摘 要：乘、除法是學生學習了加、減法之后再學習的新運算。學生學習乘、除法需要更多的數(shù)學理解，要以新的思維方式進行思考。一般認為，學生學習乘、除法是計算概念的一次擴展，是認知上的一次飛躍。在學生學習乘、除法之前，應(yīng)當進行鋪墊性訓練，以降低學生在學習新知識第一時間所產(chǎn)生的難度，提高新知的掌握水平。同時，乘、除法的學習拓展了學生的數(shù)學視野和應(yīng)用數(shù)學的空間，教學中應(yīng)當重視培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，特別是推理能力。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新思維 數(shù)學理解 拓展

乘、除法是學生學習了加、減法之后再學習的新運算。學生學習乘、除法需要更多的數(shù)學理解，要以新的思維方式進行思考。一般認為，學生學習乘、除法是計算概念的一次擴展，是認知上的一次飛躍。在學生學習乘、除法之前，應(yīng)當進行鋪墊性訓練，以降低學生在學習新知識第一時間所產(chǎn)生的難度，提高新知的掌握水平。同時，乘、除法的學習拓展了學生的數(shù)學視野和應(yīng)用數(shù)學的空間，教學中應(yīng)當重視培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，特別是推理能力。

1 乘、除法學習的鋪墊性訓練

乘法涉及兩個數(shù)，分別是每個集合中物體的個數(shù)和集合的個數(shù)，即通常教學中所說的相同加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)。乘法是表示同數(shù)連加的一種方法，求幾個相同加數(shù)的和可以用乘法計算，這說明乘法與加法密切聯(lián)系。但是，與加法相比較，由于乘法中每個數(shù)所起的作用不同，理解乘法中每個數(shù)是如何聯(lián)系的，對學生的抽象思維能力要求更高。因此，在正式學習乘法之前，有必要安排一些鋪墊性的訓練。

1.1 乘法的鋪墊訓練

1）同數(shù)相加。乘法的本質(zhì)是一類特殊的加法，這里所指的特殊就是加數(shù)相同。例如，結(jié)合圖示直觀，初步感知每份量、份數(shù)與總數(shù)之間的關(guān)系。把同數(shù)相加的問題情境轉(zhuǎn)譯成“幾個幾相加等于幾”，為學習乘法的含義打下基礎(chǔ)。2）一與多對應(yīng)。一與多對應(yīng)是指一個與多個相對應(yīng)，它是學生遇到的比較簡單的乘法形式，如1輛汽車有4個輪子，就是這種對應(yīng)關(guān)系。日常生活中這種例子比比皆是。例如，在正式學習乘法之前，讓學生通過數(shù)每個集合中物體的個數(shù)與集合的個數(shù)，體會這些數(shù)的含義以及它們之間的關(guān)系，為學習乘法積累活動經(jīng)驗。3）遞推計算。這里所指的“遞推”不是指演繹推理中的遞推關(guān)系，而是在同數(shù)相加的計算中，基于已有的計算結(jié)果，結(jié)合相同加數(shù)個數(shù)的變化推算出新的得數(shù)。這種訓練結(jié)合20以內(nèi)的進位加法進行，使學生在熟練加法計算的同時，獲得對相同加數(shù)、相同加數(shù)的個數(shù)等概念的初步理解。隨著學生認數(shù)范圍的擴展，這類鋪墊可以結(jié)合不同的基礎(chǔ)進行。例如，學習兩位數(shù)加一位數(shù)之后安排：

聯(lián)系進位加法的學習安排：

1.2 除法的鋪墊訓練

除法學習的早期鋪墊主要包括兩個方面：一是理解除法的上位概念——平均分，二是積累把物體平分的活動經(jīng)驗。這兩個方面是相互聯(lián)系的，在實際教學中也可以結(jié)合在一起進行。例如，教學時，可以呈現(xiàn)幾種不同的分法，如通過正反兩種例子的比較，幫助學生建立平均分的概念。進一步，可引導學生通過畫圖或操作學具，把物體拆分成相等的集合。平均分對兒童來說是很生動的數(shù)學活動，在平均分活動中，需要考慮三個因素：一是全體的大小，二是分為幾部分和每部分的大小，三是各部分必須相等。這些思考構(gòu)成了理解平均分的基礎(chǔ)。平均分通常有兩種含義：一是多個物體的平均分配，二是一個物體的平均分。前者是認識除法的基礎(chǔ)，后者是認識分數(shù)的起點。一般在學習除法之前只講前者，對于基礎(chǔ)較好的班級，也可以適當考慮后者。例如，讓學生判斷下圖中哪些是把長方形平均分：乘法是加法的重復，除法也可以看作減法的重復，乘法和除法的實際計算結(jié)果可以由連加或連減導出。這些運算之間的聯(lián)系，可以通過問題情境的驅(qū)動與形數(shù)結(jié)合的方式，讓學生感受和體會。需要說明的是，以上這些鋪墊訓練都是結(jié)合不同學習階段的重要基礎(chǔ)進行的，這樣既可以鞏固當前的學習基礎(chǔ)，又不會增加學習負擔。換句話說，我們所強調(diào)的早期鋪墊，側(cè)重于從知識內(nèi)在聯(lián)系的角度設(shè)計，而不是為了新知學習提前重新構(gòu)建一個基礎(chǔ)。

2 表內(nèi)乘除法練習中的思考性訓練

用橫排的方式學習乘法口訣，以“同數(shù)相乘”作為“幾”的口訣起始句。在學習2～4的乘法口訣時，結(jié)合“乘加”、“乘減”的學習，引導學生推導乘法口訣，理解乘法口訣的相互聯(lián)系。

學習7，8，9的口訣時，只剩下6句。借助正方形格子圖的直觀，引導學生編寫同數(shù)相乘的口訣：先利用正方形內(nèi)8行8列的格子引出8×8=64，八八64，再將其內(nèi)縮一行一列編“七七”的口訣，外擴一行一列編“九九”的口訣。進而以同數(shù)相乘的口訣為基礎(chǔ)，利用乘加、乘減計算推導出另外三句口訣。在教學5～9的乘法口訣時，用口訣求積與用口訣求商相結(jié)合，相互促進，進一步理解乘、除法的關(guān)系。乘、除法的問題情境豐富多變，如乘法主要有四種情境，分別是等組、倍數(shù)比較、矩形隊列、搭配（笛卡爾積），這些情境為設(shè)計多樣的練習提供了資源。教學中，教師應(yīng)當提供不同的問題情境，豐富學生對乘、除法的理解，使學生有機會在學習乘、除法的過程中，培養(yǎng)靈活的思維能力，學習重要的數(shù)學思想。乘、除法聯(lián)系著許多重要的數(shù)學概念和數(shù)學思想，如倍數(shù)、比例、函數(shù)思想等。這些知識可以整合在表格式的應(yīng)用問題中加以滲透。例如，學習4的乘法口訣時，可以安排：這里創(chuàng)設(shè)了兩個量“共變”的情境，學生需要考慮變量之間是如何聯(lián)系的，初步體會函數(shù)關(guān)系，并可為理解比例關(guān)系打下基礎(chǔ)。乘、除法學習聯(lián)系廣泛，教學時應(yīng)當有目的地開展數(shù)學活動，通過設(shè)計有針對性的練習，培養(yǎng)不同的數(shù)學能力。例如，同樣是形數(shù)結(jié)合，可以安排：這里創(chuàng)設(shè)的兩個問題情境都需要學生自己構(gòu)建算式，但側(cè)重的基礎(chǔ)和培養(yǎng)的能力不一樣。前一個是乘法中較為基礎(chǔ)的等組情境，但因為需要空間觀念而增加了思考性；后一個是乘法中的倍數(shù)比較，把計算建立在圖形合與分的基礎(chǔ)上。在乘、除法的學習中，對倍數(shù)概念進行正向和逆向的應(yīng)用，可以培養(yǎng)學生的推理能力。推理是人們獲得新知的重要手段。任何推理都由兩部分組成，一部分是推理所依據(jù)的已知判斷，即前提；另一部分是推出的新的判斷，即結(jié)論。根據(jù)前提與結(jié)論不同的聯(lián)系方式，可以設(shè)計出不同形式和不同層次的乘法推理練習。

2.1 一對多的推理。

每份量（1條裙子的價格）聯(lián)系著已知條件（前提）與所求問題（結(jié)論），根據(jù)條件與問題之間的直接聯(lián)系構(gòu)建乘法算式。在學生學習到一定階段，可逐步抽象化，以圖形推算的形式呈現(xiàn)，并用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)系條件與問題。例如，

如果★=▲▲▲，那么9個★=□個▲。

2.2 三段推理。例如，如果■=★×4 ，★=▲×9，那么■=□個▲。

由兩個條件作為前提，根據(jù)兩個條件之間的聯(lián)系，構(gòu)建新的條件（結(jié)論）。

2.3 對應(yīng)推理。

根據(jù)每份對應(yīng)量的差不變，感知“每份量的差×份數(shù)=總數(shù)差”的數(shù)量關(guān)系。掌握這種數(shù)量關(guān)系，可以解決較復雜的問題，如下面的差對應(yīng)問題：4. 關(guān)系推理。例如，

已知▲×●=24。如果▲-●=5，那么▲+▲+●=□；如果▲-●=2，那么▲+▲+●=□。根據(jù)數(shù)與數(shù)、式與式之間的關(guān)系，推算出圖形表示的數(shù)。

有些數(shù)學問題之所以復雜，是因為解決問題所需要的條件不是直接知道的，或者說被隱蔽起來了。解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件之間的關(guān)聯(lián)并推導新條件，這往往需要推理能力的支持。即使是較簡單的數(shù)學問題，這種能力也可能是解題的關(guān)鍵。如歸一問題：

如果■=21，那么■表示多少？解題時需要根據(jù)已知條件構(gòu)建出一個新的條件，即每個正方形表示21÷3=7。

總之，乘、除法的學習，不只是掌握運算技能，還要通過豐富多變的練習，培養(yǎng)學生的思維能力，特別是要重視運用抽象的推理解決問題。

參考文獻

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作者簡介

劉佳（1975-），女，漢族，新疆烏魯木齊，小學數(shù)學教師，一級教師。