趙 鵬

（河南工業(yè)大學(xué)馬克思主義學(xué)院，河南鄭州 450001）

“邏輯學(xué)家憎恨歧義但是喜歡悖論。”［1］3兩千多年來，悖論一直以其自身的巨大魅力吸引著眾多學(xué)者的研究興趣。20世紀(jì)80年代，非良基集合論的興起為學(xué)者們研究悖論問題提供了一個(gè)新視角。1987年，巴威斯（Jon Barwise）和艾克曼迪（John Etchemendy）在《說謊者：論真和循環(huán)》一書中把超集理論應(yīng)用于情境語義學(xué)，創(chuàng)立了情境語義學(xué)解悖方案，用奧斯汀型闡釋相對合理地解決了說謊者悖論和被稱為語義學(xué)黑洞的強(qiáng)化的說謊者悖論。1996年，巴威斯和莫斯（Lawrence Moss）在《惡性循環(huán)：非良基現(xiàn)象的數(shù)學(xué)》一書中把超集理論應(yīng)用于模型論，構(gòu)造了解悖的數(shù)學(xué)框架——反基礎(chǔ)模型論，其采用的方法可稱之為反基礎(chǔ)模型論解悖方法［2］100。

本文基于反基礎(chǔ)模型論的基本理論，以說謊者悖論、強(qiáng)化的說謊者悖論、佐丹卡片悖論這三個(gè)包含真謂詞的自指悖論為例，不僅重點(diǎn)闡釋和具體說明了反基礎(chǔ)模型論解悖方法的巧妙之處，同時(shí)還指出反基礎(chǔ)模型論解悖方法揭示了悖論產(chǎn)生的根源，以及這一理論在消解其他自指的語義悖論（如指稱悖論）方面所獨(dú)具的價(jià)值。

一、反基礎(chǔ)模型論的基本理論

巴威斯和莫斯使用了部分模型和克里尼三值邏輯的一些概念和結(jié)論。他們用Rel表示關(guān)系符號(hào)的集合，用Const表示常量的集合，用Var表示變量的集合。同時(shí)假定Rel∩Const∩Var＝?，Var是無窮的，Rel中每一個(gè)關(guān)系符號(hào)R都有一個(gè)確定的元數(shù)，說明R是一個(gè)n元的關(guān)系符號(hào)，n為大于零的自然數(shù)。語句是通過邏輯聯(lián)結(jié)詞 、和?作為初始符號(hào)構(gòu)造起來的。

定義1（部分模型） 一個(gè)部分模型M是一個(gè)滿足下列條件的六元組〈DM，LM，ExtM，AntiM，dM，cM〉：

（1）DM是一個(gè)非空集合，稱作M的定義域；

（2）LM?Rel∪Const，稱作 M的語言；

（3）ExtM和AntiM是定義在LM∩Rel上的兩個(gè)函數(shù)，并且滿足條件：對于每一個(gè)n元關(guān)系符號(hào)R∈LM，ExtM（R）和AntiM（R）是DM上兩個(gè)不相交的n元關(guān)系，分別稱它們?yōu)镽在M中的外延和反外延；

（4）dM是從LM∩Const到DM上的一個(gè)映射；如果dM（c）＝b，則稱b為常項(xiàng)符號(hào) c在M中的指派；

（5）M的情境cM是從Var的一個(gè)子集到DM上的一個(gè)映射；如果cM（v）＝b，則稱b為變項(xiàng)符號(hào) v在M中的指派。

t在模型M中的指派記作denM（t）。如果t是一個(gè)常項(xiàng)，則稱t在模型M中的指派為dM（t）；如果t是一個(gè)變項(xiàng)，則稱t在模型M中的指派為cM（t）。如果語句φ中的每一個(gè)常項(xiàng)和變項(xiàng)在M中都有一個(gè)指派，那么我們說φ在M中被定義，用Def（M）表示M中被定義的語句集。如果模型M的定義域DM中的一個(gè)元素b在denM的值域中，那么我們說b在模型M中被命名。對于任意一個(gè)這樣的b，我們使用去表示任意一個(gè)常量或變量在 M中的指派為 b。即，denM（）＝b，是任意一個(gè)常量或變量。需要注意的是，對于一個(gè)給定的b，是什么依賴于我們要考慮的模型M。即使M是一個(gè)固定的模型，也未必是唯一的。

定義2（全模型） 一個(gè)全模型是建立在一個(gè)部分模型M上并要求M中的元素LM滿足下列條件：

（1）對LM中的任意n元關(guān)系符號(hào)R和M的定義域DM中的任意n個(gè)元素m1，…，mn組成的n元有序組〈m1，…，mn〉，〈m1，…，mn〉∈ExtM（R）∪AntiM（R）；

（2）LM中的每一個(gè)常項(xiàng)符號(hào)c在M中都有指派。

有兩種擴(kuò)大部分模型的方法。其一，是在保持部分模型M的定義域DM不變的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)充；其二，是擴(kuò)張部分模型的定義域DM。先看前者。

定義3 如果滿足下列條件，則把模型M2稱作模型M1的擴(kuò)充，記作M1?M2：

（1）模型M1和模型M2的定義域相同；

（2）模型M1的語言是模型M2的語言的子集；

（3）對于每一個(gè)關(guān)系符號(hào)R∈LM1，R在M1中的外延和反外延分別是R在M2中的外延和反外延的子集；

（4）模型M1的指派函數(shù)是模型M2的指派函數(shù)的子函數(shù)；

（5）模型M1的語境是模型M2的語境的子函數(shù)。

用這種方法，可以將任意一個(gè)模型擴(kuò)充成一個(gè)定義域保持不變的全模型。

定義4 如果模型M2是模型M1的擴(kuò)張，記作M1M2，必須滿足條件：

（1）模型M1的定義域是模型M2的定義域的子集；

（2）其他條件與M1?M2的相同。

有了模型，就需要考慮語句在模型中為真的問題。一個(gè)語句φ在全模型M中為真的定義，仍然采用的是標(biāo)準(zhǔn)賦值定義。一個(gè)語句φ在部分模型M中為真的定義，采用的是克里尼的三值賦值。

定義5（克里尼賦值） 對于模型M和M中定義的語句φ，定義M?φ和M?－φ如下：

如果φ是原子語句，即φ＝R（m1，…，mn），那么

M? φ當(dāng)且僅當(dāng)〈m1，…，mn〉∈ExtM（R）；

M? －φ當(dāng)且僅當(dāng)〈m1，…，mn〉∈AntiM（R）。

如果φ是合式語句，那么

M? φ當(dāng)且僅當(dāng)M?－φ；

M?－ φ（當(dāng)且僅當(dāng)M?φ；

M?（ψ1ψ2）當(dāng)且僅當(dāng)M?ψ1M?ψ2；

M?－（ψ1ψ2）當(dāng)且僅當(dāng)M?－ψ1M?－ψ2；

命題1 如果M是一個(gè)全模型并且φ∈Def（M），那么M? φ當(dāng)且僅當(dāng)Mφ。

證明：通過對語句φ的結(jié)構(gòu)歸納證明可得，Mφ當(dāng)且僅當(dāng)M?－φ。由定義5，M? φ當(dāng)且僅當(dāng)M?－φ，所以M? φ當(dāng)且僅當(dāng)Mφ。

命題2 令模型M2是模型M1的擴(kuò)充（或擴(kuò)張）。如果M1?φ，那么M2?φ。類似地，如果M1?－φ，那么 M2? －φ。

證明：通過對語句φ的結(jié)構(gòu)歸納可證。

推論1 不存在模型M和語句φ使得M?φ并且M?－φ。

證明：用反證法。假定存在模型M和語句φ，使得M?φ并且M?－φ。令模型N是模型M的全擴(kuò)充（或擴(kuò)張），即N是一個(gè)全模型，由命題2可得，N?φ并且N?－φ。由定義5，M? φ當(dāng)且僅當(dāng)M?－φ，可得，N?φ并且N? φ。但是對全模型N，根據(jù)命題1，Nφ當(dāng)且僅當(dāng)N? φ。這與N?φ并且N? 相矛盾，所以假設(shè)不成立，命題得證。

如果M是一個(gè)部分模型，那么M? φ和Mφ二者有很大的不同。例如，如果常量c在M中沒有指派，那么R（c）在M中不為真，即MR（c）；同樣，R（c）在 M中也不為假，即 M－R（c）。由定義 5，M? R（c）等價(jià)于M? －R（c）。

定義6 如果Mφ，那么語句φ在模型M中不為真。相反，如果M? φ，那么語句φ在模型M中為假。

由上述定義可得，如果φ在模型M中為假，那么φ在模型M中不為真。這里，模型M既可以是部分模型，也可以是全模型。如果φ在模型M中不為真，那么φ在模型M中為假。這里，模型M只能是全模型。

模型的定義域中的元素可以是任何事物，尤其可以是本元、L的語句和L的模型。這就允許我們把語言限定為包含語義謂詞的語言，像真謂詞和指稱謂詞。巴威斯和莫斯受到可及世界和自返集合這兩個(gè)概念的啟發(fā)，給出了可及模型和自返模型的定義。

定義7 如果模型N是模型M的定義域DM中的一個(gè)元素，我們稱模型N在模型M中是可及的。如果M可及自身，即M自身是其定義域中的元素，我們稱模型M是自返的。

根據(jù)廣義解引理，每一個(gè)模型都可以擴(kuò)張為一個(gè)自返的全模型。

二、給語言增加真謂詞

前面，我們建立了處理語義悖論的數(shù)學(xué)框架，因?yàn)橐治龊驼嬷^詞有關(guān)的幾個(gè)悖論，還需要在已有的語言中增加一個(gè)表示真的二元謂詞：True。True（x，y）表示語句x在模型中y為真，通常將True（x，y）記作 Trueyx。對于一個(gè)固定的模型 M，用 True（a，b）表示〈a，b〉∈ExtM（True），F(xiàn)alse（a，b）表示〈a，b〉∈AntiM（True）。為了讓謂詞True表達(dá)“真”，可以增加如下條件：

如果M是一個(gè)全模型，那么對于所有的φ，N∈DM，

（T0）True（φ，N）當(dāng)且僅當(dāng) N是一個(gè)模型，φ∈Def（N）并且 N? φ。

條件（T0）是塔斯基T-模式的一個(gè)版本。如果M是一個(gè)部分模型，令（T1）是（T0）從左到右的方向，即：

（T1）如果 True（φ，N），那么 N是一個(gè)模型，φ∈Def（N）并且 N? φ。

因?yàn)橐粋€(gè)條件一定在True的外延中，所以條件（T1）總是成立。但是，True的反外延有兩種可能性，即（T2）和（T3）。

（T2）如果 N是一個(gè)模型，φ∈Def（N），并且 False（φ，N），那么 N? －φ。

（T3）如果 N是一個(gè)模型，φ∈Def（N），并且 False（φ，N），那么 Nφ。

如果 M和 N是全模型，那么（T2）和（T3）都等價(jià)于（T1）的逆。即，（T0）等價(jià)于（T1）和（T2）的合取，或者（T0）等價(jià)于（T1）和（T3）的合取。但是，如果M是部分模型，那么（T2）和（T3）這兩個(gè)條件則有很大的不同。（T2）的意思是說“語句φ在模型N中為假”，（T3）的意思是說“語句φ在模型N中不為真”。

在《說謊者：論真和循環(huán)》一書中，巴威斯和艾克曼迪提出了關(guān)于悖論的兩種不同的闡釋，即羅素型闡釋和奧斯汀型闡釋。在這里，羅素型闡釋對應(yīng)于條件（T2），而奧斯汀型闡釋則對應(yīng)于條件（T3）。

定義8 令M是一個(gè)模型。

（1）對于所有的語句φ∈DM和所有的模型N∈DM，模型M如果滿足條件（T1）和（T3），那么M是真值正確的（truth-correct）。

（2）如果M是真值正確的并且滿足條件（T1）和（T3）的逆，那么M是一個(gè)真值完全（truth-complete）的模型。即，當(dāng)N∈M并且 φ∈Def（N）時(shí)，N? φ蘊(yùn)含著True（N，φ），Nφ蘊(yùn)含著 False（N，φ）。

可以看出，M是真值完全的當(dāng)且僅當(dāng)它滿足條件（T0）。如果在M的定義域中只有全模型，那么條件（T2）和（T3）是等價(jià)的。這時(shí)，“為假”和“不為真”這兩個(gè)概念是一致的。但是，對于定義域中包含非全模型的模型來說，“為假”和“不為真”這兩個(gè)概念是不同的。

下面把“為假”和“不為真”這兩個(gè)概念和塔斯基的T-模式做一比較：

語句是真的當(dāng)且僅當(dāng)S。

這里，指一個(gè)英語語句S?？梢钥闯觯够腡-模式無視條件（T2）和（T3）的區(qū)別。

塔斯基的T-模式隱含地假設(shè)世界是自返的，并且我們有在世界中討論世界的方法。換句話說，T-模式隱含地假設(shè)我們有某個(gè)項(xiàng)指涉模型M自身。給定這樣一個(gè)項(xiàng)，我們把True簡記為 True（）。

命題3 令M是一個(gè)自返的模型，有一個(gè)項(xiàng)指派M自身，即denM（）＝M。對于任意的語句φ∈Def（M），φ在 M中有一個(gè)名字，即 denM（）＝φ。如果 M滿足（T1）和（T1）的逆，那么True（）?φ

證明：很容易證明，這里從略。

三、幾個(gè)和真謂詞有關(guān)的悖論

有了前面的工作做準(zhǔn)備，下面我們以說謊者悖論、強(qiáng)化的說謊者悖論、佐丹卡片悖論為例，說明反基礎(chǔ)模型論解悖方法的巧妙之處。為了方便，把謊言語句形式化為“ Trueh（this）”，這里True和h（指“here”）是指我們語言中的常量或變量。謊言語句的實(shí)際意思是“本語句在此模型中不是真的”，用反證法，可以證明下述謊言定理：

定理1（謊言定理） 令λ是謊言語句 Trueh（this）。如果M是一個(gè)真值正確的模型，那么至少下述三者之一不成立：

（1）This在M中的指派是λ；

（2）h在M中的指派是M；

（3）M? λ λ。

特別地，如果（1）和（2）同時(shí)成立，那么M不是一個(gè)全模型。

證明：用反證法。假定（1）（2）和（3）同時(shí)成立，就會(huì)得到矛盾的結(jié)論。因?yàn)镸?λ λ，根據(jù)定義5可得，M? λ M? λ。首先，假定 M? λ，即 M? Trueh（this），根據(jù)定義5可得，M? －Trueh（this）。因?yàn)閠his在M中的指派是λ，h在M中的指派是M，由定義5，〈λ，M〉在True的反外延中。但是，由（T3），Mλ。Mλ與 M? λ相矛盾。現(xiàn)在假定 M? λ，即，M? Trueh（this）。由定義5，〈λ，M〉在True的外延中，由（T1），M? λ。M? λ與 M? λ相矛盾。所以（1）（2）和（3）不能同時(shí)成立。

因?yàn)椋?）和（2）同時(shí)成立，所以（3）不成立。用反證法。假定M是一個(gè)全模型，所以〈λ，M〉要么在True的外延中，要么在True的反外延中。如果〈λ，M〉在True的外延中，根據(jù)（T1），M?λ。因?yàn)镸是全模型，所以（T2）和（T3）是等價(jià)的。如果〈λ，M〉在 True的反外延中，根據(jù)（T2），M?－λ，由定義5可得，M? λ。M?λ或者M(jìn)? λ，根據(jù)定義5可得M?λ λ。這與（3）不成立相矛盾。所以，如果（1）和（2）同時(shí)成立，M就不是一個(gè)全模型。

已經(jīng)提出的說謊者悖論的大多數(shù)“解法”可以看作拋棄（1）（2）和（3）三者之一。塔斯基不允許語言中包含真謂詞，所以語言層次理論使（1）成為不可能。真值間隙論認(rèn)為世界是完全的，任何斷言要么真要么不真，所以它放棄了（3）。語境敏感方案放棄了（2），其思想是認(rèn)為忽略了語境的變動(dòng)所以出現(xiàn)了悖論。h的指派在斷定前和斷定后是有所變動(dòng)的。下面通過兩個(gè)例子說明這種變動(dòng)如何發(fā)生，并由此認(rèn)為語境敏感對于解釋說謊者悖論背后的直觀推理似乎是有道理的。

例子1 首先，構(gòu)造一個(gè)真值正確的模型M0，使M0盡可能地接近由謊言定理排除的模型，但是M0放棄了謊言定理中的條件（2）。構(gòu)造的模型M0滿足下列3個(gè)條件：

（1）This在 M0中的指派是 λ＝ Trueh（this）；

（2）M0是自返的并且有它自身的一個(gè)名字；

（3）M0是一個(gè)全模型。

由謊言定理，使它成為可能的是將有某個(gè)項(xiàng)而不是h在M0中的指派為M0。

令M0被定義如下：

顯然，模型M0有上述（1）（2）和（3）三個(gè)性質(zhì)?？梢钥闯?，M0的定義域D中只有兩個(gè)元素：λ和M0?？梢栽贒中放入更多的元素，如x、y、z…，但是即使放入再多的元素，也沒有什么用處。

需要注意的是，h在M0中沒有指派，所以λ在M0中既不為真也不為假。由（T1），〈λ，M0〉在True的反外延中。

已經(jīng)知道λ在M0中不為真，可以通過謊言語句 Truem0（this）這么做。因?yàn)?M0? Truem0（this）。

在此，悖論消失了。因?yàn)橛幸粋€(gè)不同于λ＝ Trueh（this）的謊言語句λ′＝ Truem0（this），this在M0中的指派為 λ＝ Trueh（this）。

這個(gè)例子恰好回應(yīng)了強(qiáng)化的說謊者悖論，然而并不完全是強(qiáng)化的說謊者悖論，因?yàn)檎Z句從λ變?yōu)棣恕?。為了模型化?qiáng)化的說謊者悖論，我們和最初的說謊者語句λ一樣做出相同的斷言。

例子2 構(gòu)造一個(gè)真值正確的自返模型M1，并且使M1滿足下列3個(gè)條件：

（1）This在 M1中的指派是 λ；

（2）h在 M1中的指派是M0；

（3）M1是一個(gè)全模型。

令M1被定義如下：

這里，模型M0是例子1中構(gòu)造的模型。模型M0和M1是非常相似的，如果不在M1的語境c′中放入有序?qū)Α磆，M0〉，那么模型M0和M1是互模擬的，因此模型M0和M1是等同的。

例子3 構(gòu)造一個(gè)滿足下列3個(gè)條件的模型M2：

（1）This在 M2中的指派是 λ＝ Trueh（this）；

（2）h在 M2中的指派是M2；

（3）M2是一個(gè)真值正確的模型（但M2不是一個(gè)全模型，全模型的情況由謊言定理排除掉了）。

令M2被定義如下：

需要注意的是，M2是一個(gè)真值正確的自返模型，正如謊言定理預(yù)測的那樣，M2既不使λ為真，也不使 λ為真。

再次看強(qiáng)化的說謊者悖論，這次使之與M2相聯(lián)系。

例子4 存在一個(gè)滿足下列3個(gè)條件的模型M3：

（1）This在 M3中的指派是 λ＝ Trueh（this）；

（2）h在 M3中的指派是M2；

（3）M3是一個(gè)真值正確的全模型。

令M3被定義如下：

這里，悖論消失了，因?yàn)橹e言語句不是關(guān)于模型M3的，而是最初的部分模型M2。用這種方法模型化事物，謊言語句就不是真的，但是強(qiáng)化的說謊者是真的。即，λ（和λ）在M2中不為真，但是λ在M3中為真。在謊言語句和擴(kuò)展的謊言語句之間有一個(gè)語境的變化；它們同樣是關(guān)于相同的模型M2，但是卻是在模型M2和M2的擴(kuò)張M3中被評價(jià)的。

例子5 令α＝Trueh1（that2），β＝ Trueh2（that1）。α表達(dá)的意思是“β語句在此模型中為真”。β表達(dá)的意思是“α語句在此模型中為假”。構(gòu)造兩個(gè)真值正確的全模型M4和M5，使得that2在M4中的指派是β，h1在M4中的指派是M4，that1在M5中的指派是α，h2在M5中的指派是M4。

令M4被定義如下：

類似地，令M5被定義如下：

模型M4和M5都有想要的性質(zhì)。

四、結(jié)語

可以看出，上文重點(diǎn)闡釋和具體說明的反基礎(chǔ)模型論解悖方法，不僅通過解釋在不同情境中指派發(fā)生的變化以達(dá)到消解悖論的目的，同時(shí)還從側(cè)面揭示了說謊者悖論產(chǎn)生的根源。由此可知，反基礎(chǔ)模型論解悖方法對說謊者悖論進(jìn)行處理的做法和情境語義學(xué)解悖方案有著相似之處。

本文主要討論了在建構(gòu)反基礎(chǔ)模型論這一數(shù)學(xué)框架的基礎(chǔ)上，通過給語言增加真謂詞的方法，消解了幾個(gè)包含真謂詞的悖論。當(dāng)然，用同樣的方法，我們也可以分析誠實(shí)者語句、偶然的說謊者等與之類似的問題。同理，在巴威斯等所構(gòu)造數(shù)學(xué)框架的基礎(chǔ)上，我們還可以通過給語言增加指派謂詞的方法，消解指稱悖論，這也是筆者希望接著進(jìn)行探討的另一研究內(nèi)容。