劉峰博， 徐瑞華， 江志彬

(同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 201804)

由于大運(yùn)量、高可靠性等特點(diǎn)，城市軌道交通成為公共交通的重要組成部分.然而，運(yùn)營(yíng)實(shí)踐中，一些突發(fā)事件(設(shè)施設(shè)備故障、大客流、天氣影響等)將直接干擾正常運(yùn)營(yíng)，使列車發(fā)生延誤.較長(zhǎng)時(shí)間的延誤會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)能力損失、沿線客流積壓、服務(wù)質(zhì)量下降，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)帶來安全風(fēng)險(xiǎn).對(duì)此，調(diào)度人員需要高效的列車運(yùn)行調(diào)整方法，以保障延誤期間的安全運(yùn)營(yíng)和服務(wù)水平，并盡快恢復(fù)正常秩序.目前運(yùn)營(yíng)現(xiàn)場(chǎng)主要依據(jù)預(yù)案和調(diào)度員經(jīng)驗(yàn)來制定調(diào)整方案，在動(dòng)態(tài)性、全局性和優(yōu)化決策等方面還存在諸多不足.因此，延誤下的列車運(yùn)行調(diào)整優(yōu)化亟需進(jìn)一步研究.

軌道交通系統(tǒng)的列車運(yùn)行調(diào)整一直是研究的熱點(diǎn)，長(zhǎng)期以來研究的重點(diǎn)多是以列車恢復(fù)正點(diǎn)、按圖行車為目標(biāo)，如路飛等[1]、柏赟等[2]主要以列車延誤時(shí)間最小為目標(biāo)，Schachtebeck等[3]考慮延誤下銜接列車調(diào)整問題，使調(diào)整運(yùn)行圖盡量貼近計(jì)劃運(yùn)行圖.近年來，從乘客角度出發(fā)的列車運(yùn)行調(diào)整問題引起越來越多的關(guān)注.如Niu等[4]以鐵路客運(yùn)專線為背景，以最小化乘客候車等待時(shí)間為目標(biāo)，構(gòu)建旅客列車運(yùn)行圖優(yōu)化模型.Sato等[5]以減小乘客后續(xù)出行不便為目標(biāo)，綜合改變列車性質(zhì)、次序和車底周轉(zhuǎn)、股道分配等措施，建立重調(diào)度模型和算法.Kliewer等[6]通過實(shí)例發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的乘客等待時(shí)間調(diào)整規(guī)則更有利于線路間的列車接續(xù).由于城市軌道交通客流量大，行車間隔小，加上乘客出行的弱計(jì)劃性等特征，使得列車運(yùn)行調(diào)整的原則、目標(biāo)和方法較傳統(tǒng)鐵路都有較大的差異性，其中最大的區(qū)別在于城市軌道交通需要以盡快輸送客流為目的，但針對(duì)該方面的研究成果較少.喬珂等[7]以全部乘客等待時(shí)間最小為目標(biāo)，提出了首站控制和多站協(xié)調(diào)控制的列車運(yùn)行調(diào)整策略，主要考慮行車間隔均衡性，但有些車停站時(shí)間過長(zhǎng)，容易造成車內(nèi)大量乘客出行時(shí)間延長(zhǎng).Yin等[8]針對(duì)較小干擾下后續(xù)列車運(yùn)行調(diào)整問題，建立綜合考慮減小乘客延誤時(shí)間、出行時(shí)間和能源消耗的隨機(jī)規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)的近似動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法可以快速得到解，但主要用于輕微的干擾情況.江志彬等[9]得出在初始延誤時(shí)間較長(zhǎng)，造成行車間隔過長(zhǎng)時(shí)，扣車是最常見且最有效的策略，但缺少針對(duì)性的量化分析.

因此本文根據(jù)調(diào)度實(shí)際環(huán)境，以列車能力與客流需求的交互為基礎(chǔ)，考慮運(yùn)行過程的安全約束和能力限制，研究延誤下列車協(xié)同(扣車)調(diào)整優(yōu)化問題，構(gòu)建相應(yīng)模型和算法，以期盡快疏散客流.

1 問題描述

城市軌道交通列車運(yùn)行調(diào)整是一類大規(guī)模的組合優(yōu)化問題，屬于典型的NP難問題[10]，涉及乘客、列車、設(shè)施條件、調(diào)整策略等諸多因素，具有時(shí)間和空間上的動(dòng)態(tài)性，且需要兼顧：① 客流分布的不均衡性，不同時(shí)空位置的調(diào)整程度應(yīng)當(dāng)不同；② 以計(jì)劃運(yùn)行圖為主要依據(jù)，制定的調(diào)整方案必須符合列車開行規(guī)則、安全與資源約束等條件.

1.1 問題定義

城市軌道交通一般只有兩條股道供各自方向的列車分別運(yùn)行.一般地，初始延誤列車及其后續(xù)列車需等到延誤事件排除后方能正常前行，延誤期間調(diào)度員只能控制相關(guān)列車以安全間隔運(yùn)行.如圖1所示，列車i+1在車站j-1發(fā)生初始延誤，表現(xiàn)為停站時(shí)間增加Os，延誤發(fā)生車站后方的列車出現(xiàn)“堵塞”現(xiàn)象，且只能依次以安全間隔“排隊(duì)”，直至延誤消除恢復(fù)計(jì)劃運(yùn)行圖規(guī)定的開行間隔.

圖1 延誤情況下扣車調(diào)整示意圖Fig.1 Sketch of the coordinated adjustment method

初始延誤發(fā)生后，延誤列車i+1無法及時(shí)前行，延誤地點(diǎn)前方區(qū)域?qū)⒊霈F(xiàn)一段能力空缺，等待在前方站臺(tái)的客流不斷積聚，其出行時(shí)間增加，增大后續(xù)列車恢復(fù)正常運(yùn)行后的客流需求壓力.當(dāng)列車i+1不能完全滿足積聚的客流需求時(shí)，前方車站乘客進(jìn)一步被留乘，由此帶來連鎖反應(yīng)，形成延誤的傳播.因此，列車運(yùn)行調(diào)整需要綜合考慮延誤地點(diǎn)前后列車間的運(yùn)行協(xié)同、客流聚集、運(yùn)行安全約束和列車能力等，協(xié)同安排各次列車的作業(yè)時(shí)刻，快速輸送客流，才有助于恢復(fù)正常運(yùn)營(yíng)秩序.比如，將列車i分別在車站j扣停qi,js，在車站j+1扣停qi,j+1s，列車i-1在j+1站扣停qi-1,j+1s，使其延遲出站，便可將能力向后擴(kuò)展，避免車站延誤列車與前車間隔過大，“提早”帶走一部分本將等候后續(xù)列車的乘客.以圖2為例，某一時(shí)段內(nèi)，某車站乘客到達(dá)人數(shù)隨時(shí)間增長(zhǎng)，若計(jì)劃發(fā)車時(shí)上車人數(shù)小于列車剩余載客能力時(shí)，將該列車的出發(fā)時(shí)刻延后一定時(shí)間，實(shí)際上車人數(shù)可相應(yīng)增大.上述調(diào)整方法，本文簡(jiǎn)稱為“扣車”.

扣車能夠縮短部分乘客在扣車車站的候車時(shí)間，更重要的是能夠減輕延誤結(jié)束后后續(xù)列車的客流壓力，是延誤條件下一種有效的列車運(yùn)行調(diào)整方法.但是扣車后，會(huì)增加原本車內(nèi)乘客的出行時(shí)間，且不能影響另一方向的運(yùn)行.因此需要權(quán)衡利弊，利用有限的可扣車時(shí)間，決策扣哪些車、在哪些車站扣、扣多長(zhǎng)時(shí)間，以使得盡量滿足客流需求，從總體上減少乘客旅行時(shí)間.

圖2 列車運(yùn)行調(diào)整對(duì)客流的作用示意圖Fig.2 The effect of train adjustment on passenger flow

1.2 問題假設(shè)

結(jié)合我國城市軌道交通列車運(yùn)行調(diào)度實(shí)際，本文重點(diǎn)研究列車運(yùn)行延誤條件下的運(yùn)行調(diào)整問題，重大事故、自然災(zāi)害及其他突發(fā)事件所引起的線路長(zhǎng)時(shí)間行車中斷條件下的運(yùn)行調(diào)整問題將另文研究.因此，給出如下假設(shè)：

(1) 列車運(yùn)行滿足安全行車間隔，發(fā)生延誤后，列車間的次序保持不變，無越行和反向行車.

(2) 考慮可恢復(fù)的列車運(yùn)行延誤，初始延誤結(jié)束后，列車都繼續(xù)按照原停站方式載客運(yùn)行，不考慮取消、增加列車以及列車跳停等，且車底交路計(jì)劃不變.

(3) 初始延誤列車后續(xù)列車以安全行車間隔調(diào)整，恢復(fù)至計(jì)劃運(yùn)行圖的行車間隔時(shí)不再調(diào)整.

2 模型構(gòu)建

基于上述分析，延誤情況下扣車調(diào)整問題主要求解初始延誤列車前方列車的調(diào)整時(shí)刻表，由此建立如下整數(shù)規(guī)劃模型.

2.1 參數(shù)定義

表1列出了模型的參數(shù)定義，包括輸入變量和決策變量定義，除表中標(biāo)注外，其他時(shí)間變量的單位都為s.

表1 參數(shù)定義Tab.1 Parameter definitions

2.2 約束條件

(1) 列車能力與客流需求的交互

用車內(nèi)人數(shù)、上車人數(shù)和留乘人數(shù)描述列車能力與客流需求交互作用的結(jié)果.

車內(nèi)人數(shù)只有在上、下車過程中發(fā)生改變，即

POn,i,j+1=POn,i,j-PA,i,j+PB,i,j

(1)

下車人數(shù)PA,i,j通過車內(nèi)乘客的出站信息判斷，式(2)表示上車人數(shù)PB,i,j與列車停站時(shí)間、發(fā)車前的上車需求和列車剩余載客能力有關(guān)，式(3)計(jì)算留乘人數(shù)PL,i,j.發(fā)車前上車需求包括式(4)中的到達(dá)時(shí)站臺(tái)上等待乘客和式(5)中的停站時(shí)間延長(zhǎng)期間新到達(dá)乘客.

(2)

PL,i,j=PW,i,j+PN,i,j-PB,i,j

(3)

(4)

(5)

(2) 運(yùn)行約束

式(6)和式(7)分別為區(qū)間運(yùn)行時(shí)間和停站時(shí)間與列車到發(fā)時(shí)刻的關(guān)系.式(8)為最小行車間隔約束；式(9)為同一車站最小發(fā)到間隔約束.

ta,i,j+1-td,i,j=Ri,j

(6)

td,i,j-ta,i,j=Di,j+qi,j

(7)

td,i+1,j-td,i,j≥hmin

(8)

(9)

(3) 調(diào)整時(shí)間約束

式(10)表示實(shí)際到站時(shí)間不早于計(jì)劃到站時(shí)間；式(11)表示實(shí)際發(fā)車時(shí)間不早于計(jì)劃發(fā)車時(shí)間；式(12)表明停站時(shí)間增加量為非負(fù)整數(shù)，且列車總扣車時(shí)間不能超過限制，因?yàn)椴荒苡绊懥硪环较虻恼＿\(yùn)營(yíng).若某列車車底還將折返后繼續(xù)運(yùn)行，那么這類列車總的可調(diào)整時(shí)長(zhǎng)則不能超過其最大允許終到延誤時(shí)間，若該車底不再折返，則可調(diào)整時(shí)長(zhǎng)通過其與后一列車間的安全間隔約束得到.

ta,i,j-Ta,i,j≥0

(10)

td,i,j-Td,i,j≥0

(11)

(12)

2.3 目標(biāo)函數(shù)

本文滿足客流需求的目的體現(xiàn)為：① 使前行列車盡量多帶走站臺(tái)上的乘客，以減少站臺(tái)乘客等待時(shí)間，表示為TW,i,j；② 盡量少增加車內(nèi)乘客乘車時(shí)間，表示為TR,i,j.兩者組成乘客旅行時(shí)間，表示為Ti,j，三者計(jì)算如下：

Ti,j=TW,i,j+TR,i,j

(13)

(14)

TR,i,j=(POn,i,j-PA,i,j+PB,i,j)Ri,j+(POn,i,j-PA,i,j)(Di,j+qi,j)

(15)

因此，權(quán)衡對(duì)車內(nèi)和站臺(tái)乘客的影響，本文的優(yōu)化目標(biāo)為最小化全部乘客的旅行時(shí)間，即

(16)

3 求解算法

3.1 算法定義

模型的關(guān)鍵在于確定需要調(diào)整的范圍及程度.一方面，對(duì)于同一列車，其當(dāng)前車站的到發(fā)時(shí)刻和車內(nèi)客流狀態(tài)與它在前一站的時(shí)刻和狀態(tài)有關(guān)；另一方面，同一車站的多列車之間按序行車需要滿足一定的間隔約束，一列車何時(shí)出發(fā)會(huì)影響后面車的時(shí)刻和站臺(tái)等待客流.因此，這樣的時(shí)空變化系統(tǒng)可以看作是車站、列車之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)變過程，在每個(gè)轉(zhuǎn)變過程中總是希望乘客旅行時(shí)間最小，因此需要尋找最優(yōu)的轉(zhuǎn)變，即最優(yōu)的列車到發(fā)時(shí)刻，這與動(dòng)態(tài)規(guī)劃[11-12]的解題思想一致.由于涉及同列車多車站、同車站多列車兩個(gè)維度的多階段決策過程，因此需要組合的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，而同車站多列車之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)變可抽象為安全間隔約束.圖3表述了該動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的思路，包括每個(gè)車的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程和相鄰列車間的聯(lián)系.

認(rèn)為初始延誤列車的延誤時(shí)長(zhǎng)為已知，自初始延誤發(fā)生時(shí)刻起至預(yù)計(jì)初始延誤列車在該站發(fā)車時(shí)刻止的時(shí)段內(nèi)，同一運(yùn)行方向上，需要在前方車站進(jìn)行停站發(fā)車作業(yè)的所有列車及相關(guān)車站構(gòu)成調(diào)整區(qū)域，即滿足ts≤Td,i,j≤td,is,j，其中td,is,j=Td,is,j+O為初始延誤列車is在后續(xù)車站的預(yù)計(jì)發(fā)點(diǎn).算法核心即為利用多少可調(diào)整時(shí)長(zhǎng)，且如何將其合理分配給沿途各個(gè)車站，并協(xié)調(diào)相鄰列車的到發(fā)時(shí)刻，使得總的效益指標(biāo)達(dá)到最優(yōu).定義算法參數(shù)如下：

圖3 調(diào)整前行列車的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法示意圖Fig.3 Illustration of train adjustment method using a combined dynamic programming algorithm

(1) 階段變量為列車i在車站j；

(2) 狀態(tài)變量為Si,j=(ta,i,j,Pi,j)，其中Pi,j=(POn,i,j,PW,i,j)，表示列車i在到達(dá)車站j時(shí)車內(nèi)的乘客數(shù)和站臺(tái)等待人數(shù)；

(3) 決策變量為Ui,j=qi,j，表示列車i在車站j的停站時(shí)間增加量，為本文的主要決策變量，由此可得到實(shí)際停站時(shí)間為Di,j+qi,j和發(fā)車時(shí)間為td,i,j=ta,i,j+Di,j+qi,j；

(4) 列車i在j車站采取決策Ui,j后，即得到其在下一車站到達(dá)時(shí)的狀態(tài)，包括列車到達(dá)時(shí)間，車內(nèi)、車外乘客數(shù)狀態(tài).則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

Si,j+1=T(Si,j,Ui,j)

其中T包含了以下意義

ta,i,j+1=ta,i,j+Di,j+qi,j+Ri,j

POn,i,j+1=POn,i,j-PA,i,j+PB,i,j

(5) 階段效益指標(biāo)Vi,j相當(dāng)于列車i在車站j調(diào)整后決定的乘客旅行時(shí)間，為目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)階段值，即

Vi,j(Si,j+1,Ui,j)=Ti,j

則目標(biāo)函數(shù)表達(dá)為

(6) 若用fi,j-1(Si,j)表示從第i車的Si,j出發(fā)，采用最優(yōu)策略，到最后一列車在最后一車站乘客總的旅行時(shí)間最小.由最優(yōu)化原理得最優(yōu)值函數(shù)為

fi,j(Si,j+1)=min{Vi,j(Si,j+1,Ui,j)+fi,j-1(Si,j)}

3.2 算法流程

關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于對(duì)進(jìn)入延誤調(diào)整區(qū)域的列車，分析其從初始延誤車站js到其終點(diǎn)站的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程.后行列車在前行列車的基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整，基于當(dāng)前的客流分布，并滿足間隔約束.基于前述模型約束與算法定義，設(shè)計(jì)如下算法步驟并用計(jì)算機(jī)編程求解：

步驟2：對(duì)列車i=1,…,m：

步驟2.1：對(duì)車站j=1,…,n-1：

(1) 若列車i是初始延誤列車的后續(xù)列車，當(dāng)還未恢復(fù)計(jì)劃開行間隔，則按照最小行車間隔調(diào)整其在車站j的到發(fā)時(shí)刻，否則不調(diào)整；

(2) 若其他列車i在車站j不屬于調(diào)整區(qū)域，則不調(diào)整，令ta,i,j=Ta,i,j，td,i,j=Td,i,j；

(3) 若列車i在車站j達(dá)到計(jì)劃停車時(shí)間時(shí)已經(jīng)滿載，則不調(diào)整，qi,j=0，td,i,j=ta,i,j+Di,j；

(4) 否則，對(duì)于在調(diào)整區(qū)域內(nèi)的列車i：若是初始延誤列車，則ta,i,j=Ta,i,j+O，td,i,j=Td,i,j+O；若是其他列車，滿足間隔約束，在車站j+1的每個(gè)可能調(diào)整時(shí)間qi,j+1條件下，遍歷車站j的每個(gè)可能調(diào)整時(shí)間qi,j，每一次遍歷都由上述算法參數(shù)及公式算得ta,i,j和td,i,j.

步驟2.2：針對(duì)上述(4)中每種可能情況，計(jì)算指標(biāo)函數(shù)值，即

步驟2.3：更新，若fi,j_temp(Si,j+1)

步驟2.4：當(dāng)?shù)玫絻?yōu)化的fi,n-1(Si,n)，即終點(diǎn)站n對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值時(shí)，得到該列車的最優(yōu)策略.根據(jù)記錄的qi,j和td,i,j依次回溯找出其在各站調(diào)整后的到發(fā)時(shí)刻.

步驟3：若i=m，調(diào)整結(jié)束，轉(zhuǎn)步驟4；否則i=i+1，轉(zhuǎn)步驟2.1.

步驟4：得到各個(gè)列車的指標(biāo)函數(shù)值，總的指標(biāo)函數(shù)值以及調(diào)整后的所有列車時(shí)刻.

4 算例分析

以上海地鐵8號(hào)線1 d的運(yùn)行圖、OD數(shù)據(jù)等信息為基礎(chǔ)進(jìn)行算例分析.如圖4所示，假設(shè)上行(車站1—29)方向一列車在車站9延誤10 min，該方向后續(xù)4列車被調(diào)整為追蹤運(yùn)行，但延誤車站前方車站通過能力下降，由于正值早高峰時(shí)段，客流積壓現(xiàn)象將較為嚴(yán)重，因此考慮協(xié)同調(diào)整其前行列車.為了避免28×28的OD矩陣表，采用圖5所示的弦圖表示研究時(shí)段內(nèi)上行方向車站之間的OD量，弦的顏色深度表明量的大小，弧的寬窄代表該站OD總量的大小.車站23之后的車站輸入客流需求很小，因此這部分不算入調(diào)整區(qū)域.

乘客總旅行時(shí)間優(yōu)化結(jié)果如表3所示.為驗(yàn)證本文方法的有效性，進(jìn)一步引入以下兩種對(duì)比方法：① 僅調(diào)整后車的方法：即只考慮利用緩沖時(shí)間調(diào)整后續(xù)列車，以安全間隔運(yùn)營(yíng)，漸漸恢復(fù)正常間隔；② 首站調(diào)整的方法：只在延誤發(fā)生后各個(gè)列車所在(或即將到達(dá))的第一車站進(jìn)行扣車，每個(gè)列車扣車時(shí)間為最大允許終到延誤時(shí)間，且前車扣車時(shí)間不能多于后車.

圖4 僅調(diào)整后車的運(yùn)行圖Fig.4 Train diagram with only subsequenttrains adjustment on the delay

圖5 OD客流量圖示(7:30—8:30)Fig.5 Graphical plot of origin-destination flows

圖6 協(xié)同調(diào)整后的運(yùn)行圖Fig.6 Train diagram with cooperative adjustment表2 前行列車在各個(gè)車站停車時(shí)間增加值Tab.2 Added dwell time of the preceding trainsat the stations

車站號(hào)前行列車停站時(shí)間增加值/s6543212200131301021001100112003029039190000111800001700001600015181716140013001201111

表3 結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of the results

由于存在運(yùn)行延誤，三種行車調(diào)整方法得到的乘客總旅行時(shí)間無疑均大于計(jì)劃值，這與調(diào)度實(shí)際相符.乘客總旅行時(shí)間是該方向全天全部乘客的旅行時(shí)間之和，加之可調(diào)整范圍和時(shí)長(zhǎng)的約束，因此以小時(shí)為單位的三種方法所得總結(jié)果相差相對(duì)不顯著.但本文方法結(jié)果小于其他方法，說明其有所優(yōu)化；結(jié)合表2，前行列車在相應(yīng)車站的停站時(shí)間增加值較為顯著，具有可操作性.而首站調(diào)整方法只考慮了在第一站扣車操作的簡(jiǎn)便性，未結(jié)合客流分布特征，導(dǎo)致其結(jié)果反而劣于僅調(diào)整后車方法.本文協(xié)同調(diào)整方法以滿足客流需求為目的，通過考慮期待提早上車的客流，并權(quán)衡已在車內(nèi)的乘客可能被增加的旅行時(shí)間，且調(diào)整方案不影響另一方向運(yùn)行，由此證明了該方法的有效性和先進(jìn)性.

5 結(jié)論

區(qū)別于傳統(tǒng)鐵路，城市軌道交通列車運(yùn)行延誤下列車運(yùn)行調(diào)整的首要目標(biāo)是疏散客流.在延誤列車后續(xù)列車以安全間隔運(yùn)行直至恢復(fù)的同時(shí)，協(xié)同調(diào)整前行列車能緩解延誤地點(diǎn)前方車站的客流積壓現(xiàn)象.以客流需求與列車能力的動(dòng)態(tài)交互及運(yùn)行約束和調(diào)整限制為基礎(chǔ)，構(gòu)建的模型與算法重點(diǎn)解決多個(gè)前行列車在多個(gè)車站的時(shí)刻調(diào)整問題，使得優(yōu)化后的運(yùn)行圖乘客總旅行時(shí)間最小.案例分析結(jié)果表明了模型與算法的有效性，可為實(shí)際調(diào)度調(diào)整提供一定的輔助支持.考慮結(jié)合其他調(diào)度策略(列車清客、列車救援、跳站停車等)的調(diào)整方法是進(jìn)一步研究的方向.

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