嚴(yán)勇

[摘 要] 課堂是向著未知方向探索的旅程，該過程中必然會出現(xiàn)很多意想不到的因素，有經(jīng)驗的教師通過生成操作可以讓課堂更加精彩動人. 本文結(jié)合具體案例，分享了筆者有關(guān)高中數(shù)學(xué)課堂預(yù)設(shè)與生成的思考.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；預(yù)設(shè)；生成

如何提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實效？筆者認(rèn)為不能僅僅只有預(yù)設(shè)，還應(yīng)該有生成，而且兩者是統(tǒng)一并非對立的關(guān)系. 通過有效的預(yù)設(shè)來啟迪學(xué)生的思維，連接學(xué)生原有的認(rèn)知和經(jīng)驗，激活學(xué)生的思維，將思緒向最近發(fā)展區(qū)延伸，繼而有新的發(fā)現(xiàn)與思考，生成新的問題. 而對于學(xué)生的課堂生成，則有些是在教師預(yù)設(shè)的教學(xué)軌跡上的，而有些甚至是偏離原先預(yù)設(shè)的意外. 筆者認(rèn)為這些都是很好的課堂生長點(diǎn)，尤其是意外生成，如果教師處理得恰當(dāng)、科學(xué)，甚至?xí)蔀檎n堂的亮點(diǎn)所在. 最近，某校的教學(xué)展示活動中，一節(jié)數(shù)學(xué)課上的意外生成，引起了筆者的深思.

■案例呈現(xiàn)

本課是“等差數(shù)列的前n項和”的習(xí)題課，授課教師先引導(dǎo)學(xué)生對等差數(shù)列的一系列公式進(jìn)行了復(fù)習(xí)，并對通項公式中的an和前n項求和公式中的Sn所具有的函數(shù)性進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)，然后開始進(jìn)行例題教學(xué).

例題 現(xiàn)有等差數(shù)列{an}，已知S10>0，S11<0，求n取何值時可以讓Sn達(dá)到最大？

教師給出一段時間讓學(xué)生進(jìn)行思考，然后以提問的方式來引導(dǎo)學(xué)生正確審題，并尋求問題的解決思路.

師：從例題所給出的情境，你能發(fā)現(xiàn)哪些隱含條件？

生1：該數(shù)列{an}的前幾項都是正數(shù)，后面的項都是負(fù)數(shù)，它有單調(diào)遞減的規(guī)律.

師：好的，厘清題意對解題很關(guān)鍵. 要求讓Sn達(dá)到最大的n，你需要知道什么？

生2：需要知道n. （學(xué)生和教師都笑了，教師自己也意識到剛才的提問存在指向模糊的失誤，因此進(jìn)行修正）

師：咱們再退后想想，現(xiàn)在有一個等差數(shù)列9，5，1，-3，-7……對應(yīng)本數(shù)列的S■中，哪一個的值最大？

生3：最大的是S3. 我認(rèn)為此類問題的解決關(guān)鍵在于判斷數(shù)列中的哪一項開始會出現(xiàn)正負(fù)切換，即需要明確an>0，an+1<0，此刻的n就是所求的值.

師：可以！當(dāng)然an≥0，an+1<0也有可能. 結(jié)合我們已經(jīng)學(xué)過的知識，你如何對Sn與an進(jìn)行溝通呢？請大家思考和交流. （教師為學(xué)生提供一定的時間進(jìn)行互動）

生4：因為數(shù)列中S10>0，S11<0，則5（a1+a10）>0，■（a1+a11）<0，即a5+a6>0，a6<0，因此a5>0，可以判斷S5最大.

生5：本題還可以從圖像的角度來解釋. 如圖1所示，結(jié)合題意可知本數(shù)列的公差為負(fù)數(shù)，因此Sn所在的拋物線應(yīng)該開口向下，假設(shè)對稱軸x=x0，則A（2x0，0），結(jié)合題意有10<2x0<11，則5

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圖1

教師對上述兩種解答方法進(jìn)行簡單評價，并對學(xué)生在數(shù)學(xué)函數(shù)性方面的理解予以肯定，特別是學(xué)生將數(shù)形結(jié)合運(yùn)用于問題處理，教師特別進(jìn)行了說明和強(qiáng)調(diào). 隨后，教師給出以下變式例題.

變式 現(xiàn)有等差數(shù)列{an}，已知a1>0，a9a10<0，a9+a10>0，求讓Sn取正數(shù)時n的最大值.

教師進(jìn)行了適當(dāng)分析，學(xué)生也能確認(rèn)a9>0，a10<0和a9>a10，但是卻依然對問題所求不得要領(lǐng).

師：考慮到a9+a10>0，你是否可以將它與Sn聯(lián)系起來呢？（經(jīng)過大概兩分鐘左右的思考，有學(xué)生舉手）

生6：我能發(fā)現(xiàn)S18=9（a1+a18）=9（a9+a10）>0.

師（追問）：那么18是否可以被認(rèn)為是本題的答案呢？

生6：那還要看S19，因為S19=■（a1+a19）=19a10<0，所以可以確定答案就是18.

全班的學(xué)生聽完都紛紛贊同，教師也肯定該學(xué)生的做法，并點(diǎn)明其中涉及轉(zhuǎn)化與化歸的解題思想，這時又有學(xué)生舉手.

生7：和例題最后的分析類似，我們還可以用圖像法來處理本題，將更加簡單. 因為a9>0，a10<0，因此我們可以確認(rèn)S9是最大值，如圖2所示，Sn所對應(yīng)的函數(shù)圖像為開口向下的拋物線，設(shè)其對稱軸為x=x0，則9

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圖2

全班學(xué)生紛紛為他叫好，教師也頗受感染，熱情洋溢地對該解法進(jìn)行了點(diǎn)評，殊不知意外就在此刻發(fā)生了.

生8（沒有舉手，直接站起來）：老師，我用圖像法求解出的n等于17，我所畫的圖像如圖3所示，假設(shè)對稱軸x=x0，則8.5

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圖3

頓時，教室中寂靜一片，師生都進(jìn)入了沉思狀態(tài)，顯然學(xué)生8是一個意外的攪局者，他的答案偏出教師的預(yù)設(shè)范圍，可能是聽課教師的存在增加了課堂的緊張感，授課教師有些語無倫次了.

師：剛才同學(xué)的想法很有意思，但是課堂時間有限，這個問題就留在課后大家繼續(xù)探討，我們接著來看下面的問題.

……

多么優(yōu)秀的生成性資源，本來應(yīng)該成為教學(xué)亮點(diǎn)的探究活動，卻因為教師的一句“課堂時間有限”而被放棄，這顯然是資源的浪費(fèi). 事實上，教師后階段的教學(xué)也因此而被打亂，很多學(xué)生依然沉浸在學(xué)生7和學(xué)生8答案的沖突上，以致于后階段的學(xué)習(xí)心不在焉. 課后和授課教師的交流中，他也指出這兩個答案都超出他的預(yù)設(shè)范圍，特別是學(xué)生8的解法錯在何處，他也心中沒底，因此就沒有探究下去.

■案例分析

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是師生思想碰撞、情感融通的平臺，是師生分享認(rèn)知、共同成長的過程. 然而上述案例中，學(xué)生感受到的卻是教師數(shù)學(xué)功底的欠缺，課堂駕馭能力的薄弱，關(guān)鍵之處教師沒有發(fā)揮應(yīng)有的掌控作用和引導(dǎo)效果，導(dǎo)致了教學(xué)中的尷尬，這也給我們提供了以下啟示.

1. 要給學(xué)生一碗水，教師要有一桶水

課改實施以來，教師地位發(fā)生變化，由以往的知識“輸送者”變成學(xué)生探究的“組織者、引導(dǎo)者、參與者”. 在這種情況下，教師似乎不需要準(zhǔn)備“一桶水”，有“一碗水”即可，只要能與學(xué)生分享就行；即便沒有“一碗水”，只要和學(xué)生一起探索，能“挖井取水”即可. 但是事實上，如果教師事先都不知道地下水源在何處，只會盲目試探，那取水成功的概率又如何？這只會讓課堂陷入尷尬的境地.

上述案例中，如果在a9+a10>0的兩邊同時加上a1+a2+…+a8，則有S10>S8，由于公差小于0，拋物線開口向下，所以點(diǎn)（10，S10）比點(diǎn)（8，S8）更加接近對稱軸，所以圖2是正確的. 如果本題改成：現(xiàn)有等差數(shù)列{an}，已知a1>0，a9a10<0，a9+a10<0，求讓Sn取正數(shù)時n的最大值. 由于a9+a10<0可得S10

數(shù)學(xué)教師要保持頭腦清醒，要善于深度鉆研教學(xué)內(nèi)容，讓自己擁有俯視課堂的氣度與能力，這樣才能在教學(xué)活動中游刃有余，靈活生成.

2. 優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該有精心而充分的預(yù)設(shè)

課堂因?qū)W生的參與而產(chǎn)生意想不到的精彩，這讓我們的教學(xué)更加生動和活潑，而生成性的課堂要求教師有精心而充分的預(yù)設(shè). 課堂教學(xué)本就是一項兼具目的性和針對性的教育行為，教師要能掌控課堂，就要做好預(yù)設(shè)工作，這樣教師才能應(yīng)對多變的教學(xué)情境，隨時疏導(dǎo)學(xué)生紛繁蕪雜的思緒.

在上述案例中，教師在備課時如果能夠多角度地分析例題變式，以圖像法來進(jìn)行分析，就必然會考慮到圖2和圖3的差別，這樣也就可以對學(xué)生8的答案做出更好地處理. 事實上，由于學(xué)生知識層次和能力水平的限制，只要教師仔細(xì)備課，學(xué)生的生成一般都發(fā)生在教師的可控范圍以內(nèi).

3. 數(shù)學(xué)課堂重在預(yù)設(shè)，妙在生成

預(yù)設(shè)和生成是課堂教學(xué)中的一組對立統(tǒng)一體，如果教師未曾充分預(yù)設(shè)，則課堂即便有生成素材，教師也無法加以捕捉和應(yīng)用. 可以說預(yù)設(shè)就是為生成做準(zhǔn)備，課前精心地預(yù)設(shè)，課上藝術(shù)化地生成，這正是教師教學(xué)智慧的高度體現(xiàn). 此外，教師重視生成也是對學(xué)生的一種尊重，是對他們的人文關(guān)懷，這對學(xué)生創(chuàng)新思維和批判思維的培養(yǎng)能起到促進(jìn)作用.

在課改不斷推進(jìn)的過程中，愿我們的數(shù)學(xué)教師能在課前精心做好預(yù)設(shè)，課堂上能多一些自然生成，讓數(shù)學(xué)課堂因生成而美麗. 這樣的課堂對于學(xué)生來說永遠(yuǎn)都充滿著挑戰(zhàn)且飽含驚喜，學(xué)生不僅僅獲得了知識的增長，其發(fā)現(xiàn)問題的意識與能力也獲得了增長，情感、態(tài)度和價值觀也得以升華.