余建國(guó)

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解;簡(jiǎn)潔;自然;教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號(hào)】1005-6009（2018）19-0043-03

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念、原理的產(chǎn)生和發(fā)展應(yīng)該是合理的、自然的。數(shù)學(xué)教學(xué)宜通過教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)其數(shù)學(xué)概念的自然生長(zhǎng)。筆者結(jié)合自己的教學(xué)、觀課等實(shí)踐，例談在充分的數(shù)學(xué)理解基礎(chǔ)上改進(jìn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方法。

一、類比遷移，揭示內(nèi)涵生成概念

數(shù)學(xué)的發(fā)展史表明，許多數(shù)學(xué)概念具有相似的屬性。類比策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中之所以能起作用，主要是因?yàn)槟承?shù)學(xué)研究對(duì)象的本質(zhì)存在相同或相似之處。對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性，然后進(jìn)行類比遷移得到新概念。

[案例1]等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。

教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列的定義和符號(hào)表達(dá)式，并板書。然后提出下列問題。

判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列：

（1）1，2，3，4，5，…;（2）-1，1，-1，1，-1，…;（3）a，a，a，a，a，…;（4）1，2，4，8，16，…;（5）1，1×（1+r），1×（1+r）2，1×（1+r）3，1×（1+r）4，…（r≠-1）。

學(xué)生一般會(huì)準(zhǔn)確回答出（1）（3）是，（2）（4）（5）不是。

教師擦去數(shù)列（1）（3），再次拋出問題：數(shù)列（2）（4）（5）有什么特點(diǎn)（規(guī)律）呢？

有了熟悉的概念作鋪墊，學(xué)生很快找到“比是同一個(gè)常數(shù)”的特點(diǎn)。此時(shí)，教師再讓數(shù)列（3）顯現(xiàn)，學(xué)生中有的說符合這個(gè)特點(diǎn)，有的說不符合，互相爭(zhēng)論后統(tǒng)一了看法：當(dāng)a≠0時(shí)也符合。于是，等比數(shù)列概念的生成水到渠成。

接下來教師只要在原來的板書上稍作改動(dòng)即可進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)——推導(dǎo)通項(xiàng)公式。仍然可以采用列表類比的方法。

教師可以稍作提示：在等差數(shù)列中，an=a1+（n-1）d=a1+d+d+…+d，這里共有（n-1）個(gè)d相加，那么與“+”對(duì)應(yīng)的運(yùn)算是什么？請(qǐng)同學(xué)們猜想等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并給出推導(dǎo)過程。

在教學(xué)了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)和性質(zhì)的后，再讓學(xué)生通過類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)和性質(zhì)，既可以使學(xué)生明確等比數(shù)列的學(xué)習(xí)方向和研究方法，又可以使數(shù)列知識(shí)系統(tǒng)化，有利于數(shù)列知識(shí)體系的構(gòu)建。教學(xué)中創(chuàng)設(shè)聯(lián)系已有相似概念的情境，引導(dǎo)學(xué)生利用類比方法獲得新發(fā)現(xiàn)，并嘗試給新概念下定義，這種做法順理成章，學(xué)生易于接受。

二、遵循認(rèn)知，揭示規(guī)律生成概念

奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)。但為什么一些函數(shù)叫“偶”函數(shù)，而另一些函數(shù)叫“奇”函數(shù)的問題，即便在學(xué)生學(xué)完本概念后仍舊會(huì)盤旋在一些學(xué)生的腦海中。江蘇省特級(jí)教師陶維林的教學(xué)值得我們學(xué)習(xí)。

[案例2]函數(shù)的奇偶性。[1]

陶老師在教學(xué)中設(shè)計(jì)了下面3個(gè)問題。

問題1 畫一畫下列函數(shù)的圖象：y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x4。請(qǐng)你談?wù)剬?duì)這些圖象的感受。

問題2 對(duì)于關(guān)于y軸（或原點(diǎn)）對(duì)稱的圖象，我們反思一下剛才的列表，有何規(guī)律？

問題3 用圖形計(jì)算器畫出下列函數(shù)的圖象：y=x5，y=x-2，y=x-3，y=x6，y=x7，給這些圖象分分類？分類依據(jù)又是什么？

對(duì)這3個(gè)問題的解答，就是一個(gè)感受、發(fā)現(xiàn)函數(shù)數(shù)量關(guān)系和圖形特征的過程。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，一類冪指數(shù)為偶數(shù)的，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，很自然地就被叫作“偶函數(shù)”;另一類冪指數(shù)是奇數(shù)的，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也很自然地就被叫作“奇函數(shù)”。這樣，奇偶函數(shù)概念的由來就清晰明了了。雖然這樣的教學(xué)僅僅在冪函數(shù)范疇內(nèi)做了研究，并沒有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，但這樣的做法讓學(xué)生對(duì)奇偶函數(shù)有了更多的感性認(rèn)識(shí)。接下來根據(jù)列表畫圖的規(guī)律，抓住自變量互為相反數(shù)時(shí)，其函數(shù)值相等或互為相反數(shù)的特征，學(xué)生就能自主地給奇偶函數(shù)下嚴(yán)格的定義?？梢?，只要教師遵循認(rèn)知規(guī)律，在“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，教學(xué)中就能促進(jìn)概念的自然生成。

三、暗藏玄機(jī)，展示聯(lián)系生成概念

有效的教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生、激發(fā)學(xué)生自己去學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生通過自己的思考建立起對(duì)數(shù)學(xué)的理解力，構(gòu)建和發(fā)展數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。

[案例3]平面向量的基本定理。

在學(xué)習(xí)這個(gè)定理之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“共線向量定理”：共線的向量有無數(shù)多個(gè)，在“選定一個(gè)非零向量a”的前提下，其他向量b均可用a唯一表示，即存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b=λa成立。這樣，共線的所有向量的運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為向量a的運(yùn)算?；诖?，提出下列問題。

問題1 如圖1，向量b能否用向量a表示？為什么？

學(xué)生會(huì)直觀地看出，因?yàn)橄蛄縜、b不符合共線定理的條件，所以不能表示。也就是說，不與向量a共線的向量是不能用來表示向量a的。一個(gè)向量“不夠用”，那兩個(gè)向量呢？

問題2 如圖2，向量b能否用向量a和向量c表示？為什么？

學(xué)生同樣會(huì)發(fā)現(xiàn)，由于向量a和向量c共線，事實(shí)上仍然不能表示向量b。由此可見，必須選擇兩個(gè)不共線的向量才行。

問題3 如圖3，將向量b用向量a和向量c線性表示出來。

問題4 任意向量m都可以用向量a和向量c（a與c不共線）線性表示嗎？

對(duì)這個(gè)問題，學(xué)生的意見出現(xiàn)了分歧，有的說，零向量不能;有的說，與向量c平行的不能;還有的說，當(dāng)m

問題5 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，a=λ1e1+λ2e2的表示法是唯一的嗎？

如果學(xué)生回答不唯一，那么教師可以借助“反證法”利用共線定理，說明其唯一性。當(dāng)然，實(shí)際教學(xué)中，教師可以通過幾何畫板課件，直觀地演示“任意性”和“唯一性”。

我們可以看到，在這個(gè)“引入”案例中，共線定理與基本定理是兩條問題線，它們時(shí)而交匯，時(shí)而發(fā)散，在聯(lián)系中完成新知識(shí)的構(gòu)建。同時(shí)，學(xué)生理解了“平面向量基本定理”，也可以深化對(duì)“共線向量定理”的認(rèn)識(shí)。

四、實(shí)驗(yàn)操作，探究分析生成概念

無論是通過教具，還是利用信息技術(shù)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都能改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，讓學(xué)生在觀察、操作、探索、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等活動(dòng)中完成數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展，建構(gòu)和完善。

[案例4]雙曲線的漸近線。

圓和橢圓沒有漸近線，到了雙曲線怎么就“冒出”漸近線呢？根據(jù)兩個(gè)實(shí)點(diǎn)、兩個(gè)虛點(diǎn)，先畫出對(duì)應(yīng)的矩形，再畫矩形的對(duì)角線，“看看這兩條線，它跟雙曲線有什么關(guān)系？”——這么教筆者總覺得不妥，一是結(jié)論直接告知，二是學(xué)生失去了很好的探究機(jī)會(huì)。有了幾何畫板，我們可以這樣探究：

有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在第一象限雙曲線向右上方無限伸展，且曲線逐漸“越來越直”。用什么方法體現(xiàn)這種“越來越”？學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)兩種方法，一是將畫圖的定義域擴(kuò)大，二是在幾何畫板中將“單位長(zhǎng)1”拖小，呈現(xiàn)如圖4。教師追問，這條線的方程是什么？

如果沒有反比例函數(shù)的圖象特征作為“最近發(fā)展區(qū)”，漸近線的“自然生成”是非常困難的。要實(shí)現(xiàn)這類數(shù)學(xué)概念的自然生成，一定要學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。除了真實(shí)的實(shí)驗(yàn)外，教師還可以充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)（如圖形計(jì)算器、幾何畫板等）設(shè)計(jì)一些實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過實(shí)際操作學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)。

人民教育出版社編審章建躍老師常說，“課堂教學(xué)中，‘自然的過程來源于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知過程的融合，具體表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理的不斷歸納和概括的過程?！盵2]因此，教師首先要充分地理解數(shù)學(xué)，挖掘數(shù)學(xué)概念和原理形成過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，以問題為載體，通過設(shè)計(jì)有效的活動(dòng)，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)打開，引導(dǎo)學(xué)生展開學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)知識(shí)的“生成”更自然，更合理。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陶維林.“函數(shù)的奇偶性”該怎么教[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2013（11）.

[2]章建躍.課堂教學(xué)的兩個(gè)關(guān)鍵[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2008（10）.