李 攀，劉元正，王繼良

（中航工業(yè)西安飛行自動(dòng)控制研究所，西安 710065）

核磁共振陀螺（Nuclear Magnetic Resonance Gyroscope，NMRG）是一種利用核磁共振原理工作的全固態(tài)陀螺儀。它沒有運(yùn)動(dòng)部件，性能由原子材料決定，理論上動(dòng)態(tài)測量范圍無限，綜合運(yùn)用了量子物理、光、電磁和微電子等領(lǐng)域中的技術(shù)，是未來陀螺儀發(fā)展的新方向[1-7]。

原子自旋可以在慣性參考系中保持其初始指向，類似于傳統(tǒng)機(jī)械陀螺中的轉(zhuǎn)子，所以原子自旋也可以用于敏感轉(zhuǎn)動(dòng)。歐美國家從20世紀(jì)60年代就已經(jīng)開始研究核磁共振陀螺，Litton公司和 Singer-Kearfott公司在1979年分別開發(fā)出了核磁共振陀螺原型機(jī)，均達(dá)到了導(dǎo)航精度[8]。雖然結(jié)果鼓舞人心，但核磁共振陀螺項(xiàng)目仍在其潛力被完全認(rèn)識(shí)前取消了。項(xiàng)目的停止主要?dú)w因于同期激光陀螺技術(shù)的發(fā)展，當(dāng)時(shí)激光陀螺技術(shù)被認(rèn)為更有前途。

進(jìn)入21世紀(jì)以來，微型原子器件的顯著進(jìn)步證實(shí)了原子MEMS的可行性，為核磁共振陀螺的發(fā)展迎來的曙光[9-10]。2005年，美國國防先進(jìn)研究計(jì)劃局（DARPA）提出了導(dǎo)航級(jí)集成微陀螺（NGIMG）概念，在定位、導(dǎo)航和授時(shí)微技術(shù)（Micro-PNT）項(xiàng)目中對(duì)美國 Northrop Grumman公司的核磁共振陀螺研究給予了支持[11]。到2012年美國Northrop Grumman公司實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)航級(jí)核磁共振微陀螺[12]，隨機(jī)游走達(dá)到0.01 (°)/√h，零偏穩(wěn)定性達(dá)到 0.05 (°)/h，滿量程速率大于 500 (°)/s，刻度因子穩(wěn)定性＜25×10-6，成為目前世界上達(dá)到導(dǎo)航級(jí)精度中體積最小的陀螺，標(biāo)志著高精度、小體積陀螺技術(shù)領(lǐng)域取得了突破性進(jìn)展。

核磁共振陀螺利用檢測磁場中原子核自旋進(jìn)動(dòng)頻率的改變確定載體角速度。陀螺所涉及的磁場包括縱向靜態(tài)磁場和橫向振蕩磁場，原子核自旋繞靜磁場進(jìn)動(dòng)，振蕩磁場頻率與原子核進(jìn)動(dòng)頻率相同。在進(jìn)行陀螺設(shè)計(jì)時(shí)，必須保證靜態(tài)磁場縱向分量在氣室范圍內(nèi)均勻分布，橫向分量近似為零，振蕩磁場橫向分量在氣室范圍內(nèi)均勻分布，縱向分量近似為零。從陀螺原理可以看出，核磁共振陀螺的陀螺精度與靜磁場的均勻性、穩(wěn)定性密切相關(guān)。

為防止外部磁場對(duì)陀螺的干擾，核磁共振陀螺需要磁屏蔽。核磁共振陀螺靜磁場通常由亥姆霍茲線圈或螺線管產(chǎn)生，這兩種結(jié)構(gòu)均存在漏磁，在長期工作過程中一方面會(huì)因?yàn)榇帕€在磁屏蔽材料表面反射形成雜散磁場，另一方面會(huì)導(dǎo)致磁屏蔽罩長期磁化，并最終干擾陀螺精度。

1 靜磁場系統(tǒng)漏磁計(jì)算

目前，在核磁共振領(lǐng)域得到工程應(yīng)用的均勻靜磁場產(chǎn)生方案一般有兩種[13-15]：亥姆霍茲線圈和螺線管。這里我們將亥姆霍茲線圈看作兩匝的疏繞螺線管，從而只討論螺線管一個(gè)方案。

1.1 載流環(huán)形線圈的磁場

載流環(huán)形線圈如圖1所示。以線圈中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，z軸與線圈平面垂直，電流I以逆時(shí)針方向繞z軸旋轉(zhuǎn)。根據(jù)畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律，任一電流元Idl在點(diǎn)P形成的磁場可以表示為

其中，r為元電荷指向點(diǎn)P的矢量，μ0為真空電導(dǎo)率。

可以得到P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

圖1 環(huán)形電流磁場Fig.1 Ring current magnetic field

1.2 通電螺線管的軸向磁場

通電螺線管的磁場可以近似看作一系列圓形線圈磁場的疊加。

圖2 螺線管軸上的磁場Fig.2 Magnetic field on the solenoid axis

令螺線管長為L，半徑為R，單位長度的匝數(shù)為n，電流強(qiáng)度為I，可以得到螺線管在原點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

其中，β1和β2如圖2所示。

1.3 螺線管的離軸磁場

下面我們考慮螺線管的漏磁，即螺線管外的離軸磁場。從式(4)得到載流線圈的離軸磁場為

其中，x、z為離軸點(diǎn)到線圈中心的徑向和軸向距離。將螺線管的每個(gè)線圈分別進(jìn)行計(jì)算并進(jìn)行疊加就可以得到螺線管的離軸磁場大小。

為便于計(jì)算，采用梯形公式對(duì)式(8)進(jìn)行近似，有其中，ak=0+kh=kh，k=1,2,…,N?1，h=(π?0)/N=π/N。

設(shè)計(jì)核磁共振陀螺螺線管為半徑R=25 mm，繞組長度L=50 mm，繞組匝數(shù)n=50，通電電流I=0.2 A，其軸向磁場如圖 3所示。定義磁場非均勻性指標(biāo)δ=std(B)/mean(B)，取氣室尺寸大小計(jì)算δ=0.01。

螺線管端口沿徑向的磁場分布如圖4所示。

圖3 傳統(tǒng)螺線管的軸向磁場分布Fig.3 Axial magnetic field distribution of conventional solenoid

圖4 傳統(tǒng)螺線管端口沿徑向磁場分布Fig.4 Radial magnetic field distribution at the conventional solenoid port

端口處的離軸磁場可以分解為Bz和Bx兩個(gè)部分，且Bx起主要作用，所以減小離軸磁場主要是要消除徑向磁場Bx。

2 核磁共振陀螺靜磁系統(tǒng)漏磁抑制

經(jīng)過簡單分析可以發(fā)現(xiàn)，通過改變靜磁線圈的長徑比可以有效減小端口漏磁，比如減小線圈尺寸或增加線圈長度，但在核磁共振陀螺使用中卻受到了限制。由于核磁共振陀螺是一種微陀螺，靜磁線圈的直徑受到其內(nèi)部陀螺結(jié)構(gòu)的限制，而長度受到了陀螺體積的限制?？偟膩碚f，通過改變靜磁線圈尺寸來抑制端口漏磁的效果有限。此外，還需要考慮磁場均勻性的要求，因?yàn)楹舜殴舱裢勇輹?huì)嚴(yán)格限制靜磁系統(tǒng)的磁場均勻性，核磁共振陀螺的陀螺精度與靜磁場的均勻性、穩(wěn)定性密切相關(guān)。所以我們需要一種體積小、結(jié)構(gòu)簡單且不影響靜磁系統(tǒng)磁場均勻性的漏磁抑制技術(shù)。

可以參考無矩線圈使用雙層螺線管結(jié)構(gòu)來抑制離軸磁場，該方法通過幾組子線圈以一定的幾何結(jié)構(gòu)安裝方式，并通過各組子線圈一定的線圈匝數(shù)和一定的電流方向，使線圈外部的磁場急速衰減，線圈的磁矩為零。這種螺線管具有十分突出的優(yōu)點(diǎn)：在工作時(shí)對(duì)一定距離外的環(huán)境不會(huì)產(chǎn)生磁干擾、不會(huì)磁化較臨近的磁性物質(zhì)等。

此外，雙層螺線管還有另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。從圖3中可以看出，普通螺線管沿中心軸的磁場分布表現(xiàn)出兩端小、中間大的特征，這也是影響磁場均勻性的主要因素。而雙層螺線管通過在外層施加一個(gè)反向磁場在一定程度上對(duì)磁場中心進(jìn)行了平滑，所以可以通過合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來提高磁場均勻度。

無矩線圈的外形尺寸在結(jié)構(gòu)上滿足下列關(guān)系[16]：

式中：D1、D2為內(nèi)外螺線管的直徑，L1、L2為內(nèi)外螺線管的繞組長度，n1、n2為內(nèi)外螺線管繞組匝數(shù)。

2.1 初步設(shè)計(jì)

參考無矩線圈的結(jié)構(gòu)，初步設(shè)計(jì)雙層螺線管為D1=50 mm、D2=60 mm、L1=50 mm、L2=37.42 mm、n1=50、n2=35、I=0.66 A，尺寸嚴(yán)格滿足無矩線圈結(jié)構(gòu)，內(nèi)外螺線管通電電流方向相反，產(chǎn)生的軸向磁場如圖5所示。與設(shè)計(jì)要求相近，取氣室尺寸大小計(jì)算磁場非均勻性指標(biāo)δ=3.19×10-4，磁場均勻性顯著提高。

雙層螺線管端口沿徑向的磁場分布如圖6所示。

可以看出，與普通螺線管相比：對(duì)于Bz，雙層螺線管在D＞96.54 mm區(qū)域漏磁優(yōu)于普通螺線管；對(duì)于Bx，雙層螺線管在D＞65.58 mm區(qū)域漏磁優(yōu)于普通螺線管。令標(biāo)量B=(Bz2+2Bx2)0.5，所得結(jié)果如圖7所示。

由圖7可以看出，雙層螺線管在D＞92.50 mm區(qū)域漏磁優(yōu)于普通螺線管，遠(yuǎn)大于雙層螺線管的外線圈直徑D2（60 mm）。由于核磁共振陀螺需要嚴(yán)格限制尺寸大小，磁屏蔽罩的內(nèi)徑僅略大于靜磁場線圈，在此范圍內(nèi)使用無矩線圈對(duì)靜磁系統(tǒng)產(chǎn)生的漏磁幾乎沒有抑制效果。

圖5 雙層螺線管沿軸向的磁場分布Fig.5 Axial magnetic field distribution of double-layer solenoid

圖6 雙層螺線管端口沿徑向矢量磁場分布Fig.6 Radial vector magnetic field distribution at the double-layer solenoid port

圖7 雙層螺線管端口沿徑向標(biāo)量磁場分布Fig.7 Radial scalar magnetic field distribution at the double-layer solenoid port

2.2 參數(shù)分析

下面將通過參數(shù)分析來確定雙層螺線管結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)線圈漏磁的影響，從而通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)來進(jìn)一步提升雙層螺線管的性能。

選用參數(shù)D1=50 mm、D2=60 mm、L1=50 mm、L2=37.42 mm、n1=50、n2=35、I=0.66 A，固定其它參數(shù)，改變其中一個(gè)以確定雙層螺線管結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)性能的影響。判斷指標(biāo)采用內(nèi)螺線管端口沿徑向磁場分布絕對(duì)值的平均值。

● 外螺線管直徑D2

外螺線管直徑D2對(duì)雙層螺線管漏磁的影響如圖8所示。

圖8 外螺線管直徑D2對(duì)雙層螺線管漏磁的影響Fig.8 Influence of diameter D2 of external solenoid on magnetic flux leakage of double-layer solenoid port

從圖8中可以看出：對(duì)于Bz，雙層螺線管的漏磁隨著D2的增加而增加；對(duì)于Bx，則存在極小值點(diǎn)，此時(shí)D2=54.8 mm。

● 外螺線管長度L2

外螺線管長度L2對(duì)雙層螺線管漏磁的影響如圖 9所示。從圖9中可以看出：對(duì)于Bz，雙層螺線管的漏磁隨著L2的增大而減?。粚?duì)于Bx，則存在極小值點(diǎn)，此時(shí)L2=39.03 mm。

圖9 外螺線管長度L2對(duì)雙層螺線管漏磁的影響Fig.9 Influence of length L2 of external solenoid on magnetic flux leakage of double-layer solenoid port

● 外螺線管匝數(shù)n2

圖10 外螺線管匝數(shù)n2對(duì)雙層螺線管漏磁的影響Fig.10 Influence of number of turns n2 of external solenoid on magnetic flux leakage of double-layer solenoid port

外螺線管匝數(shù)n2對(duì)雙層螺線管漏磁的影響如圖10所示。從圖10中可以看出：對(duì)于Bz，存在極小值點(diǎn)，此時(shí)n2=33；對(duì)于Bx，存在極小值點(diǎn)，此時(shí)n2=28。綜合考慮，最優(yōu)點(diǎn)為n2=28。

2.3 參數(shù)優(yōu)化

從上述分析可以看出，外螺線管直徑D2、外螺線管長度L2、外螺線管匝數(shù)n2都會(huì)影響對(duì)靜磁系統(tǒng)端口漏磁的抑制效果，我們可以通過回歸分析的方法建立上述參數(shù)與靜磁系統(tǒng)端口漏磁抑制之間的回歸關(guān)系，同時(shí)兼顧靜磁系統(tǒng)小體積、磁場高均勻的要求。

為降低計(jì)算量并提高回歸精度，并考慮到使用簡單的一次回歸正交設(shè)計(jì)并不能得到滿意的結(jié)果，采用最優(yōu)近似飽和設(shè)計(jì)進(jìn)行二次回歸。取外螺線管直徑D2、外螺線管長度L2、外螺線管匝數(shù)n2作為四因子，采用最優(yōu)近似飽和設(shè)計(jì)（R311D）進(jìn)行回歸設(shè)計(jì)，各因子的編碼自變量(xi)的編碼水平j(luò)和實(shí)際自變量(zi)的實(shí)際水平如表1所示。

表1 最優(yōu)近似飽和設(shè)計(jì)試驗(yàn)因子及水平Tab.1 Optimal approximation saturation design experimental factors and levels

對(duì)于本設(shè)計(jì)來說：外線圈直徑D2需要大于內(nèi)線圈直徑D1，但也需要考慮到實(shí)際安裝的最大尺寸；外線圈長度L2需要小于內(nèi)線圈長度；同時(shí)，外線圈匝數(shù)最少2匝，考慮到常規(guī)導(dǎo)線的直徑，最大不超過50匝。實(shí)施水平間距δi為：

設(shè)計(jì)水平j(luò)對(duì)應(yīng)的實(shí)際水平為：

具體數(shù)值如表1所示。

使用Matlab進(jìn)行仿真計(jì)算。對(duì)于各組參數(shù)，改變電流以使螺線管在氣室范圍內(nèi)產(chǎn)生的磁場大小歸一化以減小誤差，并以磁屏蔽罩區(qū)域漏磁場標(biāo)量B的均值（Gauss）為判定條件，兼顧磁場均勻性指標(biāo)δ，得到結(jié)果如表2所示。

使用下列模型進(jìn)行二次回歸：

式中，n為自變量的數(shù)目，b0為回歸方程的常數(shù)項(xiàng)，bi為一次項(xiàng)的偏回歸系數(shù)，bij為二次項(xiàng)的偏回歸系數(shù)。

使用Minitab進(jìn)行多輪數(shù)學(xué)回歸。若數(shù)學(xué)回歸的結(jié)果中有系數(shù)未達(dá)到顯著水平（p＜0.05），將其并入誤差項(xiàng)繼續(xù)進(jìn)行回歸，直到得到最終的回歸方程。

對(duì)于磁場參數(shù)y1（磁屏蔽罩區(qū)域漏磁場標(biāo)量B的均值），從最終回歸的方差分析表（表3）可以看出，回歸達(dá)到極顯著水平（F＞F0.01(5,5)=10.97），回歸方程的復(fù)相關(guān)系數(shù)Rsq=0.969。偏回歸t檢驗(yàn)中，只有b12達(dá)到顯著水平（p＜0.05），其余系數(shù)均達(dá)到極顯著水平（p＜0.01），如表4所示。

表2 試驗(yàn)方案及結(jié)果Tab.2 Experimental scheme and results

表3 試驗(yàn)方差分析Tab.3 Analysis of variance

表4 偏回歸系數(shù)b的t檢驗(yàn)Tab.4t test of partial regression coefficient b

回歸方程為：

表5 試驗(yàn)方差分析Tab.5 Analysis of variance

對(duì)于磁場參數(shù)y2（即磁場均勻性指標(biāo)δ），從最終回歸的方差分析表（表5）可以看出，回歸達(dá)到極顯著水平（F＞F0.05(6,4)=14.54），回歸方程的復(fù)相關(guān)系數(shù)Rsq=0.939。偏回歸t檢驗(yàn)中，只有b23達(dá)到極顯著水平（p＜0.01），其余系數(shù)達(dá)到顯著水平（p＜0.05），如表6所示。

表6 偏回歸系數(shù)b的t檢驗(yàn)Tab.6t test of partial regression coefficient b

回歸方程為：

考慮到

可得：

即：

結(jié)合回歸方程綜合考慮漏磁大小和磁場均勻性指標(biāo)，取D=54 mm、L=43 mm、n=38，對(duì)應(yīng)(-1, 1.3, 1)水平?；貧w結(jié)果為=0.077G，δ=5.19×10-3。Matlab仿真結(jié)果為=0.091G，δ=6.41×10-4，磁場非均勻性指標(biāo)比回歸結(jié)果更小一些。

此時(shí)螺線管產(chǎn)生的軸向磁場如圖11所示?？梢钥闯鲋行膮^(qū)域磁場均勻性有明顯改善。端口漏磁如圖 12所示。由圖 12中可以看出，優(yōu)化后的雙層螺線管在D＞61.72mm 區(qū)域端口漏磁明顯優(yōu)于普通螺線管，在1.5倍螺旋線管直徑（差不多能涵蓋整個(gè)磁屏蔽罩）范圍內(nèi)，漏磁較普通螺線管平均減小 45.4%，對(duì)靜磁系統(tǒng)的漏磁起到了有效的抑制作用，可以滿足核磁共振陀螺的使用需求。

圖11 優(yōu)化后的雙層螺線管沿軸向的磁場分布Fig.11 Axial magnetic field distribution of the optimized double-layer solenoid

圖12 優(yōu)化后的雙層螺線管端口沿徑向的標(biāo)量磁場分布Fig.12 Radial scalar magnetic field distribution at the optimized double-layer solenoid port

3 結(jié) 論

作為一種新型微型陀螺儀，隨著MEMS技術(shù)和微型原子器件的發(fā)展，核磁共振陀螺儀有望在中低精度導(dǎo)航和制導(dǎo)領(lǐng)域得到應(yīng)用，其潛在應(yīng)用方向包括小型飛行器、無人飛行器、無人水下潛艇、地面車輛、戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈等。美國陸軍計(jì)劃從2013年開始進(jìn)行將核磁共振陀螺納入單兵作戰(zhàn)平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)和測試工作[17]。

本文從核磁共振陀螺靜磁場分布的理論分析出發(fā)，通過數(shù)學(xué)計(jì)算和計(jì)算機(jī)仿真，分析和研究了靜磁系統(tǒng)的端口漏磁，并對(duì)靜磁系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)的核磁共振陀螺靜磁系統(tǒng)端口漏磁在1.2倍螺線管直徑范圍內(nèi)較傳統(tǒng)方案平均減小 45.4%，滿足了核磁共振陀螺的使用需求。該工作為核磁共振陀螺儀設(shè)計(jì)和制造提供了一定的理論依據(jù)和參考價(jià)值。

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