朱捷

[摘 要] 《課標》明確提出了教師在數(shù)學學習活動中應(yīng)倡導自主探索、動手實踐、合作交流以及閱讀自學等數(shù)學學習方式的具體要求，并且應(yīng)該努力幫助學生養(yǎng)成獨立思考與積極探索的良好習慣，使學生在體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過程中樹立發(fā)展創(chuàng)新的意識. “說題”與傳統(tǒng)意義上的習題課自然會有本質(zhì)區(qū)別，學生針對課堂活動中的試題展開“說”的練習，發(fā)揮學生學習自主性的同時更為重要的是使學生明白了“說題”說什么和怎么說.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；說題；習題教學

由學生自己去發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出來要學的東西才是數(shù)學學習唯一正確的方法，這一觀點是弗賴登塔爾早就提出過的. 引導與幫助學生進行這種學習中的再創(chuàng)造也就成為數(shù)學教師首要的任務(wù).

習題課一直是數(shù)學教學中必不可少的貫穿整個數(shù)學教學的重要課型之一，學生對概念的深入理解、對基礎(chǔ)知識的深化、對存在問題的糾正、對知識系統(tǒng)的完善、對自身思維能力的培養(yǎng)都能在有效的習題課教學中得到有意義的鍛煉和提高. 另外，學生對問題的分析與解決并由此實現(xiàn)的知識的飛躍也都能在有效習題課中達成. 選取典型例題給學生鍛煉是傳統(tǒng)數(shù)學習題課的典型做法，教師在這樣的習題課中一般僅局限于問題的分析、解決以及教師的總結(jié). 這與新課標所倡導的教學要求與理念是不能完全吻合的，習題課教學中一樣應(yīng)該有新課程理念的滲透與融合，“說題”正是新課標理念下對習題課教學改革的一種創(chuàng)新嘗試.

說思維過程

“說題”最能體現(xiàn)出不同的便是學生這一學習的主體，說題不是要求教師說，而是讓學生說，說一說審題、分析、解答以及回顧的思維方向與方法.

案例1：高三模擬考試中的一個題目如下：已知有{an}與{bn}這兩個等差數(shù)列，前n項的和分別是An，Bn，且=，若使為整數(shù)，則正整數(shù)n有（ ）個.

A. 2？搖？搖？搖？搖？搖？搖B. 3？搖？搖？搖？搖？搖？搖C. 4？搖？搖？搖？搖？搖？搖D. 5

這道題目考查的主要是等差數(shù)列的前n項和與第n項之間的聯(lián)系這一知識點，選項D是對的. 考試后的說題練習中發(fā)現(xiàn)很多學生的思路不一定正確，但答案倒是對的. 比如：

生1：===7+，當n=1，3，5，9，21時，為整數(shù)，所以選D.

這樣的思路顯然是不正確的，如果不能及時發(fā)現(xiàn)學生在解法上的錯誤的話，學生對于該知識點本質(zhì)上的認知有可能永遠混淆，因此，借助學生的錯誤思維將正確做法說出來才是最為可靠的.

生2：===7+，當n=1，3，5，11時，為整數(shù)，所以選D. （此種解法獲得掌聲一片）

教師在學生說題的過程中往往能夠更好地注意到學生的思維過程，很多解題產(chǎn)生錯誤的根源也能更快地暴露在大家面前，教師在后續(xù)教學中才能及時做好調(diào)整并有的放矢地進行后期教學安排. “紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”這句話告訴我們的不也正是這個道理嗎？事實上，學生做錯了確實并不要緊，關(guān)鍵在于學生是否能在犯錯后知道錯在了哪里以及糾錯的方法.

說試題條件

學生在教師合理的預(yù)設(shè)與引導之下對試題條件進行適當?shù)母木帲粌H是對問題的拓展與延伸，更主要的是對自身創(chuàng)造想象能力的不斷刺激與鍛煉.

案例2：已知一直線l，點M（2，1）是該直線上一點，且其斜率為-2，試求該直線l的方程.

生1：直線點斜式方程y-1=-2（x-2）.

師：很好！斜率為-2的這一條件不可少，那么，可以將其改為其他條件嗎？

生1：將斜率為-2這一條件改成直線l與直線y=2x+1平行.

生2：將斜率為-2這一條件改成直線l與直線y=2x+1垂直.

生3：將斜率為-2這一條件改成與原點O（0，0）相距最遠.

生4：將斜率為-2這一條件改成其橫截距與縱截距相等.

此時，教師已經(jīng)能看到預(yù)設(shè)的結(jié)果并趕緊引導學生針對生4所提出的問題進行求解，果然有學生對于此題求解出現(xiàn)了能做到一部分但不能完全正確解答的結(jié)果.

生：所求方程為x+y-3=0.

師：大家結(jié)果都一樣嗎？

生：還有x-y-1=0.

（有學生覺得驚訝）

教師適時引導學生另一條直線存在的理由，加深學生的理解.

生5：將斜率為-2這一條件改成直線l與坐標軸圍成三角形的面積是8.

學生得出這一結(jié)論時教師一定要適時干預(yù)，引導學生對面積小于4的這一問題進行探尋，也為后續(xù)預(yù)設(shè)學習打下伏筆.

師：直線l與坐標軸圍成的三角形面積有最小值嗎？

學生經(jīng)過思考與討論很快得出：

生6：已知一直線l，點M（2，1）是l上一點，試求l與坐標軸正半軸所圍三角形面積最小的方程.

師：請同學們嘗試不同解法并交流.

生7：設(shè)k為l的斜率，用點斜式表示為y-1=k（x-1）……

生8：設(shè)l的橫截距為a，縱截距為b，用截距式表示為+=1……

下課鈴聲響起，同學們的討論興致不減，這足以證明學生已經(jīng)在一系列的討論中萌發(fā)了學習的興趣，學生在合作探究學習平臺建立的同時還體驗到了探索的樂趣.

“說題”使得“一言堂”變成了“群言堂”，教師的主導性與學生的主體性都得到了很好的體現(xiàn).

說試題結(jié)論

試題結(jié)論的說一說與試題條件的說一說都能促進學生對試題的不斷討論和嘗試，學生在命題邏輯關(guān)系梳理的同時不斷增強自身的實踐與探究能力.

案例3：已知拋物線如圖1所示，焦點為F，直線AB經(jīng)過F，直線AC與拋物線的準線相交，求證：直線BC與該拋物線的對稱軸平行.

首先引導學生進行坐標系的建立，如圖1所示，解題完成后，教師再引導學生“說一說”：

師：本題中有哪些條件與結(jié)論？

生：條件：直線AB過F，直線AC過原點. 結(jié)論：BC∥x軸.

師：很好！

命題1：已知拋物線y2=2px（p>0），焦點為F，一直線經(jīng)過其焦點并與其相交于點A，B，C是拋物線準線上的一點，且BC∥x軸，求證：直線AC經(jīng)過原點.

師：這兩題的聯(lián)系與區(qū)別在哪里？

生2：原題中的結(jié)論變成了條件.

師：很好，總結(jié)到位. 你們會做嗎？

因為有前面試題作為鋪墊，學生面對此題的解答顯得信心滿滿.

師：我們同學面對高考題目不用太過緊張，好些題都是將條件或者結(jié)論進行改變而得到的，經(jīng)過上述兩題的改變與編寫，你學會一定的編題了嗎？

生3：會. 經(jīng)過條件與結(jié)論之間的改變或者變換就可以編出新題.

命題2：已知拋物線y2=2px（p>0），設(shè)其焦點為F，現(xiàn)拋物線上有兩個點分別為A，B，其準線上有一點C，AC過原點，BC∥x軸，求證：直線AB經(jīng)過點F.

師：很好，請嘗試證明.

學生得到教師的肯定后滿臉都是成就感，后續(xù)的證明解題熱情滿滿.

說試題變式

試題的變式延伸也是說題的一個重要組成部分. 把一些看似不同但本質(zhì)相關(guān)的題目進行關(guān)聯(lián)并說出它們之間的區(qū)別與聯(lián)系能夠?qū)W生思維的變通起到很好的促進作用，學生“一題多解”的思維靈活性與能力也能得到最為有價值的鍛煉.

案例4：原題：已知A（-1，1），B（1，2）兩點，動點P點在x軸上，PA+PB最小值為多少？

生1：點A關(guān)于x軸的對稱點是A1（-1，-1），PA+PB=PA1+PB≥A1B=，當且僅當A1，B，P這三點在一條直線上才能取到最小值.

變式1：已知A（-1，1），B（1，2）兩點，動點P點在x軸上，試求PA-PB的最大值.

生2：利用三角不等式，PA-PB≤AB=.

師：好，請再看下題：

變式2：已知x∈R，求函數(shù)f（x）=+的最小值.

學生經(jīng)過教師的引導很快找到解題突破口.

師：與原題有聯(lián)系嗎？

生3：有. 配方f（x）=+=PA+PB≥.

引申1：設(shè)a，b，c，d∈R，求證：對任意p，q∈R，+≥.

生4：解法相差無幾，由A（a，b），B（c，d），C（p，q）及兩點間距離公式可得AC+BC≥AB，A，B，C三點在一條直線上時取等號.

引申2：已知0

生：數(shù)形結(jié)合，由P（x，y），O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），得左邊=PO+PB+PA+PC. 因為PO+PB≥OB=，PA+PC≥AC=，故，左邊≥2.

師：什么時候可以得到等號？

生：正方形OABC對角線的交點與點P重合.

引申3：設(shè)xk，yk（k=1，2，3）為非負實數(shù)，求證：+++≥2010.

同學們看到引申3都陷入了沉思，教室里一片安靜，此時教師適時啟發(fā)：能找到與上題的區(qū)別與聯(lián)系嗎？

生：結(jié)構(gòu)完全相同，因此兩點間的距離公式應(yīng)該可以用，不過合適的點不能確定.

學生經(jīng)過教師的引導首先找出了比較容易的點A（0，2010），B（x1+x2+x3，y1），D（x3，y1+y2+y3），O（0，0），然后由中間式子的結(jié)構(gòu)特征將另外的點C（x2+x3，y1+y2）找到，聯(lián)系圖形得出三角不等式：左邊=AD+CD+BC+OB≥AC+BC+OB≥AB+OB≥OA=2010.

隨著此題的完全解決，教師與學生在相互合作的探究中都感受到了解題的精彩過程與情感上的收獲，感嘆聲忍不住從學生的嘴里發(fā)出來，同學們禁不住鼓起掌來，學生攻破此題的自豪與喜悅從掌聲與感嘆聲中展現(xiàn)無余.

波利亞在數(shù)學教學的諸多理論中曾經(jīng)這樣明確表示過：有責任心的教師應(yīng)該盡量選擇或者設(shè)計有意義的題目來幫助學生發(fā)掘題目的內(nèi)涵與思維的深度，不經(jīng)篩選就大量布置作業(yè)題的做法是不負責任的，而且，教師在指導學生解題的過程中應(yīng)該尤其注重學生才智與推理能力的鍛煉與提高.

因此，教師在習題課“說課”的準備環(huán)節(jié)中首先一定要將練習題進行精心的篩選或者設(shè)計，所選練習題一定是覆蓋重要知識點的典型題；然后，教師還應(yīng)考慮學生的能力是否適合說自己已經(jīng)備下的習題，是否能夠展開對習題的討論；需要教師考慮的第三點是所選習題是否能夠?qū)W生能力的拓展與提高起到積極的意義，而且，教師在習題課“說題”活動的開展中還應(yīng)做好引導與鋪墊工作，使得“說題”活動能夠順利開展并對學生的思維拓展、能力提高以及知識內(nèi)化產(chǎn)生積極的作用.