于濤

[摘 要] 文章以“最近發(fā)展區(qū)”理論為基礎，以等比數(shù)列前n項和公式教學為例，在教學設計時以平方差、立方差公式為學生學習的起點，運用歸納猜想得到等比數(shù)列前n項和公式. 在推導與證明公式時，以n維多項式的運算、算法為起點，學習了推導與證明公式的四種方法，分別是裂項相消法、錯位相減法、秦九韶算法、q進制數(shù)法；其中q進制數(shù)法的學習體現(xiàn)了學生的創(chuàng)新思維，提出了有關(guān)進制數(shù)廣義定義的問題. 教學設計體現(xiàn)了學生現(xiàn)有水平和潛在水平螺旋上升的過程，實現(xiàn)了學生學習知識的自然發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 最近發(fā)展區(qū)；等比數(shù)列前n項和公式；現(xiàn)有水平；潛在水平

■“最近發(fā)展區(qū)”的概念及意義

“最近發(fā)展區(qū)”是蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的，它是指現(xiàn)有水平和潛在發(fā)展水平之間的幅度. “最近發(fā)展區(qū)”的“最近”是基點，“發(fā)展”是目標. 維果茨基認為至少可以確定學生有兩個發(fā)展水平，第一個是現(xiàn)有發(fā)展水平，是由已經(jīng)完成的發(fā)展程序的結(jié)果形成的心理技能的發(fā)展水平，表現(xiàn)為學生能獨立地、自如地完成教師提出的智力任務；第二個是潛在發(fā)展水平，是那些尚處于形成狀態(tài)，表現(xiàn)為學生還不能獨立地完成任務，但在教師幫助下，在集體活動中，通過訓練和自己的努力能夠完成. 這兩個水平之間的幅度即為“最近發(fā)展區(qū)”. 如圖1所示，數(shù)學課堂教學若想利用好“最近發(fā)展區(qū)”，則需要教師準確把握學生對新學習內(nèi)容的現(xiàn)有水平和潛在水平的有機螺旋上升關(guān)系，推動學生不斷積累知識和發(fā)展數(shù)學思維.

“最近發(fā)展區(qū)”理論指導下的教學是知識自然發(fā)展的過程，與當下頗受重視的數(shù)學史融入高中數(shù)學教材有異曲同工之處. 當代學生學習知識的順序以及知識的儲備，使得老師們可以從更寬闊的視角實現(xiàn)知識自然發(fā)展的過程，甚至突破歷史，實現(xiàn)創(chuàng)新. 正如課程標準十大基本理念之一：教學應通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.

■教學內(nèi)容簡析

教材中，等比數(shù)列前n項和公式的教學從國際象棋棋盤上小麥數(shù)量的具體等比求和問題開始，符合特殊到一般的思維發(fā)展過程. 緊接著研究一般的等比數(shù)列求和問題，直接進入技巧性較強的錯位相減法的學習，這樣的編排給了老師們很大的發(fā)揮空間，幫助學生實現(xiàn)知識“鴻溝”的跨越.

本節(jié)課的發(fā)展目標包括知識目標和方法目標，知識目標是等比數(shù)列前n項和公式，方法目標是推導與證明公式的方法，包括錯位相減法、裂項相消法等. 實現(xiàn)發(fā)展目標的基點是學生學過的與等比數(shù)列求和有關(guān)的知識. 例如，從特殊到一般的思想方法出發(fā)，可以以歸納猜想為基點；從研究數(shù)列的思維方法角度出發(fā)，把Sn看成是一個新數(shù)列的通項，可以以探尋與Sn有關(guān)的遞推關(guān)系為基點，這不僅能引導學生實現(xiàn)知識與思維的發(fā)展，還可以探尋歷史方法的本質(zhì)聯(lián)系；從多項式化簡的角度出發(fā)，可以以因式分解和運算律為基點等，本文就試圖從該角度出發(fā)，應用“最近發(fā)展區(qū)”，實現(xiàn)學生知識與思維的發(fā)展.

■教學設計與實施

1. 引入與歸納

引例：國王要獎賞國際象棋發(fā)明者，問他想要什么，發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，以此類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.” 請大家?guī)蛧跛闼阈枰o發(fā)明者多少粒麥子？

生：國王需要給發(fā)明者的麥粒數(shù)為S64=1+2+22+23+…+263.

師：如何求這個等比例數(shù)列的前64項和？

生：從特殊情況入手，找規(guī)律.

教師讓學生計算歸納，完成表1第3行.

表1

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通過學生活動，得到具體等比數(shù)列求和問題的結(jié)果S64=1+2+22+23+…+263=264-1.

設計意圖：數(shù)學學習是具體到抽象、特殊到一般的過程. 在該具體問題中，學生具備相關(guān)運算及歸納猜想的能力，通過思考、計算、歸納猜想得到問題的結(jié)果，是學生現(xiàn)有水平的體現(xiàn)，為課堂發(fā)展做好鋪墊.

2. 探究與發(fā)現(xiàn)

等比數(shù)列求和問題：已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

教師給出問題，并根據(jù)前n項和定義Sn=a1+a2+a3+…+an，得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）. 因此，要求Sn，只需求Tn=1+q+q2+…+qn-1，Tn的求解可以是一個特殊多項式化簡的過程.

師：請大家按照由特殊到一般的歸納過程，聯(lián)系初中所學的平方差、立方差公式，完成表2第三行.

表2

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師：請大家說說表2中，T2和T3怎么填寫？

生：n=2時，由1-q2=（1-q）（1+q），得1+q=■. n=3時，由1-q3=（1-q）（1+q+q2），得1+q+q2=■.

師：有沒有需要完善的地方？

生：在除以1-q之前，需要注意它是否為0，所以q≠1時，T2=■，T3=■；q=1時，T2=2，T3=3.

師：根據(jù)T2和T3，大家歸納的Tn怎么填寫？

生：Tn=■（q≠1），n（q=1）.

師：很好，這樣我們便有了Sn=■（q≠1），na1（q=1）， 我們猜想的公式是否正確？如何證明？

設計意圖：這里用與引例相似的方式進行等比數(shù)列求和公式的研究，學生具備平方差、立方差公式及歸納猜想的能力. 學生現(xiàn)有水平是能夠分別由平方差、立方差公式得到T2、T3，潛在水平是歸納并發(fā)現(xiàn)Tn . 其本質(zhì)就是把平方差、立方差公式從二、三維推廣至n維公式1-qn=（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）的過程. 該過程的實現(xiàn)，強化了學生歸納猜想的能力，提升了學生由低維向高維推廣結(jié)論的意識.

3. 推導與證明

公式推導與證明的核心是q≠1的情形.

師：要證Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=■（q≠1），即證1+q+q2+…+qn-1=■，請大家將式子（1-q）（1+q），（1-q）（1+q+q2）展開，談談你的發(fā)現(xiàn)，并證明公式.

（1）裂項相消法

學生活動發(fā)現(xiàn)1：（1-q）（1+q）=1-q+q-q2=1-q2；（1-q）（1+q+q2）=1-q+q-q2+q2-q3=1-q3.

師：請發(fā)現(xiàn)1的同學說說你的證明思路.

生：由（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1-q+q-q2+q2-q3+…+qn-1-qn=1-qn，兩邊同時除以1-q得1+q+q2+…+qn-1=■.

師：很好，這樣Sn=■（q≠1）的證明過程可以寫成： Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1） =■=■·（1-q+q-q2+…+qn-1-qn）=■.

師：請大家觀察一下證明過程，用了什么求和方法？

生：過程中an=a1qn-1=■（qn-1-qn），一項裂成了兩項，是裂項相消法.

（2）錯位相減法

學生活動發(fā)現(xiàn)2：（1-q）（1+q）=（1+q）-q（1+q）=1-q2；（1-q）（1+q+q2）=（1+q+q2）-q（1+q+q2）=1-q3.

師：請發(fā)現(xiàn)2的同學說說你的證明思路.

生：由（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1+q+q2+…+qn-1-q（1+q+q2+…+qn-1）=1-qn，兩邊同時除以1-q得1+q+q2+…+qn-1=■.

師：用Tn表示，即（1-q）Tn=Tn-qTn=1-qn，請大家寫一寫Sn的證明過程.

生：在Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）兩邊同時乘以q得qSn=a1（q+q2+q3+…+qn），兩式相減得Sn-qSn=a1（1-qn），當q≠1時，Sn=■.

師：這就是課本上我們要學習的新方法：錯位相減法. 錯位相減法利用了等比數(shù)列前n項和的自相似性.

設計意圖：裂項相消法和錯位相減法可視為從同一個多項式不同運算順序提煉而成的方法，在學生活動過程中，哪個先被學生發(fā)現(xiàn)是隨機的. 證明過程中，學生的現(xiàn)有水平是多項式運算證明，潛在水平是由此提煉而成的證明方法. 方法提煉的過程中，總結(jié)出裂項相消法是因指數(shù)冪的自相似性而得，錯位相減法是因等比數(shù)列求和式結(jié)構(gòu)的自相似性而得. 這里把運算順序、方式的變化升格為數(shù)學方法，推動學生方法學習的發(fā)展.

（3）秦九韶算法

師：除了初中所學的多項式相關(guān)知識，高一有沒有與多項式有關(guān)的算法可以幫我們證明公式？

生：秦九韶算法，Sn=a1+q（a1+a1q+…+a1qn-2）=a1+qSn-1.

師：很好，如何求Sn？

生：可以用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列.

生：還可以把Sn-1換成Sn-an，即Sn=a1+q（Sn-an），求出Sn=■（q≠1）.

設計意圖：回歸數(shù)列內(nèi)在的研究方法邏輯是非常重要的，在秦九韶算法的視角下，把Sn視為數(shù)列通項時，要求Sn，即要尋找Sn的遞推關(guān)系. 這時學生的現(xiàn)有水平是秦九韶算法v0=an，vk=vk-1x+an-k（k=1，2，…，n），潛在水平是算法本質(zhì)即數(shù)列遞推關(guān)系，等比數(shù)列求和的多項式正是其特殊情況，即S1=a1，Sk=qSk-1+a1（k=1，2，…，n）.

（4）q進制數(shù)法

生：老師，還可以用q進制數(shù)推導公式！

師：你來說一說！

生：Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）=a1·（■）（q）=■[（q-1）（■）（q）]=■[■]（q）=■·{[■]（q）+1-1}=■·[■（q）-1]=■（qn-1）=■.

師：大家看看嚴謹嗎？

生：只證明了q>1的情況.

生：q>1，也只能整數(shù)才行??！

師：這個證明的想法非常好，他想利用的是把任意正實數(shù)按給定的一個等比數(shù)列公比分解，符合公式（■）（q）=an×qn+an-1×qn-1+…+a1×q1+a0×q0，只要能保證每個實數(shù)按這個q進制分解的唯一性，這個證明方法就沒有問題了.

師：請大家課后查閱進位制的相關(guān)資料，看是否有關(guān)于進位制的廣義定義，并按照這個思路研究0

課堂反思：這個做法超出了課堂預設，是學生受到算法的啟發(fā)，進行廣泛地聯(lián)系之后，產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的想法，雖然應用的原理有待明確，但依然讓人倍感興奮. 學生的現(xiàn)有水平是正整數(shù)進位制數(shù)與多項式的關(guān)系，潛在水平是任意正實數(shù)進位制與多項式的關(guān)系. 該潛在水平是對新的數(shù)學問題的提出，值得師生共同去研究，若能證明數(shù)的分解的唯一性，便能得到廣義的進位制數(shù)的定義.

■“最近發(fā)展區(qū)”的運用分析

本節(jié)課教學設計的主導思想是把等比數(shù)列求和公式的探尋與證明視為多項式的化簡與證明，教學過程所呈現(xiàn)的通過“最近發(fā)展區(qū)”把“潛在水平”轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)有發(fā)展水平”的過程關(guān)系圖如圖2.

本節(jié)課利用“最近發(fā)展區(qū)”的教學過程實現(xiàn)了三個數(shù)學思維的成長：第一個是由低維到高維的思維成長；第二個是由運算變形到方法的成長；第三個是由現(xiàn)有所學思考廣義數(shù)學問題的成長.

■結(jié)語

奧蘇泊爾在其論著《教育心理學——認知觀點》一書中寫了一段話：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之：影響學習的唯一最重要的因素，就是學習者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點，并應據(jù)此進行教學. ”在“最近發(fā)展區(qū)”理論的指導下，教師需要在課前明確學生學習的起點，以期學生在課堂探索與合作中收獲成功的喜悅，教師還需要做好問題的設計，力求做到學生跳一跳能摘到“桃子”，這樣教師便實現(xiàn)了教學與學生發(fā)展之間的橋梁作用.