(西北工業(yè)大學(xué)前邏輯與人工智能研究所，西安 710072)

一、除法的本質(zhì)及最簡單的自函數(shù)問題分析

微積分標(biāo)準(zhǔn)分析中極限法求導(dǎo)數(shù)過程中，極限根本就不存在的問題，筆者在文獻(xiàn)2、7中已經(jīng)表述的很詳盡了。鑒于這個問題統(tǒng)治微積分理論很長時間，因此這里再給出一個較為嚴(yán)密的證明(簡單起見，同時不失一般性，就以自函數(shù)和二次函數(shù)為例)：

由文獻(xiàn)2中的公式3、4、5(即本文的公式6)可知，這是二次函數(shù)明確無誤的求導(dǎo)公式。如果文獻(xiàn)2中公式2表示的傳統(tǒng)二次函數(shù)求導(dǎo)過程也成立，則它們必然相等。由此可以推知、并且由自函數(shù)也可以直接推出(文獻(xiàn)7)，此時必有關(guān)系：

(1)

但顯然我們已有：

(2)

以及：

(3)

特別應(yīng)該注意，由公式3，作為極限，分母上完全可以等于0。于是，由2、3式，我們可得：

(4)

可以清楚地看出，自函數(shù)的增量比值函數(shù)在自變量趨于0時的極限，明確為0/0，而不是1。也就是絕非其導(dǎo)數(shù)1，得證。

當(dāng)然，這里必須說明，嚴(yán)格講公式3中的∞所對應(yīng)的，應(yīng)該是分母為無窮小ε，而不是分母為0，分母為0所對應(yīng)的，只能是“無意義”。這里是一種通常并不嚴(yán)格但又常用的寫法。因此，我們不妨把公式3中的∞，就理解成“無意義”，這并不影響討論結(jié)果。

總之，事情的本質(zhì)是：既然經(jīng)常在教科書中出現(xiàn)的公式3確定了分母上的極限值可以為0，那么對于作為導(dǎo)數(shù)的原始定義增量比值函數(shù)而言，我們就應(yīng)該老老實(shí)實(shí)地直接對分母上的自變量取為0的極限。而不是“無意中地”把分母上的自變量先“消去”(分子分母做除法)再求極限。此時求得的極限，是另一個分母上不出現(xiàn)自變量的函數(shù)的極限，而不是原先的增量比值函數(shù)也就是作為導(dǎo)數(shù)原始定義的那個函數(shù)的極限。即：除非不定式0·∞=0·(1/0)=0/0=1/1=1，我們不可能由自函數(shù)的增量比值函數(shù)在自變量△x→0時的極限求出其導(dǎo)數(shù)1，因?yàn)轱@然，這個極限為不定式(即0/0)，也就是根本就沒有確定的、有意義的值。也就是說，我們明明要求的是分母上有△x的函數(shù)A在0點(diǎn)的極限，但卻“無意中”通過除法“消去”了分母上的這個△x，因此實(shí)際求的是分母上已經(jīng)沒有了△x的函數(shù)B在0點(diǎn)的極限，還說此極限就是函數(shù)A也就是分母上有△x的那個函數(shù)在0點(diǎn)的極限。甚至當(dāng)筆者指出此點(diǎn)時，有人還說只要△x不為0，就可以相除消去它。他們忘了，分子分母相除消去分母上的△x的另一個前提是分母上的△x不能取其在0點(diǎn)的極限值0，但這里恰恰其極限值就是0。直觀理解：設(shè)△y=△x，當(dāng)△x=0時，必有△y=0，此時自然△y/△x=0/0。同理，當(dāng)△x→0時，也有△y→0，此時自然△y/△x→0/0(當(dāng)然這個0/0不是“有意義”的函數(shù)值或極限值，但這是另一回事。也就是先要其存在，才能確定其是否“有意義”)。因此，就求極限而言，先消去分母上的△x以求分母上明明有△x的函數(shù)在△x=0時的極限值在邏輯上是不能被允許的。可是，所謂標(biāo)準(zhǔn)分析的極限法求導(dǎo)，恰恰就是這么干的，因此它只能是錯誤的。

鑒于這個問題的重要性，我們這里可以給出一個更為嚴(yán)格的反證法的證明：如欲一分母上有自變量△x的式子(函數(shù))在△x=0點(diǎn)有分母不等于0的“有意義”的極限值K，只能是其分母上再無△x，即通過分子分母的相除消去原式(函數(shù))中分母上的自變量△x，也就是在保持原式的值不變時，分母上的自變量△x=1，因此可以寫為K/1，也就是式中分子分母上的△x有值△x/△x=1/1。而這個所謂“消去”分母上的自變量△x的除法的前提條件(充分必要條件)，不僅要求式中分母上的△x≠0(作為也僅僅作為必要條件之一)，同時也不能有為0的極限值(如果當(dāng)分母上的△x→0時竟然有極限值為1，即等于△x→1時的極限值，這當(dāng)然不可能。詳細(xì)論證見前面公式1～4的證明；如果當(dāng)分母上的△x→0時有極限為0，則比值函數(shù)在0點(diǎn)必有極限0/0，當(dāng)然不行；而如果以不允許或沒有△x→0作為除法的先提條件之一，則當(dāng)然得不到我們希望在△x→0時才會得到的分母不為0的極限值K)。即如果分母上有自變量△x，則不能有△x→0。而原式中分母上有△x，所以原式不能有△x→0時的有意義的極限值(也可以說極限與其函數(shù)值一樣，也是0/0)?？梢?，標(biāo)準(zhǔn)分析的所謂極限法求導(dǎo)，實(shí)際陷入了邏輯上的循環(huán)論證，也就是：有意義的極限值的(分母無自變量△x→0的非0/0型的)求出要求分子分母先做除法消去分母上的△x，而這個除法又要求分母上的自變量△x不能趨于0(取為0的極限值)。退一步說，即使在分母有極限0的前提下也可以分子分母相除，但相除后求出的分母不為0的極限值顯然與前提矛盾，這還有意義嗎？因此這個方法當(dāng)然不能成立。

此外，盡管除法的前提是分母上的△x≠0，但反之滿足這個條件的分式可并不一定非做除法。沒有一條數(shù)學(xué)規(guī)定要求逢分式必須做除法消去分母的。因此顯然，如果不做除法，在分母上保留△x，則雖然其始終不能等于0，但按“不可達(dá)極限”的定義，它仍然可以趨于0而以0為其極限值。也就是得到極限0/0，這當(dāng)然是所謂“無意義的”極限值，但也必須先要得到它，才知道它的無意義。因此，這里不存在在0點(diǎn)無有意義的函數(shù)值(函數(shù)值為0/0)而有有意義的極限值(非0/0型的極限)的情況出現(xiàn)?？傊?，無論分式除(即消去分母上的△x或令其等于1)與不除(不消去分母上的△x)，都無有意義的極限值，得證。

我們也可以用類比法幫助理解這個問題：函數(shù)△x/△x在△x=0點(diǎn)之值為0/0(雖然不是個有意義的函數(shù)值。這個雖然是“無意義”的“函數(shù)值”是必須要有的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)分析的極限法正是根據(jù)此點(diǎn)也就是有0/0型的、無意義的“函數(shù)值”才可能再認(rèn)定在△x=0點(diǎn)沒有有意義的、也就是沒有非0/0型的函數(shù)值，進(jìn)而在該點(diǎn)的求極限才有必要)，于是對有意義的函數(shù)值而言，該函數(shù)在△x=0點(diǎn)無定義。該函數(shù)在△x=1點(diǎn)之值顯然為1/1也就是1?，F(xiàn)在設(shè)該函數(shù)在△x=1點(diǎn)上也無定義，也就是在此點(diǎn)也沒有函數(shù)值或函數(shù)的定義域不包括此點(diǎn)。但顯然，此時該函數(shù)在△x=1點(diǎn)雖然沒有函數(shù)值1，但卻可以有極限值1。于是同理，該函數(shù)在△x=0點(diǎn)雖然沒有有意義的函數(shù)值(非0/0型的)，但卻有盡管是無意義的函數(shù)值0/0。于是其極限值也必為0/0(盡管也不是“有意義”的極限值)。況且按照不可達(dá)極限的定義，即使我們由于在0點(diǎn)有不合理的函數(shù)值0/0，因此強(qiáng)行“規(guī)定”在0點(diǎn)沒有函數(shù)值(指有意義的、也就是分母不為0的)，即函數(shù)的定義域不包括△x=0點(diǎn)。但由不可達(dá)極限的定義，此時也完全不等于沒有“不可達(dá)”意義上的極限0/0(盡管它是個不合理的極限值也罷)。顯然，這里完全沒有在△x=0點(diǎn)雖然沒有有意義的函數(shù)值(此時函數(shù)值為無意義的0/0)，但卻可有有意義的極限值(此時為1)的任何可能。

如此說來，有人也許會提出：那么，你論證了半天，究竟自函數(shù)的比值函數(shù)△x/△x還有沒有導(dǎo)數(shù)？我們說，當(dāng)然有。它就是△x/△x=1/1=1。分子分母相除得之。“1”這個函數(shù)就是△x/△x的導(dǎo)函數(shù)。即使在△x=0點(diǎn)它也是1。這里根本不用什么在0點(diǎn)的極限來得到它。因?yàn)橛汕拔牡恼撟C，△x/△x在0點(diǎn)的有意義的極限是沒有的(要有也是0/0)，用它求導(dǎo)當(dāng)然不可能。但導(dǎo)數(shù)當(dāng)然有，就是1。定義域包括△x=0點(diǎn)。也就是說，想通過極限來求導(dǎo)不可能，但這不是無導(dǎo)數(shù)或求不出導(dǎo)數(shù)。這是兩回事?！?”這個“函數(shù)”在0點(diǎn)當(dāng)然可以有極限而且是可達(dá)極限值(顯然仍舊是1，與其在0點(diǎn)的函數(shù)值一致)，但不能說1這個函數(shù)也就是“導(dǎo)函數(shù)”是由函數(shù)△x/△x在0點(diǎn)的極限求出的。

二、 連續(xù)統(tǒng)、測度、點(diǎn)與時間、時刻、瞬時、速度、瞬時速度問題分析

筆者在文獻(xiàn)2中，討論了測度問題，而這個問題又直接與所謂“連續(xù)統(tǒng)”有直接關(guān)系。事實(shí)上，這兩個概念在自然界或物理上的對應(yīng)概念，就是時間。總在流逝的時間，就是物理化的連續(xù)統(tǒng)，而抽象的“時刻”、“瞬時”概念，就對應(yīng)于抽象的“點(diǎn)”概念，無論是有理點(diǎn)還是無理點(diǎn)。點(diǎn)無體積、長度(也可以說長度為0)，因此距離不應(yīng)是由無數(shù)個點(diǎn)所構(gòu)成的(無數(shù)個0相加仍舊是0，不可能無中憑空生出有來)。同理，任何時間段也不是由無數(shù)個瞬時、時刻相加得到的。這是兩個雖然有關(guān)、但截然不同的概念，一如尺子與尺子上的刻度的區(qū)別。不能說一把尺子是由尺子上的刻度相加組成的。有人又說可定義尺縮為0即為點(diǎn)。尺縮為0即尺子上的兩個端點(diǎn)重合。我們總不能定義點(diǎn)為“二點(diǎn)重合或合為一點(diǎn)即為點(diǎn)”吧？此為循環(huán)定義。在如此認(rèn)識下，本質(zhì)上依賴于時間段的速度概念和依賴于長度的導(dǎo)數(shù)概念，在瞬時、時刻、點(diǎn)上，就沒有原始定義，因?yàn)椴粷M足速度、導(dǎo)數(shù)的原始定義中的必要條件，也就是分母上要出現(xiàn)不能為0的時間段或長度、距離等概念，而時刻、瞬時、點(diǎn)等概念的定義就是時間段或長度為0。一般而言，速度概念是或“折合成”單位時間段(也就是數(shù)量為“1”)物體所運(yùn)動的距離(也許也可以不折合成“1”，稱為“廣義速度”，但不能為0)。一個比式，分母上的任何數(shù)值都可以“折合”成“1”，但唯獨(dú)0不成。因此，在△x=0點(diǎn)，原始的有意義的速度進(jìn)而導(dǎo)數(shù)概念是沒有的，連0也不是(速度為0，意味著時間段不為0時運(yùn)動距離為0，而非時段為0，運(yùn)動距離的為0)，而是無意義的0/0。但我們不是總有瞬時速度和導(dǎo)數(shù)概念嗎？如何解釋呢？這實(shí)際是一個“次級定義的問題”：由于勻速運(yùn)動任何時段的速度值都一樣(分母折合成1時，分母值一樣)，于是以每一個不同的時刻為起點(diǎn)的時段的速度值都一樣，由此之故，我們定義這個速度就是該“時刻”的速度，也就是所謂“瞬時速度”。而曲線、變速運(yùn)動中的瞬時速度，是該時刻(瞬時)一旦解除曲線、變速運(yùn)動所必須依賴的受力時物體的勻速直線運(yùn)動的速度。換言之，如果物體始終受力，哪怕涉及的時間段、距離再小甚至“無窮小”，其速度也是始終隨不斷變化、流逝的時間處于變化中的，而沒有一個確定的“瞬時速度”。由此分析可以看出，如果不采取上述瞬時速度進(jìn)而導(dǎo)數(shù)的定義(筆者以往論文中早有涉及)，就不可能消除其中的本質(zhì)性矛盾，也就是貝克萊悖論。

此外，就算增量比值函數(shù)在自變量△x=0點(diǎn)存在極限(前已述及，這個極限實(shí)際不存在)，也是所謂“不可達(dá)極限”，即只可不斷、無限接近，但不能真正到達(dá)的那種類型的極限。因此，以這樣的“極限值”去定義瞬時速度，是會有問題的：時間流逝中的“時刻”、“瞬時”不但在現(xiàn)實(shí)中“可達(dá)”，而且必被越過，因此絕不是什么“不可達(dá)極限”可以定義的。而速度(即使是瞬時速度)的定義或本質(zhì)，是單位時段運(yùn)動的距離，顯然，“單位時段”不可能是“0”，而是“1”。所謂“不可達(dá)極限”，按古語就是“日取其半，萬世不竭”。而現(xiàn)實(shí)世界中的“時刻”、“瞬時”，絕對不可能是不可達(dá)的。如果取不到每一個瞬時，就不可能有時間的流逝。

三、 微分的定義問題

我們從微分的定義中，也可以看出端倪：如果微分是無窮小，但以極限論為基礎(chǔ)的標(biāo)準(zhǔn)分析是排斥無窮小的，這點(diǎn)顯然無法解釋；如果微分是極限，我們說，導(dǎo)數(shù)、瞬時速度等概念之所以被標(biāo)準(zhǔn)分析看成或認(rèn)為是有意義的極限值而非無意義的0/0，就是因?yàn)榉肿臃帜竿瑫r趨于0。如果沒有這一點(diǎn)，無論距離還是時間，當(dāng)然都可以單獨(dú)去趨于0甚至等于0。但現(xiàn)在的“微分”與導(dǎo)數(shù)完全不同，不是個比值，需要單獨(dú)定義，而且并不處于分母位置上，它再也不能被要求“不允許為0”了吧？于是，人們不得不將微分定義成與其名稱完全不符的宏觀量，所謂的函數(shù)的“線性主部”(如是次要部分，要它幾乎就沒有道理)，后來發(fā)現(xiàn)對有的函數(shù)而言還談不上什么“主部”，所以干脆就定義成“線性部分”。但這一定義是只圖眼前過關(guān)。它明顯地與導(dǎo)數(shù)的定義不一致甚至矛盾，是一種回避以致掩蓋矛盾(所謂“把污物掃到地毯下”)的做法。我們說，定義微分的目的是什么？是求積分。當(dāng)我們求積分時，也還得回來要求每一個微分段無限趨于0，原來直接定義極限不成，做積分時卻可以而且必須求極限，明顯矛盾。

微分定義中另一個更明顯的問題，就是廣被詬病的自變量dx=△x的問題，也就是自變量的微分必須等于其自身的增量。如所周知，微分的一般定義是函數(shù)的“線性主部”，二者絕不相等。但自變量的微分卻必須重新定義，這要求自變量不能再是任何變量的函數(shù)(只能是其自身的函數(shù)，否則將有dx(t)=△x(t)，明顯違反微分定義。其中t為自變量x(此時已經(jīng)是個函數(shù)了)的自變量)，甚至不能是其函數(shù)的函數(shù)，也就是y可以是x的函數(shù)，x卻不能是y的函數(shù)。著名數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)家莫紹揆早就指出了這方面的問題，其后不斷有人也指出來，但始終未見任何有力的反駁意見?？梢姅?shù)學(xué)界對此實(shí)際上是無話可說的。這與導(dǎo)數(shù)問題不同，以往對微積分求導(dǎo)的極限法的任何質(zhì)疑，往往都會引來不少反駁意見和表態(tài)。當(dāng)然，微分問題只是表象，本質(zhì)上還是導(dǎo)數(shù)問題。筆者以往文章對此早有討論。

四、 ε-δ語言下的相關(guān)討論

就是在所謂的嚴(yán)格的極限定義也就是ε-δ語言下，對于增量比值函數(shù)而言，也沒有有意義的極限值。分析或證明如下：

在文獻(xiàn)2的分析下，我們已知，文獻(xiàn)2公式2的求極限公式，必須首先分子分母相除以“消去”分母可能等于或趨于0的自變量。而這關(guān)鍵的一步，卻賦予了原先的極限式以新的內(nèi)容，也就是所謂“分子分母相除”或“消去分母”，本質(zhì)上等于把分母值“折合”成1。這是無可否認(rèn)的事實(shí)，只不過通常為了簡化，我們把這個分母上的“1”省略了而已。于是，當(dāng)一個函數(shù)的分母上有自變量時，每有一個與在函數(shù)的分母上的自變量有關(guān)的正數(shù)δ，如果還都有一個與比值函數(shù)有關(guān)的正數(shù)ε，則其實(shí)應(yīng)該嚴(yán)格地是ε/1，也就是分母被“折合”成了1，但顯然仍舊應(yīng)該是個比值，與原比值函數(shù)一致，而ε實(shí)際上是處在分子上的。也就是說，對增量比值函數(shù)這個特殊情況而言，僅就數(shù)值意義上，應(yīng)該有ε=ε/1=θ/δ,這里θ為另一個與δ相關(guān)的正數(shù)(當(dāng)然也是變量)。于是，當(dāng)在比值函數(shù)分母上的δ→0時，我們還能得到ε嗎？當(dāng)然不能。只有在δ→1或δ=1時，我們才能得到ε/1=θ。而當(dāng)δ→0時，我們只能得到θ→0，也就是最終得到“極限”0/0，更確切地說也就是沒有有意義的極限。

總之，牛頓、萊布尼茲求導(dǎo)方法無意中以除法消去了增量比值函數(shù)分母上的自變量(文獻(xiàn)2公式1)，如此，盡管始終沒有被意識到，但它實(shí)際上做的是如文獻(xiàn)2公式5(即本文公式6)所顯示的，真正決定導(dǎo)數(shù)定義的曲線的割線上二點(diǎn)的橫坐標(biāo)差(也就是自變量值)就是1，而且自此始終為1；而縱坐標(biāo)差中包含的自變量差(橫坐標(biāo)差)與橫坐標(biāo)差之比自然就始終保持是1/1(不十分嚴(yán)格地或數(shù)值上看就是1)，但絕對不可能再是0或什么趨于0(再一次強(qiáng)調(diào)：始終如此，割線變切線后也如此)。這是因?yàn)榉肿臃帜缸龀ㄔ谙?，既然做了除法，被除?shù)也就是分母就只能始終事實(shí)上為1了(當(dāng)然可以不寫，但此時省去或消去的只能是這個1，而絕非0)。至于此后分子上如果還有自變量△x，那也是割線方程中自變量的系數(shù)中所包含的(作為線性方程中自變量系數(shù)的一部分的)自變量，它的趨于0或等于0，與比值的性質(zhì)無關(guān)，而只與比值的數(shù)值也就是斜率的數(shù)值(割線或切線的斜度)有關(guān)，因此也就沒有曲線上二點(diǎn)趨于一點(diǎn)或干脆二點(diǎn)合一時的曲線的縱、橫坐標(biāo)差之比(產(chǎn)生貝克萊悖論的根源)的問題了。至于此后作為割線系數(shù)中的那個自變量△x的趨于0或?qū)嶋H就是等于0，已經(jīng)與割線上的真正決定其斜率所必須的兩點(diǎn)(兩點(diǎn)間的增量或距離不能合為一點(diǎn)為0)無關(guān)了。此時剩下的那個系數(shù)中的自變量△x，只決定割線與曲線相交二點(diǎn)的不同位置及對其斜率的影響。曲線上的二點(diǎn)重合為一點(diǎn)(即自變量的增量為0時)，割線變切線。切線的斜率即導(dǎo)數(shù)。此導(dǎo)數(shù)明確為宏觀量，既不是無窮小，也不是極限。至此，微積分貝克萊悖論問題，當(dāng)可徹底澄清。極限法無必要，需要無窮小的非標(biāo)準(zhǔn)分析也無必要，而且本質(zhì)上都是錯的。但這絕對不是反對微積分，相反，正是使微積分返璞歸真，重新回到本源的牛頓、萊布尼茨求導(dǎo)方法。只不過他們沒有意識到用除法消去分母上的自變量究竟意味著什么，因此產(chǎn)生了貝克萊悖論。而由筆者前期系列論文及上文分析揭示，這個除法不是隨便做的，它是有其意義的。在這個意義下，不但△x=0點(diǎn)的極限不存在了，而且貝克萊悖論也不存在了，所需要的只是對導(dǎo)數(shù)重新定義，就可以解釋牛頓、萊布尼茲求導(dǎo)方法的合理性，因此無疑可以消除微積分已知和潛在矛盾、悖論，同時使微積分理論(包括導(dǎo)數(shù)和微分)不但更簡單，同時當(dāng)然更合理。

五、 作了除法后，究竟求出的是哪個函數(shù)的極限？

總之，作了除法后，在牛頓以及極限法那里，Δx/Δx消失不見了(實(shí)際只能是“1”或更嚴(yán)格的“1/1”)，這等于是先令Δx=1或趨于1，然后令原分子中剩下的的Δx又等于0或趨于0(其實(shí)都一樣)，總共求了兩次Δx的值或極限值。注意，這是牛頓法雖然沒有意識到，但實(shí)質(zhì)上所做的?？墒且酝碚搮s說這就是作為導(dǎo)數(shù)的原比式在分母上的Δx趨于0時的一次(注意，不是實(shí)際上的兩次)極限值。而實(shí)際上除法做了后，Δx/Δx當(dāng)然應(yīng)該等于1/1，而它是分子分母上的自變量Δx相除(自除)等于1(或更嚴(yán)格地分子分母都等于1)得到的。因此，除非當(dāng)自變量Δx趨于0時自變量Δx等于1或趨于1這個不可能存在的事發(fā)生，否則是得不到這個1/1的。所以才可說有意義的極限根本沒有，是0/0。但如何解釋牛頓法可以得到導(dǎo)數(shù)的正確結(jié)果？必須重新解釋。也就是牛頓的實(shí)際做法中，由于無意中做了除法，實(shí)際已經(jīng)把分子分母上有相比關(guān)系的Δx/Δx與其它的Δx區(qū)分開了。它的幾何意義，就是割線上自變量增量△x=1的那一點(diǎn)。它不隨割線沿曲線向切線運(yùn)動而變化，更不會趨于0或等于0。但在這個運(yùn)動中作為線性方程系數(shù)中的那個孤立的Δx是趨于并最終等于0的。必須要強(qiáng)調(diào)的是，函數(shù)1(就算其在Δx=0點(diǎn)無定義)與函數(shù)Δx/Δx有本質(zhì)的不同。前者因?yàn)樵谧龀ㄏシ帜干系淖宰兞恐髮?shí)際是1/1,于是作為原函數(shù)(分子上)與自變量(分母上)不再受自變量Δx的任何影響，因此在坐標(biāo)圖上是一條平行于橫軸的平行線；而Δx/Δx的原函數(shù)即作為分子的函數(shù)Δy=Δx隨其自變量Δx(分母上的)的不同取值在坐標(biāo)圖上是一條45度角的斜線。而那個“水平線”取值(恒為1)實(shí)際與自變量Δx無關(guān)，就算我們把定義域“人為地”、“硬性地”限定為Δx≠0，也就是在0點(diǎn)函數(shù)無值、不等于1，但它(也就是函數(shù)1)其實(shí)是允許在0點(diǎn)可以有值1或極限1的，也就是“雖然被硬性規(guī)定了沒有，但其實(shí)可以有”，因此做了補(bǔ)充定義后就可以有函數(shù)值、有極限1了。但Δx/Δx就不僅僅是在Δx=0點(diǎn)“被硬性地規(guī)定”無定義這么簡單的問題了，它更進(jìn)一步在該點(diǎn)是“不允許有定義”或“不允許再有定義”(即：“沒有也不允許有”)同時也沒有相應(yīng)的極限。如果二者相除等于1，那實(shí)際就把函數(shù)改變成1而非原先的Δx/Δx，因此二者有本質(zhì)的區(qū)別。況且極限法終難逃脫循環(huán)論證的窠臼：說必須自變量Δx不能等于0而只能趨于0才能做除法消去分母中的自變量Δx，可這個“趨于0”的極限，卻又是只能由作了除法之后才能得到。在做除法“求出極限”之前，怎么就知道自變量不能為0但可以有極限0的？這個斷語如何下的？還不是做了除法“之后”才聲稱求出了極限？可以看出，這個極限在Δx=0點(diǎn)根本就不存在?？傊?，求極限之前的除法消去分母上的Δx，等價于令Δx=1或者Δx→1，得到了另一個函數(shù)z=1，此時求其在Δx→0時的極限，等于對原函數(shù)Δx/Δx求了兩次極限，第一次Δx→1，把一個在坐標(biāo)系中的斜線變成了平行線；第二次Δx→0，把一個平行線再求極限。此時的極限，已經(jīng)不是原先那個45度斜線的極限了。

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