周穎嫻

[摘 要] 如果將某一知識(shí)系統(tǒng)作為一棵樹并且這棵樹的生長(zhǎng)過程表現(xiàn)為若干節(jié)“課”，那么，一定有一些課需要“蒔也若子”，充分理透脈絡(luò)；一定有一些課可以“置也若棄”，讓學(xué)生充分自主. “蒔也若子”的課，通常處于起點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)，謂之“種子課”；“置也若棄”的課，通常處于點(diǎn)與點(diǎn)之間，謂之“生長(zhǎng)課”.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)質(zhì)量；高中數(shù)學(xué)；直線的斜率

提高教學(xué)質(zhì)量一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的首要目標(biāo)和教學(xué)改革的核心任務(wù). 國外各種不同的教學(xué)理念、理論的引入讓數(shù)學(xué)教學(xué)派生了很多的教學(xué)模式和學(xué)習(xí)方法，使得課堂生態(tài)產(chǎn)生了重構(gòu). 但是，一些嘩眾取寵的變革不僅使高中數(shù)學(xué)課堂生態(tài)偏失理性，也讓數(shù)學(xué)教學(xué)遠(yuǎn)離寧靜的美感而變得越來越浮躁和淺薄.

偏失理性的主要表現(xiàn)是“去”數(shù)學(xué)化現(xiàn)象十分普遍，主要表現(xiàn)就是課堂教學(xué)的淺層活動(dòng)過多，在所謂高效課堂的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下，教師為追求表面的熱鬧而刻意強(qiáng)調(diào)學(xué)生的說，刻意進(jìn)行假性展現(xiàn)，刻意迎合學(xué)生的思維，降低思維質(zhì)量，使數(shù)學(xué)教學(xué)偏離了本質(zhì).

按照課堂的“本真”生態(tài)，解決一學(xué)就懂、一考就懵、一用就空的問題，在數(shù)學(xué)自身的文化根基中尋根，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的長(zhǎng)期利益和眼前利益的完美結(jié)合，才是我們第一線教師真正要投身解決的問題.

筆者有幸參加了2017年6月16日在張家港市沙洲中學(xué)舉行的蘇州大市的評(píng)優(yōu)課，課題為“直線的斜率”第一課時(shí)，通過反復(fù)磨課并在許多優(yōu)秀教師的悉心指導(dǎo)下，最終獲得了第一名. 在整個(gè)準(zhǔn)備過程中，大腦有思維的碰撞，也自然地想到了許多在平時(shí)教學(xué)中沒有深入思考的問題和感受. 所以，筆者想通過文字再次來回顧這節(jié)課的教學(xué)過程，并且記錄一些所感所想.

教學(xué)過程

解析幾何作為高中數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容之一，用代數(shù)的方法解決幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想. 而本節(jié)課作為解析幾何的開篇之作，有著承前啟后的重要作用. 所以除了要落實(shí)顯性知識(shí)，更重要的是揭示背后的隱性知識(shí)：研究解析幾何的基本方法——坐標(biāo)法.

課堂采用了“活動(dòng)記錄本”的形式（記錄本見文末附），并且利用課前時(shí)間先分好活動(dòng)小組，并且與同學(xué)們做好屬于這堂課的“約定”：不能偷偷翻動(dòng)這本神秘的本子. 這種形式既讓學(xué)生充滿好奇感，同時(shí)又能將課堂上每位學(xué)生自己建構(gòu)探索知識(shí)的過程最終完全體現(xiàn)出來，是數(shù)學(xué)思想方法的一種別樣的呈現(xiàn).

1. 情境創(chuàng)設(shè)

如圖1，O是前山入口，E是后山入口，A為半山腰. 山坡OA段和AB段在形態(tài)上有何不同？

【問題1】 如何來刻畫山坡的“陡峭”程度？

【活動(dòng)1】

（1）學(xué)生小組討論給出“坡度”，即坡度=.

（2）給出AB段及OA段高度、寬度數(shù)據(jù)，學(xué)生計(jì)算OA，AB段的坡度，并用計(jì)算結(jié)果解釋其實(shí)際意義.

（3）簡(jiǎn)單介紹這一量度在日常生活中的應(yīng)用，如鐵路的坡度用千分率表示，公路的坡度用百分率表示（教材小字部分）.

反思：情境引入的問題從“形”上出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主發(fā)展的學(xué)習(xí)環(huán)境. 教材呈現(xiàn)時(shí)，直接給出了“坡度”這一概念， 但實(shí)際上，學(xué)生由于初中的學(xué)情并不一致，在教學(xué)中并不能保證每位同學(xué)都熟悉這個(gè)概念. 所以應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生反饋，適當(dāng)把握該概念的介紹，從而抓住新知的“最近發(fā)展區(qū)”.

【問題2】 若CD段的高度、水平寬度均為100米，DE段的高度、寬度為100米和50米，你能判斷并解釋哪段更陡嗎？AB段和CD段的坡度一樣嗎？AB段和CD段所在的直線傾斜情況一樣嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：AB，CD段坡度一樣，但直線AB和直線CD的傾斜方向不同. 此時(shí)，顯然“坡度”已無法準(zhǔn)確地刻畫直線的傾斜情況，我們有待尋找一個(gè)既能體現(xiàn)直線“陡峭”程度，又能反映直線傾斜方向的量來解決這一問題.

反思：通過給出“坡度”一致，但“形態(tài)”不同的兩段山坡，讓學(xué)生體會(huì)我們往下研究的價(jià)值. 讓學(xué)習(xí)變?yōu)橐粋€(gè)以其已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)的過程，并非是學(xué)生對(duì)教師所授知識(shí)的被動(dòng)接受.

2. 知識(shí)建構(gòu)

【活動(dòng)2】 請(qǐng)同學(xué)們?cè)趨^(qū)域2中作出一條你覺得最“陡”的直線.

給出活動(dòng)指令后，給予同學(xué)們充分思考和討論的時(shí)間，然后小組推選出各自覺得最“陡”的那根直線，老師將這些直線實(shí)物投影進(jìn)行比較. 實(shí)際上，大家給出的都是豎直的直線，但通過不同的位置擺放，判斷結(jié)果不同，于是大家找到問題的根本原因：參照物不同. 接著，便能自然引出解決該問題最重要的“工具”——平面直角坐標(biāo)系.

反思：“確定直線位置的要素除了點(diǎn)之外，還有直線的傾斜程度. 通過建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)可以用坐標(biāo)來刻畫.那么，直線的傾斜程度如何來刻畫呢？”這是教科書上在該節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的開始就拋出的問題，這樣似乎過于“簡(jiǎn)單粗暴”. 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)分析需要從三個(gè)方面入手：必要性（怎么想到的這個(gè)事情？）、合理性（為什么可以這樣定義？）、精確性（怎樣準(zhǔn)確表達(dá)？）. 所以，概念課應(yīng)該緊扣這幾點(diǎn)而展開.

而此處可以適當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)文化，介紹笛卡爾坐標(biāo)系，介紹這一發(fā)現(xiàn)的重要意義：用數(shù)的方法研究幾何問題，這也是平面解析幾何的本質(zhì).

【活動(dòng)3】 將剛才投影展示的兩根直線，放置在教師建立的平面直角坐標(biāo)系中（此處，特別地取兩直線斜率分別為2、-2的情況，且事先提供好網(wǎng)格線，易于學(xué)生操作）. 通過特殊到一般，讓同學(xué)們小組討論并自主總結(jié).

【問題3】 如何刻畫直線的傾斜程度？（該量必須既能體現(xiàn)直線的“陡峭”程度，又能反映直線的“方向”）

（1）學(xué)生對(duì)于給定的直線，通過取特殊點(diǎn)，結(jié)合坡度的定義式，嘗試抽象出一般化結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)代表，將小組討論結(jié)果投影展示，并且通過教師引導(dǎo)，驗(yàn)證兩條直線在坡度一致的情況下，是否能用這個(gè)量相區(qū)分.

（2）過程中，選取同學(xué)取點(diǎn)“位置”“順序”的不同，來驗(yàn)證其對(duì)結(jié)果沒有影響，從而為之后深化概念作準(zhǔn)備.

（3）請(qǐng)同學(xué)思考，是否所有類型的直線都能用這個(gè)量來刻畫傾斜情況，從而得到x1=x2時(shí)的特殊情況.

反思：在剛開始借班“試水”這節(jié)課的時(shí)候，到底如何自然又充滿數(shù)學(xué)味道地讓學(xué)生嘗試給出直線斜率的定義，是一個(gè)較難的問題. 所以最終，筆者還是考慮引導(dǎo)學(xué)生采用“特殊到一般”的思想先歸納概括、再論證說明，最后進(jìn)行補(bǔ)充修正，體會(huì)解析幾何“數(shù)形結(jié)合”的重要數(shù)學(xué)思想.

任何活動(dòng)都是主體的主動(dòng)建構(gòu)，哪怕同一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不同個(gè)體由于知識(shí)背景和思維差異而具有不同的思維過程，形成不同的表征系統(tǒng). 事實(shí)上，同學(xué)們的想法非常多樣，有位同學(xué)提到：不妨將上升的記為“正”，下降的記為“負(fù)”. 這是多么令人興奮的答案！

3. 概念形成及概念辨析

通過大家的共同努力，得到了直線斜率的定義：已知兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），如果x1≠x2，則直線PQ的斜率為：k（其中Δy，Δx分別為縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的增量）.

（1）若x1=x2，直線垂直于x軸，直線的斜率不存在；

（2）直線PQ的斜率與P，Q兩點(diǎn)的順序無關(guān)；

（3）直線PQ的斜率與P，Q兩點(diǎn)的位置無關(guān).

反思：在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對(duì)增量的概念及其在“形”上的意義理解得并不深刻，也導(dǎo)致在之后的一道相關(guān)例題的處理中，不少同學(xué)遇到了問題. 所以，這也是這節(jié)課后，感受比較深的一點(diǎn). 在今后相關(guān)的教學(xué)中，我們不僅要注重顯性知識(shí)，背后的隱性知識(shí)也要充分挖掘，讓同學(xué)的理解能夠更深更到位.

另外，剛開始的幾次磨課，關(guān)于三點(diǎn)概念辨析，筆者都急于讓學(xué)生按照筆者想要的節(jié)奏發(fā)現(xiàn)，但這樣的操作很不合理. 雖然預(yù)設(shè)與生成構(gòu)成了數(shù)學(xué)活動(dòng)計(jì)劃性與真實(shí)性的統(tǒng)一，但是完全按照預(yù)設(shè)流程發(fā)展的課堂不是鮮活的、有“靈魂”的課堂，那樣只會(huì)成為師生聯(lián)手表演的“雙簧”罷了. 我們要充分相信學(xué)生在問題解決的過程中有這樣的能力，能夠自主探究得到，我們要學(xué)會(huì)給予學(xué)生在“時(shí)間和空間”“重點(diǎn)和難點(diǎn)”“深度和廣度”上的保障，善待課堂生成.

4. 數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1：（1）直線l1，l2，l3都經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），又l1，l2，l3分別經(jīng)過點(diǎn)A1（-2，-1），A2（0，0），A3（3，6），作出直線l1，l2，l3并求直線l1，l2，l3的斜率；

（2）直線l4，l5，l6都經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），又l4，l5，l6分別經(jīng)過點(diǎn)B1（0，4），B2（5，0），B3（1，7），作出直線l4，l5，l6并求直線l4，l5，l6的斜率；

（3）直線l7，l8都經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），且分別經(jīng)過點(diǎn)C1（1，3），C2（2，4），作出直線并求其斜率.

反思：遷移是問題解決的核心，能遷移也是學(xué)生“會(huì)”的表現(xiàn). 練習(xí)是實(shí)戰(zhàn)、是應(yīng)用知識(shí)，是把陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)的有效方法.對(duì)課本的例1進(jìn)行適當(dāng)改編，希望能更深刻地讓學(xué)生感受并得到斜率的正負(fù)、大小與直線方向之間的關(guān)系：k絕對(duì)值越大，直線越陡.

例2：經(jīng)過點(diǎn)（3，2）畫直線，使直線的斜率分別為：（1）2；（2）-.

反思：遷移從模仿開始，在練習(xí)中能進(jìn)一步感悟方法、理解概念、體會(huì)思想. 所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注重學(xué)生練習(xí)，更要在解題方法上讓學(xué)生感悟方法的自然性，在比較中使用方法，在變化中使用方法. 因此根據(jù)課堂實(shí)際情況，此題可以考慮兩種方法：

（1）利用幾何意義，這也是該題希望學(xué)生強(qiáng)化并熟練運(yùn)用的知識(shí)；

（2）待定系數(shù)法，預(yù)設(shè)學(xué)生中會(huì)出現(xiàn)這樣的處理方法，也不妨介紹；

（3）若時(shí)間允許，甚至根據(jù)課堂情況，可以出現(xiàn)直線參數(shù)方程的雛形.

5. 課堂小結(jié)

學(xué)生自主總結(jié)：（1）數(shù)學(xué)知識(shí)層面：斜率的定義，幾何意義，概念深化過程中的三點(diǎn)注意，能運(yùn)用兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率，能通過一點(diǎn)和方向作出直線等；（2）思想方法層面：建系、數(shù)形結(jié)合，特殊到一般的歸納概括，類比、分類討論等.

反思：一堂課的總結(jié)不是形式主義，更不能舍棄. 我們要進(jìn)行有靈魂的數(shù)學(xué)教育，教師深入數(shù)學(xué)的本質(zhì)和核心在數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)和統(tǒng)領(lǐng)下，觸及學(xué)生內(nèi)心深處、引起學(xué)生共鳴、激發(fā)學(xué)生智慧，使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，領(lǐng)悟并掌握數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生良好的情緒，從而使數(shù)學(xué)精神在學(xué)生身上得到發(fā)展.

教學(xué)感悟

隨著傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)從“雙基”發(fā)展為“四基”，即：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，我們應(yīng)該注重基于加深內(nèi)容理解的數(shù)學(xué)活動(dòng)、基于數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)活動(dòng)、基于提高思維水平的數(shù)學(xué)活動(dòng)、基于數(shù)學(xué)欣賞的數(shù)學(xué)活動(dòng). 但千萬不能用過于“精致”的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓課堂失去了靈動(dòng)，反而禁錮了學(xué)生和教師彼此的教學(xué)相長(zhǎng)，成為了“限制”.

學(xué)生并非一張白紙，我們成人不能理直氣壯地在上面任意涂鴉. 他們是一顆顆種子，帶有太陽的能量，帶有生長(zhǎng)的密碼，帶有春夏秋冬的記憶. 因?yàn)槭欠N子，他們隨時(shí)準(zhǔn)備發(fā)芽成長(zhǎng). 當(dāng)我們視學(xué)生為白紙，我們只會(huì)有優(yōu)越感；當(dāng)我們視學(xué)生為種子，我們才會(huì)有敬畏感. 數(shù)學(xué)課堂的生成，并非只依靠學(xué)生，有時(shí)也來自老師，所以教師對(duì)待課堂生成的不同態(tài)度和處理方式，體現(xiàn)了教師自身的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)智慧. 今后，筆者要時(shí)刻提醒自己，帶著這樣的敬畏感，為學(xué)生提供有“靈魂”的數(shù)學(xué)課堂，把數(shù)學(xué)課堂作為高中生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法傳承、研習(xí)的專業(yè)陣地，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼睛觀察世界、從數(shù)學(xué)的角度提出問題、用數(shù)學(xué)的方法解決問題的歸納探索能力. 以高中數(shù)學(xué)課程為載體，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為形式，通過有形的課堂教學(xué)，達(dá)到無形的精神培育的目的.