孫金山

摘 要：“數(shù)學(xué)課堂對(duì)話是教學(xué)參與者與教學(xué)相關(guān)的內(nèi)容，主要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)、展示思考過(guò)程、促進(jìn)相互理解、分享探究收獲、傳播數(shù)學(xué)文化的一種交際活動(dòng)……數(shù)學(xué)理解的形成條件是自主活動(dòng)?！币浴罢n堂對(duì)話”為手段，以促進(jìn)學(xué)生的“數(shù)學(xué)理解”為目的，教師設(shè)計(jì)了《平面向量的分解定理》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“定理”）的教學(xué)，就“課堂對(duì)話”在課堂中如何促進(jìn)學(xué)生定理的數(shù)學(xué)理解進(jìn)行總結(jié)和反思。

關(guān)鍵詞：課堂對(duì)話；課堂教學(xué)；數(shù)學(xué)理解

一、教師與學(xué)生對(duì)話，發(fā)現(xiàn)學(xué)生定理學(xué)習(xí)起點(diǎn)，確定定理教學(xué)途徑，促進(jìn)學(xué)生理解

教師要先知道學(xué)生目前的位置，即熟悉學(xué)生的起點(diǎn)行為后，明了教學(xué)目標(biāo)，再以有效的教學(xué)原則和方法，帶領(lǐng)學(xué)生到達(dá)目的地，才能達(dá)到有效教學(xué)。教材中直接以向量的坐標(biāo)表示——向量的正交分解為引，提出將基本單位向量一般化的問(wèn)題，從特殊到一般推廣數(shù)學(xué)命題的思路值得實(shí)踐。而學(xué)生對(duì)向量的正交分解的理解是否具有教材期望的水平是個(gè)問(wèn)題。事實(shí)上部分教師也不清楚教材中是不是有向量正交分解的概念。另一方面，物理中關(guān)于向量的合成與分解的學(xué)習(xí)先于數(shù)學(xué)，且是章節(jié)重點(diǎn)。于是教師設(shè)計(jì)了力的分解的實(shí)例滑滑梯作為引例，此引例可以通過(guò)平行四邊形法則對(duì)重力直接進(jìn)行分解，也可以對(duì)支持力和摩擦力進(jìn)行正交分解。在師生的問(wèn)答解決實(shí)例的過(guò)程中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生能熟練的運(yùn)用平行四邊形法則對(duì)力進(jìn)行分解，但是不能說(shuō)出“正交分解”的概念來(lái)。于是教師知道學(xué)生雖然會(huì)用坐標(biāo)表示向量，但并沒(méi)有體會(huì)到坐標(biāo)系中基本單位向量的意義，沒(méi)有理解為什么可以用坐標(biāo)表示向量。

在后續(xù)定理分析時(shí)一定要清晰地建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，改善學(xué)生

對(duì)坐標(biāo)系本質(zhì)的理解，促進(jìn)學(xué)生定理的數(shù)學(xué)理解。

二、學(xué)生與學(xué)生對(duì)話，相互啟發(fā)，經(jīng)歷新知發(fā)現(xiàn)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生多角度理解新知

“學(xué)習(xí)知識(shí)的最好方式就是自己去發(fā)現(xiàn)它。”引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”需要教師設(shè)置適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，最終“向量分解的過(guò)程中依據(jù)的是平行四邊形法則，那么向量分解的結(jié)果呈現(xiàn)怎樣的規(guī)律性？需要什么樣的條件呢？”替換了最初的“任意一個(gè)向量都能用給定的兩個(gè)不平行的向量表示嗎？”用一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題替換了原來(lái)封閉型問(wèn)題，給學(xué)生思考的空間，經(jīng)歷小組討論交流不同猜想的過(guò)程：

A組：條件是是非零向量，結(jié)論是

B組：條件中要不平行，結(jié)論一樣的。

C組：可以是零向量。

在學(xué)生發(fā)表小組猜想的時(shí)候教師的追問(wèn)實(shí)際是鼓勵(lì)學(xué)生深入思考：“基向量為什么一定要不平行？”“是否成立？”這些問(wèn)題可能是小組討論過(guò)且有結(jié)論的，不同學(xué)生的解釋能夠幫助同學(xué)多一種理解的角度，在猜想不斷完善修正的過(guò)程中，能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)定理本質(zhì)全面、多角度的理解。定理唯一性的證明是本節(jié)課的難點(diǎn)，雖然只有部分學(xué)生能夠真正地理解證明的過(guò)程，但是聯(lián)系已有知

識(shí)解釋說(shuō)明的過(guò)程，能夠讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的邏輯性

和嚴(yán)謹(jǐn)性，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式和方法、經(jīng)歷數(shù)學(xué)家思考問(wèn)題的過(guò)程，不斷地加深學(xué)生對(duì)定理本質(zhì)的理解。

三、學(xué)生與文本對(duì)話，閱讀教材，使學(xué)生理解的定理上升到抽象水平

著名教育家蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》中指出：閱讀是對(duì)學(xué)生進(jìn)行智育的重要手段。閱讀是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，多讀能提高理解能力。指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣，使他們能逐步地獨(dú)立獲取知識(shí)具有重要作用。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的三種形式圖形、文字、符號(hào)能準(zhǔn)確、簡(jiǎn)練、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)數(shù)學(xué)概念。能夠通過(guò)閱讀文本獲得對(duì)定理的抽象認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)理解的有效途徑。定理引入教學(xué)的關(guān)鍵是建立感性經(jīng)驗(yàn)與抽象概念之間的聯(lián)系?？墒怯捎跀?shù)學(xué)概念的本質(zhì)是抽象的，因此，在教學(xué)的適當(dāng)階段還應(yīng)盡可能地?cái)[脫具體或直觀的背景，使概念上升到抽象水平。因此，通過(guò)閱讀教材，可以使學(xué)生對(duì)比精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與自己頭腦中的描述之間的差異，在概念形成的過(guò)程中矯正偏差，將對(duì)定理的認(rèn)識(shí)上升到新的水平。

四、學(xué)生與自己對(duì)話，理清知識(shí)脈絡(luò)，內(nèi)化新知

定理的應(yīng)用（例1.已知平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，設(shè)，試用基分別表示和。）是促進(jìn)學(xué)生定理理解的重要途徑，數(shù)學(xué)理解的形成必須依靠學(xué)生自主的活動(dòng)。教師設(shè)計(jì)了變式訓(xùn)練，目的是突出定理的本質(zhì)屬性，促進(jìn)學(xué)生理解新知本質(zhì)。學(xué)生獨(dú)立解題，在熟悉定理?xiàng)l件和結(jié)論的同時(shí)，希望能夠初步體會(huì)到“平面向量分解定理”的化歸思想。變式1（選擇不同的基表示）開(kāi)放性問(wèn)題，意圖是讓學(xué)生體會(huì)到“基”選擇的任意性，同時(shí)能夠矯正部分學(xué)生對(duì)“基”理解的偏差。變式2（若點(diǎn)M不是線段BD的中點(diǎn)，，試用基表示AM）希望學(xué)生獲得兩種解題思路，一種是熟悉的向量合成的角度：。另一種是從向量分解的角度：，利用三角形相似比得到定理中λ，μ的值。拓寬用“基”表示平面上的任意向量的思路。但是教師需要點(diǎn)明定理的本質(zhì)是可以用“基”表示任意向量，至于表示的過(guò)程是向量的合成或分解不是定理的重點(diǎn)，也能解除學(xué)生的疑

惑：“不學(xué)定理我們也會(huì)做這樣的題目啊，為什么要學(xué)習(xí)定理？”定理的學(xué)習(xí)不在于提供一種解題方法，而是一個(gè)理論依據(jù)，在解題之前，解題者根據(jù)定理就可以知道一定可以用基表示所求的向量，可以說(shuō)是運(yùn)籌帷幄。變式3（若點(diǎn)M不是線段BD的中點(diǎn)，。）可以說(shuō)是對(duì)原題和變式2的一般性推廣，期望學(xué)生能夠體會(huì)到從特殊到一般的數(shù)學(xué)解題策略，進(jìn)一步在非本質(zhì)屬性的變化中體會(huì)定理的本質(zhì)：化歸。

課堂是教師教學(xué)的主陣地，提高課堂教學(xué)效率是教師“戰(zhàn)斗”的目標(biāo)。通過(guò)課堂對(duì)話的多種形式，把握學(xué)生的即時(shí)學(xué)習(xí)效果，激發(fā)學(xué)生不斷地深入思考，引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化新知，促進(jìn)學(xué)生多角度、多層次、更好地理解數(shù)學(xué)概念提供一種模式。教師還將在豐富教學(xué)資源、改善對(duì)話策略、技術(shù)的輔助等方面多嘗試和反思，以便提高課堂效率，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。

參考文獻(xiàn)：

蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].杜殿坤，譯.教育科學(xué)出版社，1984-06.

編輯 溫雪蓮