彭麒安， 王三民， 智常建， 李 博

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072)

可展結(jié)構(gòu)是一種能夠像機(jī)構(gòu)一樣運(yùn)動(dòng)，又能在鎖定后承受載荷、保持穩(wěn)定構(gòu)型的結(jié)構(gòu)。與目前常見的其他結(jié)構(gòu)不同的是，可展結(jié)構(gòu)一般是由某一特定單元進(jìn)行一定規(guī)則陣列組合而成，這是其區(qū)別于其他結(jié)構(gòu)的顯著特點(diǎn)。隨著可展結(jié)構(gòu)應(yīng)用越來(lái)越廣泛，引發(fā)了許多學(xué)者的研究興趣。文獻(xiàn)[1-7]設(shè)計(jì)了各種新類型的可展結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[8-11]研究了可展結(jié)構(gòu)作為機(jī)構(gòu)時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性，文獻(xiàn)[12-15]則對(duì)其作為結(jié)構(gòu)時(shí)靜力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[16]雖然研究了可展結(jié)構(gòu)的固有頻率，但使用的是傳統(tǒng)有限元方法，很難向大型陣列可展結(jié)構(gòu)推廣。

隨著可展結(jié)構(gòu)在航天領(lǐng)域深入應(yīng)用，對(duì)其穩(wěn)定性和振動(dòng)要求越發(fā)嚴(yán)格，所以結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)成為了可展結(jié)構(gòu)新的研究重點(diǎn)。但因其陣列單元數(shù)目過(guò)于龐大，難以用傳統(tǒng)有限元?jiǎng)恿W(xué)分析方法進(jìn)行分析，所以急需一種能夠快速簡(jiǎn)單建立起動(dòng)力學(xué)模型的方法。

本文以剪式單元平面陣列可展結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，將通過(guò)對(duì)其單元特性矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，使其疊加節(jié)點(diǎn)自由度與內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度分開，從而實(shí)現(xiàn)通過(guò)單元特性矩陣的首尾循環(huán)相加來(lái)獲得整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，以提高建模效率，同時(shí)便于編程計(jì)算，并以此為基礎(chǔ)對(duì)可展結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)的分析，研究其固有頻率和動(dòng)態(tài)響應(yīng)等特性。因可展結(jié)構(gòu)大部分具有陣列特性，故此方法也可推廣到其他單元類型的可展結(jié)構(gòu)中。

1 剪式單元機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型與方程

剪式單元平面陣列可展結(jié)構(gòu)如圖1 所示，可以看出它是由M層剪式單元線狀陣列可展結(jié)構(gòu)拼接而成，而每層剪式單元線狀陣列又是由N個(gè)平面剪式單元可展結(jié)構(gòu)組成，本文先對(duì)單個(gè)剪式單元進(jìn)行研究，然后通過(guò)一定的方法進(jìn)行組合最終得到復(fù)雜剪式單元面狀可展結(jié)構(gòu)的相關(guān)特性。

圖1 剪式單元平面陣列可展結(jié)構(gòu)

單個(gè)剪式單元機(jī)構(gòu)如圖2所示，它是由兩個(gè)桿通過(guò)中間樞軸節(jié)點(diǎn)鉸接在一起的一個(gè)可展結(jié)構(gòu)，展開角度用α表示。

一個(gè)剪式單元機(jī)構(gòu)是由6個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，分別為1,2,3,3′,4,5，其中3,3′是兩桿上各自的鉸接點(diǎn)，1,5和2,4分別是桿1和桿2兩端的端節(jié)點(diǎn)同時(shí)也是與外界相連的鉸節(jié)點(diǎn)。由于剪式單元的力學(xué)特性，在有限元分析中選用兩節(jié)點(diǎn)六自由度的梁?jiǎn)卧M(jìn)行分析，故此將剪式單元?jiǎng)澐殖?個(gè)梁?jiǎn)卧?，分別為13,35,23′,3′4。

圖2 剪式單元機(jī)構(gòu)

由有限元理論可知梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為Me和Ke，坐標(biāo)變換后利用主從自由度法約束鉸節(jié)點(diǎn)3,3′可得到剪式單元真實(shí)力學(xué)模型為

(1)

式中：Mr和Kr分別為剪式單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;Cr為阻尼矩陣，在本文中均采用Rayleigh黏性比例阻尼模型;Pr為與時(shí)間相關(guān)的外載列陣。

2 陣列可展結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析方法

以圖2為例，剪式單元可展結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移為q=[u1,v1,θ1,u2,v2,θ2,u3,v3,θ3,θ3′,u4,v4,θ4,u5,v5,θ5]T，為了能夠?qū)崿F(xiàn)前后兩個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣首尾相加，讓獨(dú)立的自由度不影響主從約束自由度的疊加，將節(jié)點(diǎn)位移列陣進(jìn)行規(guī)范化

q′=Pq

(2)

式中:P為規(guī)范矩陣，規(guī)范化后的位移列陣為q′=[u1,v1,u2,v2,θ1,θ2,u3,v3,θ3,θ3′,θ4,θ5,u4,v4,u5,v5]T利用濾波法求解變換矩陣P，先假設(shè)變換矩陣P是一個(gè)全一矩陣，即為

現(xiàn)設(shè)置約束條件集為

(3)

式中i,j=1,2,3，…，16。

將其代入式(2)，則可以得到變換矩陣為P。得到變換矩陣后，即可求出變換過(guò)后的剛度矩陣為

KP=P·K·PT

(4)

再將其進(jìn)行(N-1)次加法運(yùn)算即可得到剪式單元線狀可展結(jié)構(gòu)的剛度矩陣

式中：KH=Kaa+Kcc，Kaa和Kcc為疊加節(jié)點(diǎn)自由度對(duì)應(yīng)的剛度矩陣;Kbb為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度對(duì)應(yīng)的剛度矩陣，其余矩陣為疊加節(jié)點(diǎn)自由度和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度對(duì)應(yīng)的耦合剛度矩陣。同理也可得質(zhì)量矩陣MX。

再以剪式單元線狀陣列可展結(jié)構(gòu)為子結(jié)構(gòu)單元，進(jìn)行規(guī)范化處理，N個(gè)剪式單元的線陣列可展結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移列陣為

(5)

式中：i=0,1,2…n,j=1,2,…n。

(6)

由此將其進(jìn)行(M-1)次加法運(yùn)算得到剪式單元面狀可展結(jié)構(gòu)的剛度矩陣KM和質(zhì)量矩陣MM。

故剪式單元平面陣列可展結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為

(7)

式中：MM、CM、KM、FM、qM分別為剪式單元平面陣列可展結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、與時(shí)間相關(guān)的廣義力向量和廣義位移向量。

因?yàn)榭烧菇Y(jié)構(gòu)在展開過(guò)程中應(yīng)該避免發(fā)生共振，所以首先對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析有

(8)

考慮到在工作狀態(tài)時(shí)，可展結(jié)構(gòu)會(huì)受到變化的外載，對(duì)可展結(jié)構(gòu)造成影響，因此還應(yīng)該研究此時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

(9)

式中：MB,CB,KB,FB,qB分別為約束為結(jié)構(gòu)后的平面陣列可展結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、與時(shí)間相關(guān)的外載列陣和位移列陣。

3 算 例

下面分析一個(gè)5×5的平面陣列可展結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，剪式單元個(gè)數(shù)N×M=25，桿件長(zhǎng)度l=50 mm，橫截面寬b=3 mm，橫截面高h(yuǎn)=4 mm，材料為空間中常用的鋁合金，其彈性模量E=71 GPa，密度ρ=2 770 kg/m3。根據(jù)以上條件求其動(dòng)力學(xué)方程：由文獻(xiàn)[17]可知，按照傳統(tǒng)有限元方法需要對(duì)剪式單元的特性矩陣進(jìn)行528次基本運(yùn)算才能得到平面陣列剪式可展結(jié)構(gòu)的特性矩陣；而按照本文方法只需對(duì)規(guī)范化后的矩陣進(jìn)行16次加法運(yùn)算就能得到可展結(jié)構(gòu)的特性矩陣，運(yùn)算次數(shù)僅為傳統(tǒng)方法的1/33，由此看來(lái)本文的規(guī)范法能夠大大提高建模效率。

3.1 模態(tài)分析

展開角度α=60°，通過(guò)編程得到固有頻率計(jì)算結(jié)果以及用ANSYS仿真計(jì)算結(jié)果(前12階)，將仿真計(jì)算結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)，如表1所示。

表1 計(jì)算值與仿真值對(duì)比

從表1可以看出，無(wú)論是計(jì)算值還是仿真值前四階固有頻率都等于0，這是因?yàn)樽杂烧駝?dòng)時(shí)，平面可展結(jié)構(gòu)具有本身三個(gè)方向的剛體位移和一個(gè)運(yùn)動(dòng)的自由度導(dǎo)致的；另一方面，計(jì)算值與仿真值的最大誤差不超過(guò)0.04%，可以證明規(guī)范化方法的正確性。

依次計(jì)算展開角度α=0°～180°的固有頻率，結(jié)果如圖3所示。

圖3 5～12階固有頻率與展開角度關(guān)系

從圖3可以看出，當(dāng)平面陣列可展結(jié)構(gòu)展開角度發(fā)生變化時(shí)，它的固有頻率也會(huì)發(fā)生一定的改變，特別是在α=0°和α=180°這兩個(gè)極限位置附近，固有頻率突變并全部接近于0，說(shuō)明這兩個(gè)位置結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，所以工作時(shí)應(yīng)該避免這兩個(gè)位置，取頻率相對(duì)穩(wěn)定的展角α=20°～160°。

3.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)

平面陣列可展結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)時(shí)約束和受力如圖4所示，此時(shí)展開角度α=45°，節(jié)點(diǎn)a處所受外載如圖5所示，分析其振動(dòng)情況。

因加工方式的不同和微量元素的種類及含量的不同，鋁合金的阻尼系數(shù)有很大的不同，航天中常用的鋁合金的阻尼比可以分為三類：當(dāng)近乎為純鋁時(shí)，此時(shí)阻尼很小可忽略不計(jì)，按無(wú)阻尼情況考慮，節(jié)點(diǎn)a處的響應(yīng)如圖6所示，由于慣性的作用，結(jié)構(gòu)會(huì)在平衡位置附近進(jìn)行振動(dòng)，且最大振幅為8.7×10-5m，在0.4 s卸掉外載后節(jié)點(diǎn)即以此時(shí)的偏移量為最大振幅圍繞新的平衡位置做周期振動(dòng)，卸載前后周期一致；第二類是小阻尼鋁合金，通過(guò)查閱文獻(xiàn)[18]可知，某種鋁合金的阻尼比為0.056 5，此時(shí)響應(yīng)如圖7所示，可以發(fā)現(xiàn)由外載導(dǎo)致的振動(dòng)衰減很快，并且最大振幅減小為6.8×10-5m，僅為無(wú)阻尼時(shí)的78.2%；通過(guò)適當(dāng)?shù)淖枘嵩鰪?qiáng)處理，可將鋁合金的阻尼比增大到1.02，此時(shí)響應(yīng)如圖8所示，可展結(jié)構(gòu)將不再振動(dòng)直接趨于平衡位置，且達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間僅為前者的21%，故可以通過(guò)增大阻尼來(lái)減小外載帶給可展結(jié)構(gòu)的振動(dòng)影響。

圖4 可展結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)Fig.4 Deployablestructureworkingstate圖5 隨時(shí)間變化的外載Fig.5 Loadovertime圖6 無(wú)阻尼時(shí)點(diǎn)a橫向振動(dòng)的位置響應(yīng)曲線Fig.6 Non-dampingpointalateraloscillationposi-tionresponsecurve圖7 小阻尼時(shí)點(diǎn)a橫向振動(dòng)的位置響應(yīng)曲線Fig.7 Smalldampingpointalateraloscillationposi-tionresponsecurve

圖8 過(guò)阻尼時(shí)點(diǎn)a橫向振動(dòng)的位置響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

(1)本文基于有限元法提出了一種對(duì)剪式單元機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的規(guī)范化方法。首先分析得到剪式單元的疊加節(jié)點(diǎn)自由度與內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度，然后將其分開并以此為規(guī)范化后的位移列陣，再通過(guò)濾波法求出此時(shí)的規(guī)范矩陣，用其對(duì)剪式單元特性矩陣進(jìn)行了規(guī)范化，將規(guī)范化后的特性矩陣直接循環(huán)首尾相加組裝成平面陣列可展結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，從而大幅度地降低了組裝難度，提高了建模效率，同時(shí)也為編程提供了便利。

(2)利用程序編程計(jì)算平面陣列可展結(jié)構(gòu)的固有頻率并與ANSYS仿真結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)本方法計(jì)算值和仿真值最大誤差不超過(guò)0.04%，可以說(shuō)明規(guī)范化方法的正確性。同時(shí)，利用程序計(jì)算了可展結(jié)構(gòu)展開角度α=0°～180°的5～12階固有頻率，結(jié)果表明α=20°～160°時(shí)固有頻率是相對(duì)穩(wěn)定的，機(jī)構(gòu)應(yīng)該在此區(qū)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

(3)針對(duì)平面陣列可展結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了阻尼比為0(無(wú)阻尼)、0.056 5(小阻尼)和1.02(過(guò)阻尼)情況下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。當(dāng)有阻尼時(shí)，外載變化引起的振動(dòng)衰減很快，其中小阻尼時(shí)最大振幅僅為無(wú)阻尼時(shí)的78.2%，過(guò)阻尼時(shí)將不再發(fā)生振動(dòng)，且到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間僅為小阻尼時(shí)的21%，故可通過(guò)適當(dāng)?shù)脑龃笞枘醽?lái)有效地減小結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

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