徐 艷， 童 川， 李建中

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200092)

斜拉橋是一種國(guó)內(nèi)外工程實(shí)踐中廣泛采用的橋型，該橋型外形美觀、施工方便且受力性能良好.斜拉橋的基本體系分為全漂浮體系、半漂浮體系、塔墩梁固結(jié)體系以及塔梁固結(jié)塔墩分離體系.塔墩梁固結(jié)體系在地震作用下的梁端位移很小, 但會(huì)在主塔內(nèi)產(chǎn)生較大的地震內(nèi)力；半漂浮體系和全飄浮體系可以看成是隔震體系, 在地震作用下可以減小塔柱的內(nèi)力反應(yīng), 但這2種體系均會(huì)產(chǎn)生較大的梁端位移，導(dǎo)致主梁與相鄰跨引橋和錨固墩的碰撞[1].因此，漂浮體系斜拉橋的橋塔和主梁之間通常設(shè)置縱向黏滯阻尼器控制梁端位移.近場(chǎng)地震波的特點(diǎn)是常常含有一個(gè)明顯的時(shí)域脈沖.近斷層地震動(dòng)表現(xiàn)出許多不同于遠(yuǎn)場(chǎng)地震動(dòng)的特性，對(duì)房屋、橋梁結(jié)構(gòu)以及路面工程等基礎(chǔ)設(shè)施造成更為嚴(yán)重的毀壞[2-3]，因此在近斷層地震作用下，漂浮體系斜拉橋的梁端位移比普通遠(yuǎn)場(chǎng)地震產(chǎn)生的更大[4].

傳統(tǒng)黏滯阻尼器參數(shù)設(shè)計(jì)需要進(jìn)行反復(fù)的有限元時(shí)程分析，因此快速簡(jiǎn)便地設(shè)計(jì)阻尼器參數(shù)可以節(jié)省大量計(jì)算成本和時(shí)間.針對(duì)設(shè)置線性黏滯阻尼器的建筑結(jié)構(gòu)，美國(guó)聯(lián)邦應(yīng)急管理局(FEMA)提供了較為簡(jiǎn)易的計(jì)算公式[5]，美國(guó)地震工程多學(xué)科研究中心(MCEER)也提出了建筑結(jié)構(gòu)非線性黏滯阻尼器的設(shè)計(jì)公式[6].針對(duì)高速公路常規(guī)橋梁，基于等效阻尼比概念[7]，Hwang等[8]提出梁橋黏滯阻尼器的參數(shù)設(shè)計(jì)公式.巫生平等[9]提出采用最小二乘回歸分析法建立斜拉橋關(guān)鍵截面參數(shù)與黏滯阻尼器阻尼參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型,以控制截面內(nèi)力和最小變形為原則,通過(guò)求解擬合方程的極值得到最優(yōu)阻尼器參數(shù).王波等[10]基于斜拉橋的隨機(jī)地震響應(yīng)，利用虛擬激勵(lì)法計(jì)算一系列樣本點(diǎn)處結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，根據(jù)響應(yīng)面法擬合結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)關(guān)于黏滯阻尼器參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，最終以黏滯阻尼器的阻尼力最小為目標(biāo)函數(shù)，阻尼器相對(duì)位移及橋塔塔底彎矩小于規(guī)定的限值為約束條件，采用非線性規(guī)劃法計(jì)算黏滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化值.上述2種方法雖然可以避免單純依靠經(jīng)驗(yàn)選取阻尼器參數(shù)所帶來(lái)的不確定性，但是還不夠簡(jiǎn)化.

對(duì)漂浮體系斜拉橋的振型分析可以發(fā)現(xiàn), 主梁縱漂振型的貢獻(xiàn)占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，這一振型的特點(diǎn)是：橋面在縱向水平方向作稍有反對(duì)稱(chēng)彎曲的剛體運(yùn)動(dòng)，并帶動(dòng)橋塔縱橋向彎曲振動(dòng)，橋面的水平振型位移與塔頂水平位移相近[11].基于漂浮體系斜拉橋受力特點(diǎn)、等效阻尼比概念和非線性黏滯阻尼器等效線性化方法，本文提出了漂浮體系斜拉橋三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型，建立了三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型的運(yùn)動(dòng)微分方程，推導(dǎo)出脈沖激勵(lì)下三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算公式，得到近斷層地震作用下漂浮體系斜拉橋非線性黏滯阻尼器阻尼系數(shù)的計(jì)算公式，最后通過(guò)一座斜拉橋工程實(shí)例驗(yàn)證了相關(guān)公式的正確性.

1 三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型運(yùn)動(dòng)微分方程的建立與求解

漂浮體系斜拉橋的主梁位移由一階縱飄振型主導(dǎo)，這是斜拉橋全橋模型簡(jiǎn)化為三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型的前提和依據(jù).在地震作用下，主梁的水平地震力主要通過(guò)最外幾對(duì)拉索傳入塔頂，在三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型中將主梁當(dāng)作平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，利用等效模態(tài)法[12]，將主塔主梁以上部分及以下部分的分布質(zhì)量分別等效為集中質(zhì)量.

主梁質(zhì)點(diǎn)編號(hào)為1，主塔上部等效質(zhì)點(diǎn)編號(hào)為2，主塔下部等效質(zhì)點(diǎn)編號(hào)為3.縱向設(shè)置黏滯阻尼器的漂浮體系斜拉橋三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型如圖1所示.

圖1 三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型

未設(shè)置黏滯阻尼器的三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型運(yùn)動(dòng)微分方程如下所示：

(1)

或

(2)

通過(guò)求解特征方程

(3)

可得到三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型的三階自振頻率和相應(yīng)的振型向量.三階自振頻率計(jì)算式如下所示：

(4)

(5)

(6)

其中，

F=k11m2m3+k22m1m3+k33m1m2

G=k11k22m3-k12k21m3+k11k33m2+k22k33m1-

k23k32m1

振型向量如下所示：

(7)

式中:ωn(n=1,2,3)為三階自振頻率;φn(n=1,2,3)為對(duì)應(yīng)的振型向量.

由振型分解法可知，動(dòng)位移向量un可以按照振型向量分解，如下所示：

un(t)=φnYn(t),n=1,2,3

(8)

式中:Yn(t)為振型幅值.

質(zhì)點(diǎn)總位移

u(t)=φ1Y1(t)+φ2Y2(t)+φ3Y3(t)=

(9)

(10)

(11)

式中：ξn為第n階振型廣義阻尼比，ξn=Cn/2ωnMn.

采用振型分解法將耦合的三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型運(yùn)動(dòng)微分方程(見(jiàn)式(2))轉(zhuǎn)化成3個(gè)相互獨(dú)立、無(wú)耦合聯(lián)系的單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程(見(jiàn)式(11)).

對(duì)于普通地震波，只能利用數(shù)值方法求解式(11).近斷層地震動(dòng)具有長(zhǎng)周期、高能量脈沖的特點(diǎn)，徐艷等[13]已證實(shí)以Makris等[14]提出的Type-B速度脈沖模型(見(jiàn)式(12)和式(13))來(lái)擬合近斷層地震波，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)與實(shí)際地震波的誤差在工程可接受范圍內(nèi).為了便于計(jì)算，本文也采用Type-B模型作為輸入來(lái)求解三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型的動(dòng)力反應(yīng).Type-B模型的速度和加速度時(shí)程如圖2所示，計(jì)算式如下所示：

(12)

(13)

式中：V為速度脈沖幅值；T為速度脈沖周期；ωp為脈沖頻率；t為時(shí)間.

當(dāng)三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型輸入式(13)脈沖型地震動(dòng)，求解式(11)得到第n階振型幅值Yn(t)的位移表達(dá)式，如下所示：

(14)

(15)

主梁位移如下所示：

u1(t)=φ11Y1(t)+φ12Y2(t)+φ13Y3(t)

(16)

塔梁相對(duì)位移如下所示：

(17)

2 線性黏滯阻尼器參數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算

FEMA[5]提供了較為實(shí)用和方便的公式來(lái)計(jì)算建筑結(jié)構(gòu)中附加阻尼器所提供的附加阻尼比，如下所示：

ξe=ξ0+ξd

(18)

式中：ξe為結(jié)構(gòu)等效阻尼比；ξ0為結(jié)構(gòu)阻尼比；ξd為附加阻尼器提供的附加阻尼比.

值得注意的是，式(18)中體現(xiàn)的將附加阻尼器提供的附加阻尼比從結(jié)構(gòu)阻尼比中分離出來(lái)的思想大大簡(jiǎn)化了阻尼器參數(shù)的計(jì)算，然而斜拉橋比常規(guī)建筑結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多，用式(18)來(lái)實(shí)現(xiàn)斜拉橋的阻尼器參數(shù)設(shè)計(jì)是不切實(shí)際的.利用Hwang等[7-8]提出的“等效阻尼比”概念，可以推導(dǎo)出附加阻尼器阻尼系數(shù)的設(shè)計(jì)公式.

前文已提到未設(shè)置黏滯阻尼器的三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型的阻尼矩陣C是瑞利阻尼，該阻尼矩陣C可表示為

C=aM+bK

(19)

系數(shù)a和b的表達(dá)式如下所示：

(20)

式中：ω1、ω2為前兩階自振頻率；ξ1、ξ2為前兩階模態(tài)阻尼比.

對(duì)于一般結(jié)構(gòu)可以假設(shè)各個(gè)振型的阻尼比是相等的，即ξ1=ξ2=ξ，則式(20)可以簡(jiǎn)化為

(21)

將式(21)代入式(19)可以得到?jīng)]有安裝黏滯阻尼器的三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型阻尼矩陣C的具體表達(dá)式，如下所示：

(22)

基于阻尼矩陣C，設(shè)置線性黏滯阻尼器三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型的阻尼矩陣CL，如下所示：

(23)

式中：cdl為線性黏滯阻尼器的阻尼系數(shù).

令第一階振型向量表示如下：

(24)

于是第一階廣義質(zhì)量和廣義阻尼可以表示為

(25)

(26)

第一階模態(tài)阻尼比可以表示為

(27)

如果將第一階模態(tài)阻尼比取為定值，調(diào)整第二階和第三階模態(tài)阻尼比的不同取值，然后利用三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型計(jì)算地震響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)第二階和第三階模態(tài)阻尼比對(duì)漂浮體系斜拉橋的地震響應(yīng)影響可以忽略，所以將等效阻尼比近似看作第一階模態(tài)阻尼比,即ξe=ξ1.于是，與目標(biāo)等效阻尼比對(duì)應(yīng)的線性阻尼器的阻尼系數(shù)cdl可由下式得到：

cdl=

(28)

線性黏滯阻尼器參數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程可以概述如下：首先，將漂浮體系斜拉橋簡(jiǎn)化為三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型，利用Type-B模型擬合近斷層地震波，采用式(4)～(7)和式(17)計(jì)算出各階自振頻率、振型向量和塔梁最大位移；然后，基于等效阻尼比概念，利用式(28)和前述已計(jì)算得到的參數(shù)可以得到與目標(biāo)等效阻尼比對(duì)應(yīng)的線性黏滯阻尼器阻尼系數(shù)cdl.

3 非線性黏滯阻尼器參數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算

當(dāng)漂浮體系斜拉橋設(shè)置非線性黏滯阻尼器時(shí)，三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型運(yùn)動(dòng)方程將無(wú)法得到解析解.然而，利用能量消耗等效原理[5]，可以得到非線性黏滯阻尼器和線性黏滯阻尼器的等效關(guān)系，從而利用式(28)換算得到非線性黏滯阻尼器阻尼系數(shù)的計(jì)算式.能量消耗等效原理指的是在同一個(gè)正弦位移波u=u0sin(ωt)作用下，線性和非線性黏滯阻尼器在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)消耗的能量相等.

線性與非線性阻尼器的力與速度關(guān)系可以統(tǒng)一表達(dá)為

(29)

令一個(gè)周期內(nèi)2種阻尼器耗散的能量相等，于是可以得到如下關(guān)系式：

(30)

式中:cd為非線性黏滯阻尼系數(shù)；ω為正弦波的自振頻率，與結(jié)構(gòu)自振頻率相等；u0為黏滯阻尼器的最大位移，即塔梁相對(duì)位移，可由式(17)得到；Γ為伽馬函數(shù).

非線性黏滯阻尼器參數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程可以概述如下：第一步，按照第2節(jié)的思路計(jì)算得到與目標(biāo)等效阻尼比對(duì)應(yīng)的線性黏滯阻尼器阻尼系數(shù)cdl；第二步，基于能量消耗等效原理，利用式(30)和線性阻尼器阻尼系數(shù)cdl，換算得到與目標(biāo)等效阻尼比對(duì)應(yīng)的非線性黏滯阻尼器阻尼系數(shù)cd.

4 實(shí)例驗(yàn)證

為驗(yàn)證簡(jiǎn)化計(jì)算公式的正確性，以一實(shí)際漂浮體系雙塔斜拉橋?yàn)檠芯勘尘?主跨跨徑為380 m，兩側(cè)邊跨各設(shè)1個(gè)輔助墩，跨徑分別為110、50 m；主梁為鋼混疊合箱梁，橋塔為總高140 m的A型混凝土索塔；為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，橋塔、墩底均與地基固結(jié).有限元模型如圖3所示.

圖3 某斜拉橋有限元模型

4種模型在相同速度脈沖型地震動(dòng)作用下的塔梁相對(duì)位移時(shí)程如表1所示.

三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型的主要參數(shù)如下所示：主梁質(zhì)量m1=22 358 t，主塔上部等效質(zhì)量m2=8 155 t，主塔下部等效質(zhì)量m3=3 309 t；剛度系數(shù)k11=43 478 kN·m-1，k12=k21=-43 478 kN·m-1，k22=34 933 kN·m-1，k23=k32=-174 189 kN·m-1，k33=1 709 252 kN·m-1.設(shè)定4種模型結(jié)構(gòu)阻尼比都為3%，當(dāng)目標(biāo)等效阻尼比分別取3%、10%、20%、30%，速度指數(shù)取0.4時(shí)，模型1中非線性黏滯阻尼器阻尼系數(shù)和模型2中線性阻尼器阻尼系數(shù)如表2所示.表2中，目標(biāo)等效阻尼比E為3%即相當(dāng)于未設(shè)置附加黏滯阻尼器的情況.通過(guò)非線性時(shí)程分析、線性時(shí)程分析和數(shù)值計(jì)算得到不同等效阻尼比時(shí)4個(gè)模型的塔梁相對(duì)位移時(shí)程曲線，如圖4所示.

表1 4種分析模型

表2 線性與非線性黏滯阻尼器阻尼系數(shù)

由圖4可見(jiàn)，模型3和模型4的塔梁相對(duì)位移時(shí)程曲線幾乎保持一致，表明漂浮體系斜拉橋簡(jiǎn)化為三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型是合理的，而且本文給出的動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算式(17)具有很好的精確性；模型2和模型3的塔梁相對(duì)位移時(shí)程曲線同樣也相當(dāng)契合，說(shuō)明等效阻尼比的處理方法是合適的，即證實(shí)了式(28)的正確性.模型1和模型2的相對(duì)位移時(shí)程十分接近，表明基于能量消耗等效原理的非線性阻尼器等效線性化方法是可行的，即利用式(30)可以換算出對(duì)應(yīng)目標(biāo)等效阻尼比的非線性黏滯阻尼器阻尼系數(shù).

5 結(jié)論

(1) 三質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化動(dòng)力模型符合漂浮體系斜拉橋的縱橋向受力特點(diǎn)，在初步設(shè)計(jì)階段可以替代全橋進(jìn)行縱橋向動(dòng)力特性和動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算.

(2) 本文提出的黏滯阻尼器阻尼系數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算公式可避免斜拉橋初步設(shè)計(jì)階段為選定阻尼器參數(shù)而進(jìn)行的大量有限元計(jì)算，適用于以速度脈沖為主導(dǎo)的近斷層地震作用下漂浮體系斜拉橋黏滯阻尼器參數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算.

參考文獻(xiàn):

[1] 葉愛(ài)君, 胡世德, 范立礎(chǔ). 超大跨度斜拉橋的地震位移控制[J]. 土木工程學(xué)報(bào), 2004, 37(12):38.

YE Aijun, HU Shide, FAN Lichu. Seismic displacement control for super-long-span cable-stayed bridges[J]. China Civil Engineering Journal, 2004, 37(12): 38.

[2] CHIOCCARELLI E, IERVOLINO I. Near-source seismic hazard and design scenarios [J].Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2013, 42(4): 603.

[3] CHAMPION C, LIEL A. The effect of near-fault directivity on building seismic collapse risk [J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2012, 41(10): 1391.

[4] 張凡, 李帥, 顏曉偉, 等. 近斷層脈沖型地震動(dòng)作用下大跨斜拉橋地震響應(yīng)分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2017, 36(21): 25.

ZHANG Fan, LI Shuai, YAN Xiaowei,etal. Effects of near-fault pulse-type ground motions on long-span cable-stayed bridge[J]. Journal of Vibration and Shock, 2017, 36(21): 25.

[5] FEMA 356. Prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings [R]. Washington DC： Federal Emergency Management Agency, 2000.

[6] SELEEMAH A A. Investigation of seismic response of buildings with linear and nonlinear fluid viscous dampers [R]. New York： NCEER, 1997.

[7] HWANG J S, CHANG K C, TSAI M H. Composite damping ratio of seismically isolated regular bridges[J]. Engineering Structures, 1997, 19(1): 55.

[8] HWANG J S, TSENG Y S. Design formulations for supplemental viscous dampers to highway bridges [J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2005, 34(13): 1627.

[9] 巫生平, 張超, 房貞政. 斜拉橋黏滯阻尼器設(shè)計(jì)方案及參數(shù)回歸分析[J]. 橋梁建設(shè), 2014, 44(5): 21.

WU Shengping, ZHANG Chao, FANG Zhenzheng. Design schemes and parameter regression analysis of viscous dampers for cable-stayed bridge [J]. Bridge Construction, 2014, 44(5): 21.

[10] 王波, 馬長(zhǎng)飛, 劉鵬飛,等. 基于隨機(jī)地震響應(yīng)的斜拉橋粘滯阻尼器參數(shù)優(yōu)化[J]. 橋梁建設(shè), 2016, 46(3): 17.

WANG Bo, MA Changfei, LIU Pengfei,etal. Parameter optimization of viscous damper for cable-stayed bridge based on stochastic seismic responses [J]. Bridge Construction, 2016, 46(3): 17.

[11] 李國(guó)豪.橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動(dòng)[M].北京: 中國(guó)鐵道出版社，1992.

LI Guohao. Stability and vibration of bridge structure [M]. Beijing: China Railway Publishing House, 1992.

[12] CHOPRA A K. Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering [M]. 3rd ed. Upper Saddle River: Prentice-Hall Inc.，2007.

[13] 徐艷, 黃永福, 李建中. 脈沖型地震作用下斜拉橋縱向響應(yīng)的簡(jiǎn)化計(jì)算[J]. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版), 2015(2): 41.

XU Yan, HUANG Yongfu, LI Jianzhong. Simplified calculation of longitudinal seismic response of cable-stayed bridge subjected to pulsed ground motions [J]. Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition) , 2015(2): 41.

[14] MAKRIS N, CHANG S P. Effect of viscous, viscoplastic and friction damping on the response of seismic isolated structures [J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2000, 29(1): 85.