池小波,常璐,賈新春

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

切換系統(tǒng)是由若干連續(xù)或離散的子系統(tǒng)和一組切換規(guī)則組成,這類系統(tǒng)可以描述實(shí)際工程中許多具有切換特性的混雜系統(tǒng)[1],例如電力系統(tǒng)和飛行交通系統(tǒng)等。另一方面,將通信網(wǎng)絡(luò)引入到控制系統(tǒng)中導(dǎo)致信息在傳輸過程中發(fā)生網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包等現(xiàn)象,這使得網(wǎng)絡(luò)化切換控制系統(tǒng)(NSCS)研究受到學(xué)者的廣泛關(guān)注[2-5]。而且,信息的網(wǎng)絡(luò)化傳輸會(huì)造成控制器模態(tài)切換時(shí)刻滯后于系統(tǒng)模態(tài)切換時(shí)刻,這稱為異步切換現(xiàn)象[6]。例如,蜂窩移動(dòng)通信中移動(dòng)用戶的通話質(zhì)量受到多個(gè)用戶與基站鏈路異步切換的影響,甚至可能導(dǎo)致通話失敗[2]。因此,異步切換和切換間隔與采樣數(shù)據(jù)執(zhí)行間隔之間復(fù)雜的耦合關(guān)系是切換系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)化控制研究的關(guān)鍵問題,還有待進(jìn)一步研究。

近年來,網(wǎng)絡(luò)化切換系統(tǒng)的控制研究主要分為三類:異步切換控制[7];帶有網(wǎng)絡(luò)化特征的同步切換控制[8];利用切換系統(tǒng)方法的網(wǎng)絡(luò)化控制[9-10]。然而,同時(shí)考慮異步切換和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)特征的NSCS的研究工作還是較少[11-12]。最近,文獻(xiàn)[11-12]研究了切換時(shí)刻和采樣時(shí)刻匹配的切換系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化異步切換控制問題,但工程實(shí)際中網(wǎng)絡(luò)化切換控制問題中的這種匹配現(xiàn)象幾乎不存在。據(jù)作者所知,針對(duì)切換時(shí)刻和采樣時(shí)刻不匹配情形下切換系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化異步切換控制問題的研究工作還是較少[13]。然而文獻(xiàn)[13]僅研究了控制輸入執(zhí)行區(qū)間與切換區(qū)間匹配情形下的網(wǎng)絡(luò)化異步切換控制問題。針對(duì)離散時(shí)間切換系統(tǒng),考慮切換時(shí)刻和采樣時(shí)刻不匹配情形,本文建立帶有異步切換與隨機(jī)時(shí)延的離散時(shí)間NSCS模型。通過分段Lyapunov函數(shù)和平均駐留時(shí)間方法,得到閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件和網(wǎng)絡(luò)化異步切換控制器的設(shè)計(jì)方法。

1 系統(tǒng)建模與問題描述

考慮一類離散時(shí)間切換線性系統(tǒng)∑:

x(k+1)=Aσ(k)x(k)+Bσ(k)u(k)

(1)

其中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm分別是狀態(tài)向量和控制輸入;xk0是系統(tǒng)的初始狀態(tài);σ(k):{k0,k0+1,…}→Λ={1,2,…,N}為切換信號(hào),N>1為子系統(tǒng)個(gè)數(shù)。對(duì)于?i∈Λ,Ai和Bi是適當(dāng)維數(shù)的常矩陣。

Fig.1 Structure of NSCS圖1 NSCS結(jié)構(gòu)圖

本文的研究目標(biāo)是同時(shí)考慮異步切換和隨機(jī)時(shí)變時(shí)延,設(shè)計(jì)能夠鎮(zhèn)定系統(tǒng)∑的網(wǎng)絡(luò)化異步控制器。所考慮的NSCS如圖1所示。采樣器具有檢測(cè)和采集系統(tǒng)(1)的切換信號(hào)和狀態(tài)的功能,采樣數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)傳輸會(huì)產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延,并導(dǎo)致控制器異步切換。下面給出NSCS的假設(shè):

假設(shè)1 采樣器執(zhí)行器都是時(shí)間驅(qū)動(dòng)的,控制器是事件驅(qū)動(dòng)的。h是采樣周期。采樣時(shí)刻和采樣數(shù)據(jù)記為(kh,x(k),σ(k))。采樣數(shù)據(jù)到控制器的傳輸時(shí)延記為τsc(k),產(chǎn)生的控制信號(hào)到執(zhí)行器的傳輸時(shí)延記為τca(k)。

Fig.2 Process of data transmission in which thesampling instants are mismatched with switching instants圖2 采樣與切換時(shí)刻不匹配的數(shù)據(jù)傳輸過程

假設(shè)2 對(duì)于切換信號(hào)σ(k),有切換序列Υ={σ(k)|(σ(k0),k0h),…,(σ(ki),kih),…;i∈N}。當(dāng)k∈[ki,ki+1)時(shí),第σ(ki)個(gè)子系統(tǒng)被激活。切換間隔ki+1h-kih=nih,ni∈{3,4,…,n},n為常數(shù)。故切換時(shí)刻與采樣時(shí)刻是不匹配的。

注1：通常網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中假定采樣數(shù)據(jù)到達(dá)控制器后立即驅(qū)動(dòng)控制器生成控制信號(hào),故假設(shè)1中控制器是事件驅(qū)動(dòng)的[14]。

注2：考慮到離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延一般為系統(tǒng)運(yùn)行周期的整數(shù)倍,見圖2。本文假定時(shí)延隨機(jī)地取h,2h。為了研究切換信號(hào)和采樣時(shí)刻不匹配的情形,僅考慮切換間隔大于網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延,故假設(shè)2中選取切換間隔最小為3h。另外,對(duì)于任意切換間隔與網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延問題的研究將是我們下一步工作。

當(dāng)k=ki時(shí),u(k)=δ(k)Ljx(k-1)+[1-δ(k)]Ljx(k-2)

(2)

當(dāng)k=ki+1時(shí),u(k)=δ(k)Lix(k-1)+[1-δ(k)]Ljx(k-2)

(3)

當(dāng)k=ki+λ時(shí),λ=2,…,ni-1,u(k)=δ(k)Lix(k-1)+[1-δ(k)]Lix(k-2)

(4)

其中,Li,i∈Λ是控制器增益。

由系統(tǒng)(1)和控制器(2)-(4)可得,帶有異步切換與隨機(jī)時(shí)延的離散時(shí)間NSCS的模型為

x(k+1)=Aix(k)+δBiLjx(k-1)+Bi[1-δ]Ljx(k-2),k=ki

(5)

x(k+1)=Aix(k)+δBiLix(k-1)+Bi[1-δ]Ljx(k-2),k=ki+1

(6)

x(k+1)=Aix(k)+δBiLix(k-1)+Bi[1-δ]Lix(k-2),k=ki+λ,λ=2,…,ni-1

(7)

其中,x(k)=φ(k),k=k0,k0-1,k0-2,且φ(k0)=xk0

注3：與現(xiàn)存文獻(xiàn)[11]異步切換控制系統(tǒng)模型相比較,本文建立了切換時(shí)刻與采樣時(shí)刻不匹配的NSCS模型。在異步切換和切換間隔與采樣數(shù)據(jù)執(zhí)行間隔之間三重耦合的情形下,本文考慮Γk=h和Γk=2h兩種時(shí)延情形,通過使用更一般的隨機(jī)系統(tǒng)方法可以將其推廣到多種時(shí)延的情形。

本文的控制設(shè)計(jì)問題是:在異步切換和切換間隔與采樣數(shù)據(jù)執(zhí)行間隔之間三重耦合的情形下,設(shè)計(jì)(2)-(4)的控制器增益Li和Lj,使得閉環(huán)系統(tǒng)(5)-(7)是指數(shù)穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)論

通過分段李亞普諾夫函數(shù)和平均駐留時(shí)間方法,本節(jié)首先給出系統(tǒng)(5)-(7)指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件,然后給出控制器(2)-(4)的設(shè)計(jì)方法。首先取候選Lyapunov函數(shù)為

V(xk)=Vχ(k)(k)=V1χ(k)(k)+V2χ(k)(k)+V3χ(k)(k)

(8)

其中,V1χ(k)(k)=xT(k)Pχ(k)x(k),V2χ(k)(k)=xT(k-1)Qχ(k)x(k-1)+(1+ρ(k))xT(k-2)Qχ(k)x(k-2)

2.1 穩(wěn)定性分析

定理1 考慮切換系統(tǒng)(5)-(7),給定正標(biāo)量βij,βiij,βii∈(0,1),c<1,μ≥1和控制增益Li,i,j∈Λ,如果存在對(duì)稱正定矩陣Pij,Piij,Pii,Qij,Qiij,Qii,Rij,Riij,Rii,使得對(duì)?i,j∈Λ,i≠j下列不等式成立:

(9)

(10)

(11)

Pii≤μPiij,Piij≤μPij,Pij≤μPjj,Qii≤μQiij,(1+βiij)Qiij≤μQij,

(1+βij)Qij≤μQjj,Rii≤μRiij,(1+βiij)Riij≤μRij,(1+βij)Rij≤μRjj

(12)

其中,

Υ12=-2αRijBiLj+(1+βij)Rij,Υ13=2(α-1)RijBiLj,

Υ23=(1+βij)2Rij,Υ22=-(1+βij)(2+βij)Rij,

Υ33=-(1+βij)2(Rij+Qij),Υ44=-(Pij+2Rij)-1,

∏12=-2αRiijBiLi+(1+βiij)Riij,∏13=2(α-1)RiijBiLj,

∏23=(1+βiij)2Riij,∏22=-(1+βiij)(2+βiij)Riij,

∏33=-(1+βiij)2(Riij+Qiij),∏44=-(Piij+2Riij)-1,

∑12=-2αRiiBiLi+(1-βii)Rii,∑13=2(α-1)RiiBiLi,

∑23=(1-βii)2Rii,∑22=-(1-βii)(2-βii)Rii,

∑33=-(1-βii)2(Rii+Qii),∑44=-(Pii+2Rii)-1.

則對(duì)于任意滿足下列平均駐留時(shí)間約束和異步時(shí)間比率約束的異步切換規(guī)則,系統(tǒng)(5)-(7)是指數(shù)穩(wěn)定的

(13)

(14)

其中,βmin=min{βii|i∈Λ},βmax=max{βij,βiij|i,j∈Λ}。Tij(k0,k)和Tiij(k0,k)(或Tij和Tiij)分別表示雙異步區(qū)間和單異步區(qū)間在(k0,k)上的激活時(shí)長。

證明針對(duì)k∈[ki,ki+1)將區(qū)間分成三部分:雙異步區(qū)間k=ki,單異步區(qū)間k=ki+1和同步區(qū)間k∈[ki+2,ki+1)。下面首先分別研究這三類子切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性,然后總體分析閉環(huán)NSCS的穩(wěn)定性。

情形1:當(dāng)k=ki時(shí),沿著系統(tǒng)(5)的軌跡計(jì)算Lyapunov函數(shù)(8)的前向差分。

E{ΔV1ij(k)|V1ij(k)}-βijV1ij=E{xT(k+1)Pijx(k+1)}-(1+βij)xT(k)Pijx(k)=

E{[Aix(k)+αBiLjx(k-1)+(1-α)BiLjx(k-2)+[δ(k)-α]BiLj(x(k-1)-x(k-2))]T×

Pij[Aix(k)+αBiLjx(k-1)+(1-α)BiLjx(k-2)+[δ(k)-α]BiLj(x(k-1)-x(k-2))]}-

(1+βij)xT(k)Pijx(k)=ξT(k)MijTPijMijξ(k)-(1+βij)xT(k)Pijx(k)+ξT(k)NijTPijNijξ(k)

(15)

其中,

E{ΔV2ij(k)|V2ij(k)}-βijV2ij=xT(k)Qijx(k)-(1+βij)2xT(k-2)Qijx(k-2)

(16)

E{ΔV3ij(k)|V3ij(k)}-βijV3ij=ξT(k)Λijξ(k)+2ξT(k)MijTRijMijξ(k)+2ξT(k)NijTRijNijξ(k)

(17)

其中,

Λ12=-2αRijBiLj+(1+βij)Rij,

Λ13=2(α-1)RijBiLj,Λ22=-(1+βij)(2+βij)Rij,

Λ23=(1+βij)2Rij,Λ33=-(1+βij)2Rij

由(9),(16)-(17)和Schur補(bǔ)引理得,E{Vij(k+1)|Vij(k)}-Vij(k)-βijVij=ξT(k)Υijξ(k)<0。即

Vij(ki+1)<(1+βij)Vij(ki)

(18)

情形2:當(dāng)k=ki+1時(shí),由(10)得:

Viij(ki+2)<(1+βiij)Viij(ki+1)

(19)

情形3:當(dāng)k∈[ki+2,ki+1)時(shí),即k=ki+λ,λ=2,…,ni-1,由(11)得:

Vii(k)<(1-βii)k-ki-2Vii(ki+2)

(20)

由(12)可知

Vii≤μViij,Viij≤μVij,Vij≤μVjj

(21)

結(jié)合(19)-(21),對(duì)于k∈[ki,ki+1),當(dāng)k=ki+1時(shí),忽略系數(shù)μ(1-βii)k-ki-2;當(dāng)k=ki時(shí),忽略系數(shù)μ2(1-βii)k-ki-2(1+βiij),故可得

Vii(k)≤(1-βii)k-ki-2Vii(ki+2)≤μ(1-βii)k-ki-2Viij(ki+2)≤

μ(1-βii)k-ki-2(1+βiij)Viij(ki+1)≤μ2(1-βii)k-ki-2(1+βiij)Vij(ki+1)≤

μ3(1-βii)k-ki-2(1+βiij)(1+βij)Vjj(ki)≤…≤

μ3Nσ(1-βmin)k-k0-Tij-Tiij(1+βmax)Tiij+TijV(k0)

(22)

又因(22)式中的平均駐留時(shí)間和異步率分別滿足(13)和(14),故而

(23)

另一方面,由(8)易得:

(24)

其中,

2.2 控制器增益設(shè)計(jì)

(25)

(26)

(27)

Pii′≤μPiij′,Piij′≤μPij′,Pij′≤μPjj′,

Qii′≤μQiij′,(1+βiij)Qiij′≤μQij′,(1+βij)Qij′≤μQjj′

(28)

其中,

Υ11′=∏11′=∑11′=-G-GT,Υ12′=-2AiG+Rij′,

Υ13′=-2αBiYj,Υ14′=-2(1-α)BiYj,Υ23′=(1+βij)Rij′,

Υ22′=-(1+βij)Pij′+Qij′+(1-βij-μij-1)Rij′,

Υ25′=GTAiT,Υ33′=-(1+βij)(2+βij)Rij′,Υ34′=(1+βij)2Rij′,

Υ35′=αYjTBiT,Υ45′=(1-α)YjTBiT,Υ55′=Pij′+2Rij′-G-GT,

∏12′=-2AiG+Riij′,∏13′=-2αBiYi,∏14′=-2(1-α)BiYj,

∏22′=-(1+βiij)Piij′+Qiij′+(1-βiij-μiij-1)Riij′,

∏23′=(1+βiij)Riij′,∏25′=GTAiT,∏45′=(1-α)YjTBiT,

∏33′=-(1+βiij)(2+βiij)Riij′,∏34′=(1+βiij)2Riij′,

∏35′=αYiTBiT,∏55′=Piij′+2Riij′-G-GT,∑12′=-2AiG+Rii′,

∑13′=-2αBiYi,∑14′=-2(1-α)BiYi,∑22′=-(1-βii)Pii′+Qii′+(1+βii-μii-1)Rii′,

∑23′=(1-βii)Rii′,∑25′=GTAiT,∑33′=-(1-βii)(2-βii)Rii′,

∑34′=(1-βii)2Rii′,∑35′=αYiTBiT,∑45′=(1-α)YiTBiT,

∑55′=Pii′+2Rii′-G-GT.

則對(duì)于任意滿足(13)和(14)的異步切換規(guī)則,系統(tǒng)(5)-(7)是指數(shù)穩(wěn)定的。進(jìn)而控制器增益為Li=YiG-1.

證明記

Qiij′=GTQiijG,Qii′=GTQiiG,Rij′=GTRijG,Riij′=GTRiijG,Rii′=GTRiiG

利用[16]中引理2分離變量,再分別對(duì)(9)-(12)做合同變換。

3仿真實(shí)例

考慮如下的離散時(shí)間線性切換系統(tǒng)[17]:

x(k+1)=Aσ(k)x(k)+Bσ(k)u(k)

(29)

Fig.3 Switching signal圖3 切換信號(hào)

Fig.4 State trajectories of the dosed-loop system圖4 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

4 結(jié)論

本文研究了切換時(shí)刻與采樣時(shí)刻不匹配情形下帶有兩種時(shí)延的離散時(shí)間網(wǎng)絡(luò)化異步切換控制設(shè)計(jì)問題。給出了閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件和一種網(wǎng)絡(luò)化異步切換控制器的設(shè)計(jì)方法。針對(duì)多種時(shí)延情形以及切換間隔與傳輸時(shí)延更一般約束的情形下的網(wǎng)絡(luò)化異步切換控制問題是我們未來的研究方向。

參考文獻(xiàn)：

[1] Hai L，Antsaklis P J.Stability and Stabilizability of Switched Linear Systems:A Survey of Recent Results[J].IEEETransactionsonAutomaticControl，2009，54(2):308-322.DOI:10.1109/TAC.2008.2012009.

[2] 王月娥，吳保衛(wèi)，汪銳.切換系統(tǒng)的異步鎮(zhèn)定:相鄰模型依賴平均駐留時(shí)間[J].物理學(xué)報(bào)，2015，64(5):58-64.DOI:10.7498/aps.64.050201.

[3] Ma D.Asynchronous Switching Network Protocol Design for Networked Linear Switched Systems[C]∥Proc.30th Chinese Control Conference，2011:4670-4675.

[4] Wen J，Peng L，Nguang S K.AsynchronousH∞Filtering of Switched Time-delay Systems with Network Induced Random Occurrences[J].SignalProcessing，2014，98(98):62-73.DOI:10.1016/j.sigpro.2013.11.002.

[5] Ma D，Liu J C.Robust Exponential Stabilization for Network-based Switched Control Systems[J].InternationalJournalofControlAutomation&Systems，2010，8(1):67-72.DOI:10.1007/s12555-010-0109-8.

[6] Zhang L X，Peng S.Stability，L2-gain and Asynchronous Control of Discrete-Time Switched Systems with Average Dwell Time[J].IEEETransactionsonAutomaticControl，2009，54(9):2192-2199.DOI:10.1109/TAC.2009.2026841.

[7] Wang Y E，Wu B W，Wu C.Stability andL2-Gain Analysis of Switched Input Delay Systems with Unstable Modes under Asynchronous Switching[J].JournaloftheFranklinInstitute，2017，354(11):4481-4497.DOI:10.1016/j.jfranklin.2017.04.006.

[8] 董朝陽，馬奧家，王青，等.網(wǎng)絡(luò)化切換控制系統(tǒng)故障檢測(cè)與優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].控制與決策，2016(2):233-241.DOI:10.13195/j.kzyjc.2014.1838.

[9] Yu M，Wang L，Chu T，etal.Stabilization of Networked Control Systems with Data Packet Dropout and Network Delays Via Switching System Approach[J].EuropeanJournalofControl，2004，11(1):40-49.DOI:10.1109/CDC.2004.1429261.

[10] Zhang L，Gao H，Kaynak O.Network-Induced Constraints in Networked Control Systems-A Survey[J].IEEETransactionsonIndustrialInformatics，2012，9(1):403-416.DOI:10.1109/TII.2012.2219540.

[11] Ma D，Zhao J.Stabilization of Networked Switched Linear Systems:An Asynchronous Switching Delay System Approach?[J].Systems&ControlLetters，2015，77:46-54.DOI:10.1016/j.sysconle.2015.01.002.

[12] Chang L，Chi X B，Zhang L L，etal.Effects of Asynchronous Switching on Networked Control of A Class of Switched Systems[C]∥Proc.36th Chinese Control Conference，2017:8038-8043.DOI:10.23919/ChiCC.2017.8028628.

[13] Zhao X，Tian E，Wang L，Li H.Asynchronous Control for Discrete Switched Systems over Network by using Sojourn Probability Method[C]∥Proc.28th Chinese Control and Decision Conference，2016:962-967.DOI:10.1109/CCDC.2016.7531122.

[14] Jia X C，Chi X B，Han Q L，etal.Event-Triggered FuzzyH∞Control for a Class of Nonlinear Networked Control Systems Using the Deviation Bounds of Asynchronous Normalized Membership Functions[J].InformationSciences，2014，259:100-117.DOI:10.1016/j.ins.2013.08.055.

[15] Song Y，F(xiàn)an J，F(xiàn)ei M，etal.RobustH∞Control of Discrete Switched System with Time Delay[J].AppliedMathematics&Computation，2008，205(1):159-169.DOI:10.1016/j.amc.2008.05.046.

[16] Wu H N.Reliable RobustH∞Fuzzy Control for Uncertain Nonlinear Systems With Markovian Jumping Actuator Faults[J].JournalofDynamicSystemsMeasurement&Control，2007，129(3):252-261.DOI:10.1105/1.2718236.

[17] 牟春偉.離散切換系統(tǒng)的異步H∞控制和濾波[D].大連:大連理工大學(xué)，2013.