(天津市河?xùn)|區(qū)職工大學(xué)，天津 300162)

1 前言

卡諾圖(karnaugh map)是邏輯函數(shù)的一種圖形表示方法，由美國貝爾實驗室的電信工程師莫里斯·卡諾(Maurice Karnaugh)發(fā)明，在函數(shù)化簡、故障診斷、數(shù)字邏輯等許多領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。

2 基本應(yīng)用——邏輯代數(shù)化簡

邏輯代數(shù)化簡在數(shù)字電路中是非常必要且重要的，經(jīng)過化簡的電路不僅節(jié)省原材料降低成本而且可以提高電路穩(wěn)定性有助于后期維護維修。常用的化簡方法包括代數(shù)化簡法和卡諾圖化簡法?？ㄖZ圖化簡法具有直觀、準(zhǔn)確、步驟清晰等特點應(yīng)用較多，但在化簡變量個數(shù)上有限制目前適用于2-4變量的函數(shù)化簡，對于更多變量的化簡就略顯復(fù)雜。

2.1 卡諾圖化簡方法及技巧

這里我們以2-4變量卡諾圖為例總結(jié)一下卡諾圖化簡的基本方法和在化簡過程中的技巧及需要遵循的原則。

2.1.1 卡諾圖中“0”和“1”的填入方法

依據(jù)變量個數(shù)選擇卡諾圖框架是化簡的第一步，兩變量的函數(shù)畫4格圖，三變量的函數(shù)畫8格圖，四變量函數(shù)畫16格圖?？ㄖZ圖的每個方格代表一個最小項，在題目中出現(xiàn)的最小項在卡諾圖中填入“1”，沒出現(xiàn)的填入“0”，填滿后再化簡。有時原題目中直接給出真值表、或者是非最小項的表達式再或者只有最小項編號，這些情況如果按照先變成最小項表達式再填入卡諾圖的方法，會涉及將非最小項變成最小項的補項過程，其過程之繁瑣不亞于代數(shù)化簡，已經(jīng)失去用卡諾圖化簡的簡單、快捷的意義，所以我們在徹底理解卡諾圖中的每一個方格所代表的含義基礎(chǔ)上，應(yīng)該掌握各種已知條件下都可以直接畫出卡諾圖的方法。下面是三種需要直接畫出卡諾圖的情況。

2.1.1.1 由真值表直接畫出卡諾圖

以三變量奇偶校驗器為例 。首先把表中輸出為1的項所對應(yīng)的輸入組合填入卡諾圖對應(yīng)方格中，在卡諾圖方格中橫行代表變量A的取值分別為0和1,縱向4列分別代表BC的取值依次為00、01、11、10也就是變量B依次取值為0、0、1、1，變量C依次取值為0、1、1、0。如輸入為001，輸出為1，代表A=0，B=0，C=1時輸出F=1，那么A=0，B=0，C=1的輸入組合對應(yīng)的方格就是卡諾圖中第一行第二列相交的位置，所以在此格處填上1，按照此方法將其他輸出為1的項依次填入卡諾圖，最后空白格處填入0即可，這樣就完成了由真值表直接畫出卡諾圖的過程。

2.1.1.2 非標(biāo)準(zhǔn)與或式直接畫出卡諾圖

2.1.1.3 由最小項編號直接畫出卡諾圖

有些題目會給出最小項編號的求和形式，這時我們也要直接將卡諾圖畫出再化簡，卡諾圖的每一個小方格代表一個最小項同時最小項的二進制編碼對應(yīng)一位十進制數(shù)，這樣就可以根據(jù)最小項的編號直接填入到相應(yīng)的方格，在題目中出現(xiàn)最小項編號的項就填入1。圖2-1表示每一個方格所代表最小項的編號。

在填入卡諾圖變量時直接找對應(yīng)編號所在位置填入即可，如下式

F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,14,15),該式表示最小項m0、m1、m2、m3、m14、m15,這6個最小項相加求和，在式中出現(xiàn)的最小項編號0、1、2、3、14、15的位置上填入1，其他位置上填入0再化簡。填完后如圖2-2所示

圖2-1 含最小項編號卡諾圖框架

圖2-2 F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,14,15),卡諾圖

以上是三種特殊情況下填入卡諾圖中0和1的方法，直接填入0和1直接畫出卡諾圖才能直接化簡函數(shù)式，減少化簡繁瑣性。

2.1.2 卡諾圖特殊相鄰關(guān)系及合并規(guī)律

卡諾圖化簡其實就是合并相鄰最小項。正確判斷相鄰關(guān)系、準(zhǔn)確寫出每一個卡諾圈對應(yīng)的與項是化簡的關(guān)鍵。有些特殊位置的相鄰需要特殊注意，如圖2-3所示。

圖2-3 特殊相鄰關(guān)系的卡諾圖

卡諾圖是上下、左右閉合的圖形，因此卡諾圖的最上行和最下行，最左列和最右列都是位置相鄰的，四角相鄰也是特殊位置之一，單獨一個格四周都是0的情況也要單獨畫出一個卡諾圈。在合并的時候還要注意以下幾點：

一是，所圈取值為1的小方格的個數(shù)應(yīng)為2n(n=0,1,2,3,…)即所圈格數(shù)為1,2,4,8……不允許3,6,10,12等。

二是，合并目的就是保留一個圈內(nèi)最小項的相同變量，除去不同變量。相鄰的兩項可合并為一項，并消去一個因子，相鄰的四項合并為一項，可以消去兩個因子，以此類推，相鄰的2n可合并為一項消去n個因子。

三是，注意相鄰關(guān)系包括最上行和最下行，最左列和最右列的位置。

2.1.3 卡諾圖化簡原則

其一，卡諾圈越大越簡單。因為一個卡諾圈就是一個與項，卡諾圈越大包含的最小項越多，消去的變量就越多，與項就越簡單，化簡后的表達式就越簡單。

其二，卡諾圈數(shù)越少越簡單。因為一個卡諾圈就是一個與項，卡諾圈越少與項就越少，與或表達式就越簡單。

其三，卡諾圖中所有的1都要被圈過，圈過的1可以被重復(fù)再圈，但每一個新的卡諾圈都要包含新的1。

2.1.4 卡諾圖化簡之畫“0”求反函數(shù)

在進行卡諾圖化簡時，有時方格中填入1的個數(shù)遠遠多于填入0的個數(shù)，這時我們可以通過畫0求反函數(shù)，再求原函數(shù)的方法化簡，這樣可以減少畫更多卡諾圈的過程，但這種方法要求會正確求原函數(shù)，否則結(jié)果反倒出錯，個人建議還是圈1即可，因為1占的方格數(shù)多相鄰的項就多，得到的與項就簡單，求得原函數(shù)更直接。

3 卡諾圖更多應(yīng)用探究

3.1 無關(guān)項應(yīng)用技巧

數(shù)字電路中的無關(guān)項是隨意項和約束項的統(tǒng)稱。在一些實際應(yīng)用中，某些輸入組合不會出現(xiàn)或者不允許出現(xiàn)(即輸入變量必須遵守一定的約束條件)或者當(dāng)某些輸入組合出現(xiàn)時輸出可為任意值。這些情況的共同點是輸出值是未指定的(或隨意的)，稱這些輸入組合所對應(yīng)的最小項為隨意項，用“Φ”、“×”、“d”表示。在化簡時可以將其視為“0”或“1”以求最簡函數(shù)式，而約束項是值恒為0的最小項，在化簡時當(dāng)做0看待。如在8421BCD碼中1010、1011、1100、1101、1110和1111是不允許出現(xiàn)的便是無關(guān)項。無關(guān)項之和也叫約束方程如∑d(10、11、12、13、14、15)=0。再如七段顯示譯碼器中的各個字段都有約束方程，才使得其完成各字段正常顯示0-9十個數(shù)字的功能，在化簡時在圖中把無關(guān)項視為1看待擴大卡諾圈使與項更簡單， 在實際中也可以把無關(guān)項看做0使用，無關(guān)項的隨意性和可塑性是我們在進行化簡時的有力輔助工具。

3.2 用卡諾圖判明函數(shù)關(guān)系和進行邏輯運算

3.2.1 判明函數(shù)關(guān)系

利用卡諾圖可以判斷函數(shù)式是相等關(guān)系還是互補關(guān)系

3.2.1.1 判斷相等關(guān)系

圖3-1 函數(shù)相等關(guān)系

3.2.1.2 判斷互補關(guān)系

函數(shù)式的卡諾圖 函數(shù)式的卡諾圖圖3-2 函數(shù)互補關(guān)系

3.2.2 進行函數(shù)運算

Y1·Y2與運算： 僅當(dāng)所有輸入為1 時，輸出才為1，只要有輸入為0，輸出便是0。

Y1+Y2或運算：只要有一個輸入為1輸出便是1；只有所有的輸入皆為0，輸出才為0。

異或運算：輸入信號不同時輸出為1；當(dāng)輸入信號相同時輸出為0。

同或運算：輸入信號相同時輸出為1；當(dāng)輸入信號不同時輸出為0。將Y1和Y2的卡諾圖合并。

如圖3-3所示

圖3-3 四種運算結(jié)果卡諾圖

上圖顯示利用卡諾圖進行邏輯代數(shù)四種運算的實現(xiàn)過程，直觀、簡單、準(zhǔn)確，卡諾圖是進行邏輯運算的有力工具，除了以上四種運算還可以進行其他擴展運算，這里不再詳述。

3．3 判斷并消除競爭和冒險

3.3.1 競爭冒險的定義

競爭冒險，是數(shù)字電路中一種特有的現(xiàn)象。理想狀態(tài)下電路輸入輸出沒有延時現(xiàn)象，但實際電路是有傳輸延時的，因門電路連接方式不同延時時間也不同，使得各輸入信號狀態(tài)改變時刻有先有后而產(chǎn)生時差。這種引起時差的現(xiàn)象稱為競爭。競爭使穩(wěn)定的輸出狀態(tài)出現(xiàn)邏輯關(guān)系短暫破壞，產(chǎn)生尖峰脈沖，這種現(xiàn)象就叫做“冒險”。冒險可能使電路產(chǎn)生暫時或永久的邏輯錯誤，所以在進行邏輯電路設(shè)計時一定要提前判斷競爭和冒險的存在并且將其消除，以保證電路的正常運行。判斷和消除競爭冒險的方法很多，卡諾圖是方法之一并且該方法簡單、直觀。

3.3.2 判斷組合邏輯電路是否存在競爭冒險的一般步驟

首先畫出待判斷的組合邏輯電路的卡諾圖，然后在卡諾圖上畫出和表達式中所有乘積項一 一對應(yīng)的卡諾圈，如果卡諾圖中存在相切的卡諾圈，則此邏輯電路存在著競爭冒險的情況。這里所說的卡諾圈相切是指兩個卡諾圈之間存在不被同一個卡諾圈包含的相鄰最小項。

3.3.3 消除競爭和冒險的方法

4 總結(jié)

通過以上的探究我們看到了卡諾圖除了化簡之外的其他應(yīng)用，這些應(yīng)用在平常不經(jīng)常使用也不是必須教授內(nèi)容，但是它的使用卻能比很多現(xiàn)有常規(guī)方法更簡單快捷的解決問題，為數(shù)字邏輯電路的分析和應(yīng)用打開新的窗口，有待我們?nèi)ナ煜?yīng)用并進一步探究其更多的應(yīng)用。

參考文獻：

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