善轉(zhuǎn)化而導(dǎo)致錯誤

解答：由已知條件可得

錯因與應(yīng)對策略：高中階段線性規(guī)劃主要涉及截距、斜率及距離等三大類問題．然而，表面上案例6似乎與上述三大類問題毫無關(guān)聯(lián)，學(xué)生不得不知難而退．對于線性規(guī)劃問題緊緊盯住三大類型，通過轉(zhuǎn)化與化歸，使得問題向三大類型題靠近，這是解決問題較為有效策略．案例6說明：數(shù)學(xué)解題離不開基本題型與套路，心中沒有儲存必備、基本題型，在心情緊張、時間短促的考試氛圍下，寸步難移，必敗無疑．

7 因分類不全而導(dǎo)致錯誤

A．3B．2C．-2D．-3

圖6

解答：先作出可行域，如圖6所示．我們需要再作直線y=-ax，哪該如何作圖呢？需要我們首先分三大類，即a<0，a=0，a>0．

(1)當(dāng)a<0時，此時直線斜率為正數(shù)，此時要么過(0，0)截距最大；要么過A(1，1)處截距最大，由此得到4=0，或4=a+1，這都與條件矛盾；

(2)當(dāng)a=0時，此時y=z，此時在A(1，1)處截距最大，由此得到1=4，得到矛盾；

(3)當(dāng)a>0時，此時直線斜率為負(fù)數(shù)，此時又需要分為三小類：

(ⅰ)當(dāng)-a>-1，即a<1時，此時過A(1，1)處截距最大，即4=a+1，得到矛盾；

(ⅱ)當(dāng)-a=-1，即a=1時，此時直線x+y=2的截距本身就是最大值，即2就是最大值，這都與條件矛盾；

(ⅲ)當(dāng)-a<-1，即a>1時，此時直線平移經(jīng)過點B(2，0)處截距最大，由此得到4=2a，即a=2．綜上所述，故選B．

錯因與應(yīng)對策略：客觀地講案例7不算難題，遺憾的是學(xué)生幾乎都認(rèn)為答案為A，其實不少課外教輔書也是如此．之所以出現(xiàn)上述錯誤，其主要原因在于手工畫直線時，沒有特別關(guān)注直線斜率的大小比較，即沒有對a>0再細(xì)分為三小類進(jìn)行討論，也就是說直線傾斜程度成為此類錯誤的“罪魁禍?zhǔn)住保?dāng)直線斜率沒有確定時，分類討論勢在必行，而且分類必須徹底．隨著命題原則與理念的轉(zhuǎn)變，滲透數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)成為共識，因此線性規(guī)劃問題中進(jìn)行分類討論成為常態(tài)化，有利于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與批判性．

如果說上述案例4～案例7讓學(xué)生苦不堪言，那么有些線性規(guī)劃試題，不要說學(xué)生，就連教師也難免出錯．縱使給出答案，縱使用盡洪荒之力，絕大部分教師也是無能為力．

8 缺洪荒之力而導(dǎo)致錯誤

圖7

當(dāng)然，解答線性規(guī)劃問題過程中出現(xiàn)錯誤的原因還有很多，囿于筆者功力淺薄，僅作拋磚引玉．筆者對三角問題常見的典型錯誤以及解答過程中出現(xiàn)的書寫不規(guī)范、論證不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)儒e誤整理成文，有幸發(fā)表(詳見文[1]、文[2])并收到不少同行來信來電．正因教學(xué)需要、同行鼓勵，筆者思索三年完成本文，渴望與文[1]、文[2]形成系列論文，同時也希望有更多同行一起來探索其它模塊中常見典型錯誤及應(yīng)對策略，比如，概率、函數(shù)、解幾、向量等．

[1]王淼生．三角問題常見的典型錯誤及應(yīng)對策略[J]．中國數(shù)學(xué)教育(高中版)，2014(12)：48-52．

[2]王淼生．預(yù)防解題中不規(guī)范與錯誤的策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育研究，2014(3)：64-66．