楊寒彪 梁婷婷

[摘 要] 特征值與特征向量在現(xiàn)代科學(xué)中有十分重要的應(yīng)用，作為線性代數(shù)的基礎(chǔ)，它在理論和實(shí)際生活中都有著重要的作用，很多理工學(xué)科都和它息息相關(guān)。介紹特征值與特征向量的定義以及性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上給出了特征值與特征向量在理工科領(lǐng)域中的應(yīng)用，如求主應(yīng)力和K-L變換的人臉識別中的應(yīng)用。當(dāng)然，矩陣的特征值和特征向量的內(nèi)容很廣泛，僅就特征值和特征向量的一些應(yīng)用展開研究。

[關(guān) 鍵 詞] 特征值；特征向量；K-L變換；主應(yīng)力

[中圖分類號] O151.21 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）19-0107-03

第1章 特征值與特征向量的定義和性質(zhì)（來源為《線性代數(shù)》，同濟(jì)大學(xué)，p9）

“特征”詞匯來自于德語的eigen。1904年數(shù)學(xué)家希爾伯特首先在這個(gè)意義下使用了這個(gè)詞，更早數(shù)學(xué)家亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下引用過該詞。eigen一詞也可翻譯為“自身的”“特定于……”“有特征的”或者“個(gè)體”——這強(qiáng)調(diào)特征值對定義特定的變換有多么重要。假設(shè)A是p階方陣，若對一個(gè)數(shù)λ，存在一個(gè)p維非零向量x，使Ax=λx。則稱λ為A的一個(gè)特征值或特征根，則稱x為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量。則依該定義有（A-λI）x=0，而x≠0，則故必有

上圖畫出某一數(shù)據(jù)集上各個(gè)本征值大小的例子，我們可以看到前三個(gè)本征值即前三個(gè)主成分的方差占了全部方差的大部分，我們可以根據(jù)這樣的本征值圖譜來決定選擇幾個(gè)主成分來代表全部數(shù)據(jù)。很多情況下，可以事先確定希望新特征所能代表的數(shù)據(jù)總方差的比例，然后根據(jù)式（2-20）來試算出適當(dāng)?shù)膋。

選擇相對較少的主成分來表示數(shù)據(jù)，不僅可以用作特征的降維，還用來消除數(shù)據(jù)中的噪聲。一般在本征值譜中排列在后面的主成分（有人稱之為次成分）一般代表著數(shù)據(jù)中的隨機(jī)噪聲。此時(shí)若把ξ中對應(yīng)本征值的很小的成分當(dāng)做0，再用式反變換回原空間，則實(shí)現(xiàn)了對原始數(shù)據(jù)的降噪。PCA（主成分分析）可以將n個(gè)特征降維到k個(gè)，可以用來進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮，例如100維的向量最后可以用10維來表示，那么可知壓縮率為90%。

（三）K-L變換用于人臉識別

在圖像處理技術(shù)中，臉部圖像的處理可以看作分量為每個(gè)像素輝度的向量。該向量空間中的維數(shù)是像素的個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)化面部圖形的一個(gè)大型數(shù)據(jù)集合的協(xié)變矩陣的特征向量稱為特征臉。它們對將任何面部圖像表達(dá)為它們的線性組合都非常有用。特征臉提供了一種用于識別目的的數(shù)據(jù)壓縮的方式。這個(gè)應(yīng)用中，通常只取最大那些特征值所對應(yīng)的特征臉。

在圖像處理問題中用K-L變換或主成分分析來進(jìn)行提取特征。人臉識別是指通過人臉的圖像在一組候選的人中識別出這個(gè)人是誰。下面介紹本征臉方法，這個(gè)方法由Turk和Pentland提出。

并從前向后選取所希望數(shù)目的本征臉，也就構(gòu)成了新的特征空間。原圖像樣本在這些新特征方向上的投影構(gòu)成了對原圖像的降維表示。根據(jù)K-L變換的性質(zhì)，當(dāng)前這種降維表示是在所有相同維數(shù)的線性表示中誤差最小的。

一般，選取本征向量的個(gè)數(shù)k可以根據(jù)上式的比例來確定。若要保持原數(shù)據(jù)中90%的信息，則我們可以從1漸增到k，直到α大于等于90%為止。對128×128像素的人臉圖像我們只需要很少幾個(gè)本征臉就能比較好地表示和分類，這里大大壓縮了特征維數(shù)。每幅圖像在這k個(gè)本征臉上的投影系數(shù)就是樣本的新特征，我們可以通過后續(xù)的操作實(shí)現(xiàn)對人臉的識別。

設(shè)樣本xi在本征臉空間中的表示是yi= [yi1，…，yik] T，μ是原空間中樣本的均值向量，則由所選擇的k個(gè)本征臉可以重構(gòu)出原始的圖像。

第3章 應(yīng)用分析

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一種統(tǒng)計(jì)方法。通過正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。整個(gè)PCA的過程就是求協(xié)方差的特征值和特征向量，然后做數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。在模式識別問題中應(yīng)用主成分分析方法，我們知道每一個(gè)主成分所提取的信息量可用其方差來度量，其方差Var（ ）越大，表示該特征包含的信息越多。所以首先使用樣本估算協(xié)方差矩陣，求解其特征方程，得到特征值與特征向量，協(xié)方差矩陣的特征根是主成分的方差，而特征向量的方向即為各個(gè)主成分方向，選擇適當(dāng)?shù)闹鞒煞肿鳛闃颖镜男绿卣?，將樣本投影到這些主成分方向上進(jìn)行分類或聚類。在特征提取中，K-L變換的最基本形式的原理與主成分分析是相同的，但K-L變換能考慮到不同的分類信息，實(shí)現(xiàn)監(jiān)督的特征提取。主成分分析可以用來進(jìn)行降維、消除數(shù)據(jù)中的噪聲，并進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。

參考文獻(xiàn)：

[1]王學(xué)民.應(yīng)用多元分析[M].4版.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2014：9.

[2]張學(xué)工.模式識別[M].3版.清華大學(xué)出版社，2010：161-172.

[3]謝根全，陳孝珍.特征值和特征向量知識在力學(xué)中的三處應(yīng)用[J].力學(xué)與實(shí)踐，2012（6）：76-77.

[4]王光欽，丁桂保，楊杰.彈性力學(xué)[M].3版.清華大學(xué)出版社，2015：114-121.

[5]馬曉峰.abaqus6.11有限元分析從入門到精通[M].清華大學(xué)出版社，2013：414.

[6]陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計(jì)[M].6版.科學(xué)出版社，2014：1-2.

[7]石端偉.機(jī)械動(dòng)力學(xué)[M].2版.中國電力出版社，2012：32-37.

[8]唐敬友.原子物理與量子力學(xué)[M].北京大學(xué)出版社，2011：49-50.