鄭毓信

《種子課—— 一個數學特級教師的思與行》是教育科學出版社2013年出版的著名小學數學教師俞正強的一本專著。書中包括有“種子課，生成的課堂”“如何上好種子課”等多項內容。本文并不試圖對這一著作做出評論，而只是以“種子課”等概念，特別是相關課例“厘米的認識”為背景提出筆者在這方面的一個想法，即我們應當更加重視用“全局的觀念”指導數學教學。

具體地說，任一稍有經驗的教師都知道，對于一堂課的內容我們應做主次的區(qū)分，并對前者予以更多的關注；與此相對照，針對不少教學內容表現出的“多、亂、雜”的特點，我們應就更大范圍去從事相關的整體分析，即應通過對對象內在關系的梳理，追蹤相關的發(fā)展脈絡，找出其中的重點，由此，就能起到提綱挈領的作用，從而幫助學生很好地掌握相關的內容。

一、俞正強老師“種子課”提出的依據分析

“整體的分析”即包括了聯系的觀點，用之指導教學甚至包括研讀教材都具有重要性。以下就是這方面的一個實例：“教學要有‘長程的眼光，應該把教學過程的每個環(huán)節(jié)看作是這節(jié)課的一個局部，把每節(jié)課看作是整個單元或者教學階段的一個局部，把每個教學單元或者教學階段看作是整個小學階段的一個局部?！薄拔覀兘o教師發(fā)整套教材，讓每個教師首先把整套教材的邏輯編排體系和編者的意圖弄清楚，比如語文學科要培養(yǎng)學生哪些素養(yǎng)、數學學科要培養(yǎng)學生哪些思維方法”“然后以章節(jié)為單位進行備課，逐步樹立教師的整體觀念。最后具體到每一節(jié)課的備課?！保ā吨亟ㄕn堂——廣東省佛山市第九小學教學變革側記》，《人民教育》，2011年第20期）

這些認識，可能也正是俞正強老師提出“種子課”（以及與此直接相對照的“生成課”）的概念的主要原因。俞正強老師突出強調了“種子課”的遷移性質和生成性質：“種子課就是可供遷移、可供生長的關鍵課。”正因為此，與“生成課”相比較，我們就應更加重視“種子課”的教學，從而起到“舉一反三”“觸類旁通”“促進生成”的作用：“在這么多課中，怎么來判斷哪一節(jié)課是種子課呢？回答這個問題其實也不難，關鍵是從一個系統的角度來思考，整體把握一個知識塊的前世今生及后延。這個過程一定有其發(fā)生的基點（知識與經驗活動相連的關鍵點）、發(fā)展的節(jié)點（知識與知識相連的關鍵點），這些基點與節(jié)點可能就是我們的種子課。一定要對這樣的課花力氣，精雕細琢。這些課上好了，學生的學習就不會模糊，并于非基點或非節(jié)點的生長課上鼓勵學生自己閱讀，自己思考，就不難了?！保ā斗N子課》，第18、24頁）當然，這也正是俞正強老師這一教學方法的一個重要特點，即主要采取了生成的觀點，并因此而將作為知識發(fā)生直接起點的經驗也考慮在內了。

二、例談俞正強老師“種子課”的意義及用“聯系的觀點”貫穿教學的必要性

俞正強老師的這一教學方法對于一線教師改進教學，包括如何更好地處理“教師教學”與“學生自學”之間的關系，顯然都具有重要的啟示意義；但在筆者看來，我們同時也應注意防止一些可能出現的簡單化理解，或者說，應從多個角度對此做出更深入的分析。

具體地說，所謂用“聯系的觀點”進行分析思考，應當說不只涉及生成的考慮，也包括靜態(tài)的結構分析。當然，我們不應因此而否定前一方面研究的意義，因為學生的數學學習事實上就是認識發(fā)生、發(fā)展的過程；但后者顯然又不應被等于簡單的“生成”，還包括認識的不斷深化乃至認識的必要重構等這樣一些含義。我們并應清楚地認識后者對于數學學習的特殊重要性，因為這正是這方面的一個基本事實，即是相對于橫向的擴展也即數學知識的簡單積累而言，縱向的發(fā)展對于數學應當說具有更大的重要性，而這主要又是指相關認識達到更大的深度，即如超越局部的認識建立起了整體性的認識，或是通過對照比較以及必要的抽象更深入地揭示出了相關知識的本質，等等。另外，還應提及的是，這事實上也正是人們在數學中何以特別強調“反思”或“反省”的主要原因，這也就是指與單純的“生成”相比較，數學認識的發(fā)展應當說更加依賴這樣一種思維活動，即是對先前學習過程，包括已建立認識的再思考、再認識，乃至對已建立認識或觀念的否定與重構。

以下就是一些相關的論述：“真正的數學頭腦是思維的頭腦，是內省的頭腦，這也是學校應當教學生的東西?！保℉. Ginsaberg語）另外，按照著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾的分析，數學思維的發(fā)展主要就是指由較低層次過渡到了更高的層次。但是，“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次”。（《作為教育任務的數學》，上海教育出版社，1995，第119頁）

為了清楚地說明問題，以下再借助“厘米的認識”這一課例做出進一步的分析。

俞正強老師的相關分析認為，“厘米的認識”屬于計量單位的學習，作為引入，教師在教學中往往會首先講述引入這一計量單位的意義和必要性，而如果從更宏觀的角度進行分析，他認為：“學生不論在二年級還是在四年級，都要不斷重復關于計量單位意義和必要性的過程，而且就學生成長而言，可能還不止兩次，因為在小學數學中，計量單位的學習內容是十分豐富的，基本貫穿于小學數學學習的始終?！边@些計量單位包括長度單位、重量單位、時間單位、溫度單位、角的單位、面積單位、體積單位、容積單位，等等。俞正強老師并因此提出了這樣一個問題：“我們是不是對每一類計量單位的學習都要設計這樣一個環(huán)節(jié)，重復這個過程呢？”（《種子課》，第17頁）

當然，這又是俞正強老師“用生成替代重復”的觀點，這也就是指“由于長度單位是小學生最早接觸的，也是最基本的。因此，長度單位的學習在小學數學中應該具有種子特質”。具體地說，就“厘米的認識”這一內容的教學而言，我們就應突出這樣兩個關鍵點：（1）“比較物”的理解（什么是比較物）；（2）比較物的“標準化”（標準是什么）。進而，如果將“分米的認識”與“米與毫米的認識”也考慮在內，就應當再增加這樣一個關鍵點：長度單位的相對（適宜）性。俞正強老師進一步指出：假設一、二年級長度單位是這樣認識的，那么，在上面積單位的課時，就可以這樣來教學。

師：同學們，我們知道對象的比較需要有單位來描述，長度有厘米，重量有克，那么現在面積的大小比較，當然也需要——

生：單位來描述。

師：面積的單位有哪些呢？這些單位分別是怎么規(guī)定的呢？這些單位之間是什么關系呢？請大家閱讀書本第×頁到第×頁。

再則，“角的單位、時間單位、體積單位、容積單位的學習也一樣，無非是一棵樹上再掛片葉子而已。”（《種子課》，第20～24頁）

俞正強老師的以上論述應當說很有道理，但筆者在此所關注的主要是這樣一個問題：就后繼內容的學習而言，學生所經歷的究竟是怎樣一個發(fā)展過程，是簡單的擴展，就如“同一棵樹上不斷掛上新的葉子”，還是一個認識不斷深化的過程，乃至包含了一定的重構？

對于上述問題，俞正強老師應當說也已做出了明確的回答：“以深刻達成簡約?！保ā斗N子課》，第23頁）這就是指只有認識達到了一定深度，相關的學習活動才可能真正做到簡約，特別是避免簡單的重復。但是，我們究竟又如何才能幫助學生很好地實現認識的不斷深化呢？

容易想到的是，這顯然更清楚地表明了切實加強“種子課”教學的必要性，我們應當依據“聯系的觀點”認識“種子課”在新的學習活動中所能發(fā)揮而且應當發(fā)揮的作用。但是，由于學生認識的發(fā)展必定有一定的過程，因此，我們就應將“聯系的觀點”貫穿于相關內容的全部教學過程，特別應當強調，隨著新的相關內容的教學幫助學生很好地實現如下的轉變，即由教師指導下的認識逐步轉變?yōu)閷W生的自主認識，并能由單純的“擴展”轉變?yōu)檎嬲摹吧伞?，也即能夠通過新的學習達到更大的認識深度。這樣做，不僅能夠較好地掌握新的知識內容，而且能逐步建立起對相關內容的整體性認識，并能由知識的掌握逐步深入到思維的層面，從而能夠初步地掌握相關的數學思想和數學思想方法。

由此可見，就“計量單位”相關內容的教學而言，我們不僅應當十分重視如何能夠通過“厘米的認識”（即所謂的“種子課”）的教學為以后進一步學習單位知識打下良好的基礎，也應高度重視如何能夠通過各個相關內容的教學幫助學生很好地實現真正意義上的“生成”，特別是認識的不斷發(fā)展和深化。

三、突顯“類比”思想在教學中的運用，踐行“全局的觀念”對教學的意義

在新的相關內容的教學中我們應當更加突出“類比”這樣一個思想，應當注意引導學生通過對于新老知識的對照比較發(fā)現它們的共同點和不同點，從而促進認識的不斷深化。

更為具體地說，盡管我們在“厘米的認識”教學中已經突出地強調了引入計量單位的意義和必要性，學生可能也已初步地建立起相關的認識，但又只有通過進一步的學習，如重量單位的認識、角的單位的認識等，以及進行必要的對照比較，特別是對相關活動共同點的分析，學生才能更好地理解上面所提及的各個關鍵內容，也即計量單位的確定性與相對性，乃至“度量”活動所體現的這樣一個數學思想：數學中我們必須由簡單的定性描述（“長短”“輕重”“大小”）過渡到精確的定量，這就是“數學化思想”十分重要的一個內涵。

不難想到的是，上述的思維發(fā)展過程事實上也就是一個抽象的過程，即由特殊上升到了一般，而這又正是所謂的“變式理論”（特別是“概念性變式”）所給予我們的一個重要啟示：成功的抽象不僅依賴于多種對象（包括“標準變式”與“非標準變式”，以及“概念變式”與“非概念變式”）的對照比較，更依賴于人們的積極思維。（另外，筆者以為從后一角度我們也可清楚地認識單純強調“數學活動經驗”的局限性。對此可見《〈數學課程標準（2011）〉的“另類解讀”》，《小學教學》，2013年第3、4期）

當然，除去共同點的分析以外，這也是“類比”十分重要的一項內容，即關于對象不同點的分析，而這又不僅直接關系到了新知識的掌握，也與認識的不斷深化密切相關。

例如，就只有從“線段的度量”過渡到“面積與體積的度量”，我們才能幫助學生很好地理解這樣一個數學思想：數學中我們所希望的是用“計算”代替直接的度量，這事實上可看成是“化歸思想”的一個具體應用。應當提及，這事實上也正是俞正強老師明確提及的一個觀點，即除去“厘米的認識”以外，我們也應將“長（正）方形周長（面積）”看成另一“種子課”，盡管它們被分別歸屬于“計量單位的認識”和“計量單位的計數”。

在此還應特別提及這樣一點，就實際的認識活動而言，我們不應將關于不同對象異同點的分析絕對地割裂開來，而應清楚地看到兩者之間的聯系。例如，這顯然可以被看成“長度單位”與“重量單位”的主要區(qū)別，即涉及了兩個不同的單位系列：（1）米、厘米、毫米與千米；（2）千克（公斤）、克、毫克與噸。但是，由進一步的分析我們顯然又可發(fā)現這兩者在總體上的聯系，甚至還可說是一定的共同點，即是計量單位的相對性。而且，人們最初引入的計量單位往往是與自身的計量較為接近的（米與千克），然后，又都是因為實際生活的需要在“宏觀”與“微觀”兩個方向進行了擴展，在兩者之間可以說存在明顯的類似之處，如米與毫米和千米，千克（公斤）與克和噸，等等。

就“計量單位”的教學而言，筆者還想強調這樣一點，我們應當將“計量單位的引入”與“如何進行計量”聯系起來，即將兩者統一納入“度量問題”進行考察。因為只有從度量的角度進行分析，我們才可更清楚地認識引入“計（度）量單位”的必要性；另外，由此我們也可清楚地看出相關的教學活動應當同時包括這樣兩個重點：“度”與“量”，兩者可以說具有不同的本質。例如，在筆者看來，我們就可從后一角度對俞正強老師的上述課例與張齊華老師的相關課例（《“認識厘米”教學實錄》，《教育視界》，2017年第2期）做出比較，特別是比較兩者為什么有不同的教學重點。

除去各個相關內容的教學以外，這當然也是將“聯系的觀點”貫穿于全部教學過程的又一重要環(huán)節(jié)，即我們應當很好地發(fā)揮“復習”對于促進學生認識深化的重要作用，這也就是指相對于簡單的回顧與整理而言，我們應當更加重視引導學生對相關內容從整體上做出進一步的分析與思考，應超越單純的“生成性”分析而過渡到整體性的結構性認識。例如，就“度量問題”的教學而言，我們在復習時也許就可引導學生積極地去思考這樣一個問題：我們能否突破現有的分類與排列次序，從不同角度（如按照圖形的維度）對相關內容做出新的分析整理？容易想到的是，后一思考十分有利于學生逐步建立起這樣一種認識，即數學家們?yōu)槭裁锤觾A向于按照“由簡單到復雜、由低（維）到高（維）”的次序（也即“數學的視角”），而不是由“體”到“面”再到“線”這樣的次序（“日常的視角”）去進行認識。這也就如弗賴登塔爾所指出的“數學家有這樣的傾向，一旦依賴邏輯的聯系能取得更快的進展，他就置實際于不顧”。（《作為教育任務的數學》，同前，第45頁）

上述的分析論述顯然也已清楚地表明了這樣一點：相對于前面所提及的“聯系的觀點”而言，我們應當更加強調“全局的觀念”，也即應當更加重視如何能以整體性的認識指導各個相關內容的教學。當然，后者應當同時包括“種子課”“生長課”與復習課等，特別是我們要通過整體性的分析弄清在各個相關內容中究竟何者可以被看成“種子課”，什么又是其對于后繼的學習活動所應發(fā)揮的作用？何者可以被看成真正意義上的“生長課”，什么又是這里所說的“生成”的具體含義？

[附] “種子課”與“問題引領”

筆者以為，這是用“全局的觀念”指導數學教學的又一重要手段，即我們應當通過整體分析從相關的內容提煉出“核心問題”，并以此統領全部內容的教學，也即應當將此同樣貫穿于全部內容的教學。具體地說，我們不僅應在這些內容的學習之初就清楚地點明所說的“核心問題”，也應在全部的學習過程中不斷重復這些問題，從而真正起到提綱挈領的作用；在復習時更應引導學生圍繞這些問題對全部學習過程進行回顧與梳理，從而很好地實現“知識的問題化”與“問題的知識化”的教學目標。

在所說的“問題引領”與前述關于“種子課”與“生長課”的論述之間存在一定的互補關系，特別是“核心問題”的提煉就可被看作我們應當如何去確定相應的“種子課”的一條重要的標準。另外，這又可被看作強調“問題引領”的一個明顯優(yōu)點，即有利于我們在教學中更好地發(fā)揮學生在學習活動中的主體作用，或者更準確地說，即同時發(fā)揮教師的主導作用與學生的主體作用——這事實上也正是現實中人們何以往往同時強調“問題引領”與“問題驅動”的主要原因。（詳細內容可見另文《中國數學教育的“問題特色”》，即將在《數學教育學報》刊出）

最后，就“度量問題”而言，筆者以為，以下兩點或許就可被看成相應的“核心問題”：

（1）數學中是如何處理各種度量問題的，什么更可被看成所有這些活動的共同關鍵點？

（2）在這方面我們又可看到怎樣的發(fā)展，或者說，什么是相關發(fā)展的主要線索？

（江蘇省南京大學哲學系 210093）