郭永勝　黃秀旺

課堂提問是一門藝術(shù)，也是一種有效的教學(xué)方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要的作用。在教學(xué)中，問題設(shè)得好，設(shè)得巧，不僅能點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，激發(fā)學(xué)生的求知欲，而且能挖掘?qū)W生的創(chuàng)造潛能，促進(jìn)學(xué)生思維力生長(zhǎng)。本文以蘇科版九年級(jí)上冊(cè)“2.4 圓周角”第一課時(shí)的教學(xué)過程為例，分享筆者對(duì)“如何設(shè)計(jì)問題，促進(jìn)學(xué)生思維力生長(zhǎng)”的一些想法。

一、教學(xué)實(shí)錄

1.情境創(chuàng)設(shè)。

問題：足球訓(xùn)練場(chǎng)上教練在球門前畫了一個(gè)圓圈，進(jìn)行無人防守的射門訓(xùn)練，如圖1（1），甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員分別在C、D兩地，他們爭(zhēng)論不休，都說自己所在位置對(duì)球門AB的張角大。如果你是教練，請(qǐng)?jiān)u一評(píng)他們兩個(gè)人，誰的位置對(duì)球門AB的張角大。

生1：我覺得點(diǎn)C位置比較正，點(diǎn)D位置比較偏，點(diǎn)C的張角比點(diǎn)D大。

生2：我覺得兩個(gè)位置對(duì)球門AB的張角一樣大。

師：又來了一名運(yùn)動(dòng)員丙，要想對(duì)球門AB的張角與甲、乙一樣，你覺得應(yīng)該站在什么位置？

生3：應(yīng)該站在圓弧上。（在圖1（2）中畫出丙的位置點(diǎn)Q。）

師：你能給出這樣判斷的依據(jù)嗎？（學(xué)生陷入思考，給不出推理依據(jù)。）

師：我們通過今天的學(xué)習(xí)來解決這個(gè)問題。

2.提煉概念。

師：觀察圖1中的∠C、∠D，與我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的圓心角有什么不同？

生4：頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角，而這兩個(gè)角的頂點(diǎn)在圓上，不在圓心。

師：你能再畫兩個(gè)具有相同特征的角嗎？

（生4板演展示圖2。）

師：老師這邊也畫了幾個(gè)角（圖3），你覺得與圖1中的∠C、∠D的特征一樣嗎？

生5：我覺得只有圖3（4）中的角和∠C、∠D是一類的，都在圓的里面，而圖3（1）中角的頂點(diǎn)不在圓上，圖3（2）中角在圓的外面，圖3（3）中的角的一部分在圓的外面。

師：你能再完善一下圖形的特征嗎？

生5：頂點(diǎn)在圓上，邊與圓相交。

師：這樣的角我們稱之為圓周角，你能給圓周角下個(gè)定義嗎？

生5：頂點(diǎn)在圓上，并且兩條邊都和圓相交的角叫作圓周角。

（教師板書課題及圓周角定義。）

3.探索性質(zhì)。

【片段1】

師：畫出弧BC所對(duì)的圓心角和圓周角，并思考這樣的圓心角有多少個(gè)，圓周角有多少個(gè)。

生6：弧BC所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，圓周角有無數(shù)個(gè)，看我畫的圖。（投影展示圖4。）

師：弧BC所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)，你能為它們分類嗎？可以小組交流。

生7：連接BC，構(gòu)造三角形，以三角形的形狀分類，分為鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形，比方說：△A1BC是鈍角三角形，△A3BC是銳角三角形。

師：哇！你結(jié)合了我們對(duì)三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)，想法非常好。但我還有個(gè)問題，這個(gè)直角三角形你能在圖中畫出來嗎？

生7：過B點(diǎn)作BC的垂線，交⊙O于點(diǎn)E，連接CE即可。

師：太好了，你對(duì)幾何圖形的聯(lián)想能力很強(qiáng)。

（突然有一位同學(xué)興奮地舉手。）

生8：老師，他的分類雖然行，可是我覺得沒有和圓的知識(shí)聯(lián)系起來，所以我想用圓心和圓周角的位置不同來分類，分別是圓心在圓周角的邊上，圓心在圓周角的內(nèi)部，圓心在圓周角的外部，并且這種分類的圖形也比較容易畫出來。這就是我畫的圖形。（投影展示圖5。）

師：大家覺得哪種分類標(biāo)準(zhǔn)更符合圓的圖形特征呢？

生（眾）：第二種。

師：好！我們以圓心與圓周角的位置關(guān)系進(jìn)行分類：圓心在角的邊上、角的內(nèi)部、角的外部。（利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示。）

師：請(qǐng)大家看看以上兩種分類之間有什么聯(lián)系。希望大家課后思考這個(gè)問題！

【片段2】

師：弧BC所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)，我們已經(jīng)將它們進(jìn)行了分類，你認(rèn)為我們接下來還要研究什么？

生（眾）：這些角的大小關(guān)系。

師：你們認(rèn)為這些圓周角的大小關(guān)系是什么。動(dòng)動(dòng)手，測(cè)一測(cè)。

生9：我測(cè)量了好幾個(gè)，發(fā)現(xiàn)它們的度數(shù)一樣，所以我覺得這些圓周角的度數(shù)不變。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)很好！我們?cè)賮砜纯催@些圓周角和弧BC所對(duì)的圓心角有什么關(guān)系呢。

生10：我經(jīng)過測(cè)量，發(fā)現(xiàn)弧BC所對(duì)的圓周角等于弧BC所對(duì)圓心角的一半。

（教師先把這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)寫下來，同時(shí)借助幾何畫板分別度量出每個(gè)角的度數(shù)，肯定學(xué)生的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生驗(yàn)證這一發(fā)現(xiàn)的求知欲。）

師：怎么驗(yàn)證我們的發(fā)現(xiàn)呢？

生11：我們的發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)：1.同弧所對(duì)的圓周角相等；2.同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)圓心角的一半。這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)中只要驗(yàn)證了第二個(gè)，那么第一個(gè)就自然成立。所以我覺得應(yīng)該首先來驗(yàn)證同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半。

師：想法不錯(cuò)！可是一條弧所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè)，那我們?cè)趺磥眚?yàn)證呢？

生12：剛才我們把這無數(shù)個(gè)圓周角分成了3種情況，可以分情況去證明。

師：你認(rèn)為應(yīng)該從哪種情況入手呢？

生12：我覺得先從最特殊的情況證明吧，就是當(dāng)圓心在圓周角的邊上時(shí)（如圖6（1））。

師：現(xiàn)在大家根據(jù)這位同學(xué)給出的想法先思考一下。

（給每一名學(xué)生思考的時(shí)間，等待2分鐘后，請(qǐng)學(xué)生回答，教師板書。）

生13：在⊙O中，

∵OA=OB，

∴∠A=∠B。

在△OAB中，

∵∠BOC=∠A+∠B，

∴∠A=[12]∠BOC。

師：其他兩種情況如何驗(yàn)證呢？大家可以小組交流一下。

（在學(xué)生思考交流的時(shí)候，教師到每個(gè)小組，捕捉學(xué)生的想法或了解學(xué)生遇到的難點(diǎn)。其實(shí)這兩種情況的驗(yàn)證還是有一些難度的，學(xué)生一時(shí)沒有完整的思路也不必著急，可以先從他們已有的想法入手，逐漸深入。）

師：我們?cè)诮鉀Q從一般到特殊的圖形問題時(shí)，大家還記得通常的研究方法嗎，能類比試試嗎？

生14：我接下來想解決圓心在圓周角內(nèi)部的情況。首先過點(diǎn)A作直徑AD（如圖7），這樣就出現(xiàn)了第一種情況的圖形，可以利用第一種情況的結(jié)論證明。

可得：∠BAD=[12]∠BOD，∠CAD=[12]∠COD，

從而∠BAD+∠CAD=[12]∠BOD+[12]∠COD

=[12]（∠BOD+∠COD），即∠BAC=[12]∠BOC。

師：這個(gè)想法很好，找到了兩種情況之間的聯(lián)系，大家為他鼓掌！第三種情況又怎么解決呢？

生15：我根據(jù)剛才第二種情況的解法，過點(diǎn)A作直徑AD（如圖8），也出現(xiàn)了第一種情況的圖形，可得：∠BAD=[12]∠BOD，∠CAD=[12]∠COD，

從而∠BAD-∠CAD=[12]∠BOD-[12]∠COD

=[12]（∠BOD-∠COD），即∠BAC=[12]∠BOC。

師：到這里，我們已經(jīng)證實(shí)了最初的發(fā)現(xiàn)，誰來總結(jié)一下。

生16：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半；同弧所對(duì)的圓周角相等。

師：我們回頭評(píng)一評(píng)問題中兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射門角度大小如何，你的依據(jù)是什么？

生17：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射門角度∠C、∠D一樣大，因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等。

二、課后反思

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，激勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。教師作為組織者、引導(dǎo)者，可以通過設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}，激發(fā)學(xué)生好奇心，促進(jìn)學(xué)生思維力生長(zhǎng)。

1. 精心預(yù)設(shè)課堂問題。

教師在備課時(shí)，就要對(duì)課堂提問進(jìn)行預(yù)設(shè)，在預(yù)設(shè)問題時(shí)，要思考幾個(gè)方面：（1）從知識(shí)內(nèi)容考慮，如何抓住重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。本節(jié)課圓周角的定義是一個(gè)重點(diǎn)，筆者通過設(shè)計(jì)一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究出圓周角的特征。（2）從學(xué)生情況考慮，充分認(rèn)識(shí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、學(xué)習(xí)習(xí)慣有清晰的判斷。如在圓周角定義形成時(shí)，學(xué)生往往對(duì)圓周角的特征理解不深刻，所以筆者添加了一個(gè)辨析問題，鞏固概念。（3）學(xué)生是否具備學(xué)習(xí)新知識(shí)所需的知識(shí)與技能或相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)。如在“圓周角”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，為了讓學(xué)生體會(huì)圓周角的定義，筆者創(chuàng)設(shè)了一個(gè)足球運(yùn)動(dòng)員射門訓(xùn)練的情境，這也是學(xué)生比較熟悉的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)。

2. 靈活處理生成問題。

課堂教學(xué)的成功基于課前的精心設(shè)計(jì)，但課堂的精彩之處往往在于教師引導(dǎo)學(xué)生智慧處理教學(xué)過程中的生成問題。所以提問不能僅局限于課前設(shè)計(jì)的問題，學(xué)生是一個(gè)個(gè)鮮活的思維個(gè)體，預(yù)設(shè)不可能將課堂中出現(xiàn)的所有問題都考慮在內(nèi)，所以教師的預(yù)設(shè)也要具備一定的彈性，要能接納和吸收學(xué)生在課堂上生成的新問題。如本節(jié)課在設(shè)計(jì)圓周角如何分類時(shí)，預(yù)設(shè)的答案是“以圓心與圓周角的位置”為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，而在課堂上有學(xué)生給出“以三角形是銳角、直角、鈍角三角形”為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，這時(shí)立刻就生成了一個(gè)問題“兩種分類之間有什么聯(lián)系”，把學(xué)生的思維引向深入。課堂生成是一種教學(xué)資源，是學(xué)生全身心投入的表現(xiàn)，是師生、生生對(duì)話、碰撞激起的智慧火花。

3.課堂提問巧“留白”。

“留白”一詞指書畫藝術(shù)創(chuàng)作中為使整個(gè)作品畫面、章法更為協(xié)調(diào)精美而有意留下相應(yīng)的空白，留有想象的空間。數(shù)學(xué)課堂提問“留白”可以增加學(xué)生探索的欲望和動(dòng)力，拓寬學(xué)生思維的廣度和深度。如在本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)，筆者通過“射門”訓(xùn)練，在規(guī)定的圓弧上什么位置射門最好，學(xué)生只能憑借自己的感覺給出判斷，但不能說明判斷的理由。學(xué)生急切地想知道原因，這時(shí)教師乘勝追擊：“你們一定很想知道原因，我們就通過今天的學(xué)習(xí)，一起來尋找答案吧！”有些問題由于時(shí)間原因可以問而不答，留給學(xué)生更多的思維空間。如在圓周角的分類時(shí)，得到兩種分類標(biāo)準(zhǔn)之后，提出：“請(qǐng)大家看看，以上兩種分類之間有什么聯(lián)系？希望大家課后思考這個(gè)問題！”這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生課后繼續(xù)探索。

筆者通過“課前設(shè)計(jì)—教學(xué)實(shí)踐—課后反思”，不斷地探索提高學(xué)生思維力的方法。但學(xué)生思維力生長(zhǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期發(fā)展的過程，如何根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)出有效的問題，引領(lǐng)學(xué)生思維走向深入，是每一位數(shù)學(xué)教師需要不斷思考的課題。

（作者單位：1南京市天景山中學(xué)，2南京市竹山中學(xué)）

本文系南京市江寧區(qū)初中數(shù)學(xué)鄉(xiāng)村骨干教師培育站研修項(xiàng)目“基于初中生思維力生長(zhǎng)的問題導(dǎo)學(xué)式課堂教學(xué)”的研究成果。