，，2，*，，2

1. 北京控制工程研究所，北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190

與輪式或履帶式機(jī)器人相比，足式機(jī)器人憑借更好的地形適應(yīng)能力，成為移動機(jī)器人研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一，然而高能耗已成為制約足式機(jī)器人廣泛應(yīng)用和進(jìn)一步發(fā)展的瓶頸問題之一[1]。影響足式機(jī)器人步行能耗的因素較多，主要包括機(jī)器人自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)和步態(tài)參數(shù)[2]，當(dāng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)確定后，通過設(shè)計(jì)合理的步態(tài)參數(shù)來提高步行能量效率十分必要。

保證多足機(jī)器人步態(tài)的穩(wěn)定性是步態(tài)優(yōu)化過程中的必要約束條件，對于多足機(jī)器人步態(tài)的穩(wěn)定性研究，當(dāng)前最常用的是基于機(jī)器人重心的靜穩(wěn)定性方法，以四足機(jī)器人慢走步態(tài)為例，該方法要求機(jī)器人重心時(shí)刻保持在支撐區(qū)域內(nèi)，而為了保證一定的穩(wěn)定裕度，支撐區(qū)域需要進(jìn)行一定的收縮處理，這會導(dǎo)致連續(xù)行走時(shí)穩(wěn)定支撐區(qū)域不連續(xù)，因此需要加入四足支撐階段用于將機(jī)器人重心從上一個(gè)穩(wěn)定支撐區(qū)域移動至下一個(gè)穩(wěn)定支撐區(qū)域，影響機(jī)器人行走的連續(xù)性。零力矩點(diǎn)(Zero Moment Point,ZMP)穩(wěn)定性理論[3]已廣泛應(yīng)用于雙足機(jī)器人的平衡控制問題中，有學(xué)者指出，該理論并非雙足機(jī)器人步態(tài)穩(wěn)定的充分條件，只是機(jī)器人腳板不發(fā)生偏轉(zhuǎn)的充分條件[4]；對于多足機(jī)器人若把機(jī)器人的支撐區(qū)域理解為腳板，那么腳板不發(fā)生偏轉(zhuǎn)與機(jī)器人不發(fā)生傾倒是相一致的，因此ZMP穩(wěn)定性理論適用于多足機(jī)器人步態(tài)的穩(wěn)定性分析。本文采用基于ZMP穩(wěn)定性理論的機(jī)身軌跡規(guī)劃方法，以確保步態(tài)參數(shù)優(yōu)化過程中步態(tài)的穩(wěn)定性。

目前針對多足機(jī)器人步態(tài)優(yōu)化方面的研究主要有以下一些成果，文獻(xiàn)[5]從仿生學(xué)的角度對四足機(jī)器人擺動腿軌跡進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[6]分析對比了3種特殊的足端軌跡對機(jī)器人移動能耗的影響，并未考慮步態(tài)參數(shù)對機(jī)器人運(yùn)動穩(wěn)定性的影響；文獻(xiàn)[7]基于ZMP穩(wěn)定性理論對四足機(jī)器人機(jī)身運(yùn)動軌跡進(jìn)行了優(yōu)化，文獻(xiàn)[8]為提高四足機(jī)器人爬行過程中的靜穩(wěn)定性和行走速度，對爬行步態(tài)進(jìn)行了優(yōu)化，但并未考慮到行走過程中的擺動腿軌跡和能耗優(yōu)化問題；文獻(xiàn)[9-11]雖然在步態(tài)優(yōu)化過程中綜合考慮了擺動腿軌跡和機(jī)身運(yùn)動軌跡，但其優(yōu)化對象為簡化的機(jī)器人平面連桿模型，這種簡化的動力學(xué)模型不能準(zhǔn)確真實(shí)地反映足式機(jī)器人的行走過程。

針對上述分析，本文提出一種基于能耗最優(yōu)的多足機(jī)器人綜合步態(tài)優(yōu)化方法，為了在優(yōu)化過程中同時(shí)優(yōu)化擺動腿軌跡、機(jī)身運(yùn)動軌跡和步態(tài)參數(shù)，并且保證機(jī)器人的步態(tài)穩(wěn)定性，將優(yōu)化過程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)嵌套的子優(yōu)化問題。首先，采用一種基于ZMP穩(wěn)定性理論的機(jī)身運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法，針對給定的下一步落足點(diǎn)和支撐多邊形，利用優(yōu)化的方法規(guī)劃出機(jī)身運(yùn)動軌跡，在保證機(jī)身軌跡連續(xù)平滑的同時(shí)，確保機(jī)器人在邁步過程中的穩(wěn)定性。其次,提出一種基于能耗指標(biāo)的周期性步態(tài)參數(shù)優(yōu)化方法，建立機(jī)器人虛擬樣機(jī)模型作為步態(tài)優(yōu)化模型，對步態(tài)參數(shù)、擺動腿足端軌跡和機(jī)身運(yùn)動軌跡同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，得到使機(jī)器人前進(jìn)單位距離能耗最優(yōu)的步態(tài)。

1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)與坐標(biāo)系建立

本文以四足機(jī)器人連續(xù)慢走步態(tài)為例研究機(jī)器人步態(tài)參數(shù)優(yōu)化方法，該方法通過簡單推廣同樣適用于其他多足機(jī)器人的相應(yīng)步態(tài)。為方便描述，將機(jī)器人的四條腿按左前腿、右前腿、左后腿、右后腿的順序進(jìn)行編號，分別為腿1、腿2、腿3、腿4。連續(xù)慢走步態(tài)情況下每次僅有一條腿抬起向前邁步，另外三條腿支撐機(jī)器人身體前進(jìn)，機(jī)器人不存在四足支撐軀體移動調(diào)整的過程，共有6種邁步次序，本文采用邁步次序?yàn)?-4-2-3的步態(tài)，已有研究成果表明該邁步順序穩(wěn)定性最好[12]。

機(jī)器人構(gòu)型如圖1所示，機(jī)器人包含4條腿，每條腿具有3個(gè)關(guān)節(jié)，分別為根關(guān)節(jié)(偏航自由度)、髖關(guān)節(jié)(俯仰自由度)和膝關(guān)節(jié)(俯仰自由度)。

圖1 四足機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Structure of the quadruped robot

定義如下幾個(gè)坐標(biāo)系(如圖1所示)：機(jī)體坐標(biāo)系{B}固連于機(jī)器人身體，原點(diǎn)位于機(jī)器人身體中心，x軸指向機(jī)器人右方，y軸指向機(jī)器人正前方，z軸垂直于身體向上；軌跡規(guī)劃坐標(biāo)系{O}原點(diǎn)位于機(jī)器人身體中心在地面的投影點(diǎn)，y軸為機(jī)體坐標(biāo)系的y軸在水平面的投影方向，z軸垂直向上，x軸方向滿足右手坐標(biāo)系法則。

2 機(jī)身運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法

本節(jié)采用一種基于ZMP穩(wěn)定性理論的機(jī)身運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法，利用當(dāng)前足端位置和下一步的落足點(diǎn)，生成機(jī)身運(yùn)動軌跡，其主要思想如下：針對給定的下一步落足點(diǎn)和支撐多邊形，規(guī)劃一條機(jī)身運(yùn)動軌跡，保證機(jī)身軌跡連續(xù)平滑的同時(shí)，確保機(jī)器人在邁步過程中的穩(wěn)定性。

本節(jié)后續(xù)推導(dǎo)如無特別說明均在軌跡規(guī)劃坐標(biāo)系{O}下進(jìn)行，假設(shè)機(jī)身在y軸方向運(yùn)動軌跡由n段分段函數(shù)描述，每段軌跡可用如下一個(gè)5次多項(xiàng)式表示：

hi·lyi(i=1,2,…,n)(1)

式中：ybi(t)表示機(jī)器人第i條重心軌跡;ai～fi為第i條重心軌跡多項(xiàng)式系數(shù)，即為待優(yōu)化參數(shù);ti為第i段軌跡內(nèi)的時(shí)間變量，

lyi=[aibicidieifi]T

優(yōu)化過程的目標(biāo)函數(shù)取為重心軌跡的加速度平方和[13]，每一段的目標(biāo)函數(shù)為：

(2)

其中T為每一段軌跡的持續(xù)時(shí)間，

最終的目標(biāo)函數(shù)為每一段曲線目標(biāo)函數(shù)的和，因此可統(tǒng)一為待優(yōu)化參數(shù)的二次型形式：

(3)

為了建立ZMP穩(wěn)定性約束，考慮如下經(jīng)典的近似ZMP模型[14]：

(5)

基于ZMP穩(wěn)定性理論，在邁步過程中ZMP必須一直保持在機(jī)器人支撐區(qū)域內(nèi)，為了保證一定的穩(wěn)定裕度，支撐區(qū)域需要進(jìn)行一定的收縮處理，此處可通過判斷機(jī)器人ZMP與支撐三角形前后邊的位置來判定機(jī)器人的步態(tài)穩(wěn)定性。對于式(1)給出的重心運(yùn)動軌跡，可根據(jù)式(4)求出相應(yīng)的ZMP軌跡，設(shè)支撐區(qū)域可由3個(gè)支撐足端連線組成的三角形描述，在此對機(jī)器人的四條腿重新編號，令與擺動腿同側(cè)的足端在坐標(biāo)系{O}中的坐標(biāo)為pa(xa,ya)，擺動腿對側(cè)的前足和后足坐標(biāo)分別為pb(xb,yb)，pc(xc,yc)，如圖2所示。以支撐三角形區(qū)域前進(jìn)方向的邊papb為例，ZMP穩(wěn)定性約束可描述為：

(6)

式(6)可寫為：

r1xZMP+r2yZMP+r3>0(7)

其中xZMP和yZMP為機(jī)器人ZMP坐標(biāo)，

r1=yb-ya

r2=xa-xb

r3=(xb-xa)ya-(yb-ya)xa

將ZMP模型帶入式(6)，可將其改寫為如下關(guān)于待優(yōu)化參數(shù)的非線性不等式形式：

AiLi>-r3(8)

圖2 支撐區(qū)域示意Fig.2 Support area in the ground reference frame

注1：對于其他多足機(jī)器人，步行過程中的穩(wěn)定支持區(qū)域不一定為三角形，而是由除邁步腿外的立足點(diǎn)圍成的多邊形區(qū)域，此時(shí)同樣可由式(6)形式的不等式描述步態(tài)穩(wěn)定性約束條件。

為確保在邁步過程中，ZMP一直保持在機(jī)器人支撐區(qū)域內(nèi)，將ZMP軌跡離散化，采樣周期取為10 ms，每個(gè)時(shí)刻都必須滿足上述穩(wěn)定性約束。因此機(jī)身運(yùn)動軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)為二次型形式，約束為線性約束的二次規(guī)劃問題，本文采用內(nèi)點(diǎn)法(Interior Point Method)求解[15]，其基本思想是從可行域內(nèi)一初始點(diǎn)出發(fā)，沿著可行方向，找出使目標(biāo)函數(shù)下降的下一個(gè)點(diǎn)，保持每一個(gè)迭代點(diǎn)是可行域的內(nèi)點(diǎn)，當(dāng)?shù)c(diǎn)靠近邊界時(shí)，目標(biāo)函數(shù)驟然增大，阻止迭代點(diǎn)穿越邊界。優(yōu)化過程的輸入變量為當(dāng)前機(jī)器人足端位置和下一邁步腿的落足點(diǎn)位置，優(yōu)化過程的輸出為機(jī)身運(yùn)動軌跡。

本文機(jī)器人采用連續(xù)慢走步態(tài)，行走過程中支撐區(qū)域不連續(xù)，基于本節(jié)提出的機(jī)身運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法，依舊可以生成一條穩(wěn)定的機(jī)身運(yùn)動軌跡，原因在于通過利用機(jī)器人重心加速度的跳變，可實(shí)現(xiàn)機(jī)器人重心軌跡連續(xù)的同時(shí)，ZMP軌跡發(fā)生跳變，由上一個(gè)穩(wěn)定支撐區(qū)域跳變到下一個(gè)穩(wěn)定支撐區(qū)域，如圖3所示，圖中虛線圍成的三角形表示當(dāng)前穩(wěn)定支撐區(qū)域，實(shí)線圍成的三角形表示下一步穩(wěn)定支撐區(qū)域，空心圓形表示機(jī)器人重心，實(shí)心菱形表示機(jī)器人ZMP。

圖3 機(jī)器人重心與ZMP軌跡示意Fig.3 Center of gravity and ZMP trajectoriesof the robot

3 周期性步態(tài)優(yōu)化方法

利用第2節(jié)提出的機(jī)身運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法，結(jié)合擺動腿軌跡，提出一種周期性步態(tài)優(yōu)化方法。一個(gè)完整的步態(tài)周期由4個(gè)邁步周期組成，為簡化優(yōu)化問題，可令每個(gè)邁步周期的擺動腿軌跡相同。假設(shè)擺動腿足端軌跡在機(jī)身坐標(biāo)系內(nèi)采用貝塞爾曲線形式描述，y方向軌跡方程為：

(9)

式中：M為正整數(shù)；s=t/tw，t∈[0,tw]為每一步的時(shí)間變量，tw為擺動相時(shí)間。擺動腿足端在z方向軌跡同樣可用一個(gè)上述形式的貝塞爾曲線描述，進(jìn)而可根據(jù)逆運(yùn)動學(xué)方程求解出各個(gè)關(guān)節(jié)軌跡[16-18]。對于連續(xù)慢走步態(tài)，當(dāng)步態(tài)周期和步長確定后，可以計(jì)算出每一邁步過程中的足端位置和下一步的落足點(diǎn)，因此機(jī)器人重心運(yùn)動軌跡可根據(jù)第2節(jié)提出的機(jī)身軌跡規(guī)劃方法求得。

本文提出的周期性步態(tài)優(yōu)化方法的待優(yōu)化參數(shù)可用如下一個(gè)向量描述：

目標(biāo)函數(shù)選取為前進(jìn)單位距離的關(guān)節(jié)能耗，關(guān)節(jié)能耗為4條腿3個(gè)關(guān)節(jié)在整個(gè)步態(tài)周期內(nèi)的能耗之和[19]，計(jì)算如下：

為保證機(jī)器人形成周期性平穩(wěn)步態(tài)，優(yōu)化過程需滿足如下約束條件：

1)穩(wěn)定性約束，穩(wěn)定性約束可在第2節(jié)提出的機(jī)身運(yùn)動軌跡優(yōu)化方法上改進(jìn)得到，當(dāng)步態(tài)參數(shù)確定后，整個(gè)步態(tài)周期內(nèi)的4個(gè)邁步落足點(diǎn)就可以確定，對于每個(gè)邁腿階段，可根據(jù)第2節(jié)提出的機(jī)身運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法生成一條穩(wěn)定的機(jī)身運(yùn)動軌跡。由于機(jī)身運(yùn)動軌跡優(yōu)化方法是一個(gè)凸二次規(guī)劃問題，采用內(nèi)點(diǎn)法可快速求解，因此該約束條件是可現(xiàn)實(shí)的。若機(jī)身軌跡優(yōu)化方法無解，則表明在該步態(tài)參數(shù)下無法生成一條穩(wěn)定的機(jī)身運(yùn)動軌跡。

2)周期性約束，機(jī)器人的步態(tài)具有連續(xù)性和周期性，前一邁步周期的機(jī)器人運(yùn)動軌跡的位置、速度和加速度終值與下一邁步周期的初值相同，此約束可表示為關(guān)于待優(yōu)化參數(shù)向量的線性等式。

3)步行速度約束，每個(gè)步態(tài)周期仿真完成后，需要校驗(yàn)機(jī)器人整個(gè)步態(tài)周期內(nèi)的平均前進(jìn)速度，不小于最小前進(jìn)速度:

(11)

式中：v為機(jī)器人實(shí)際前進(jìn)速度；vmin為最小前進(jìn)速度。

4)足端工作空間約束，足端軌跡應(yīng)在機(jī)器人的足端工作空間內(nèi)，并且滿足一定的越障高度，即由步態(tài)參數(shù)生成的擺動腿軌跡的最大抬腿高度不小于事先設(shè)定的安全高度。

基于上述分析可知，周期性步態(tài)優(yōu)化問題是一個(gè)約束非線性優(yōu)化問題，可采用信賴域方法[20]進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)估計(jì)，它是一種求解非線性優(yōu)化問題的有效方法，具有較強(qiáng)的收斂性。

4 四足機(jī)器人仿真

在ADAMS中搭建四足機(jī)器人虛擬樣機(jī)，如圖4所示，采用ADAMS和SIMULINK聯(lián)合仿真技術(shù)進(jìn)行虛擬樣機(jī)仿真。機(jī)器人總質(zhì)量200 kg，大腿長度0.4 m，小腿長度0.3 m。

圖4 四足機(jī)器人ADAMS模型Fig.4 Model of the quadruped robot in ADAMS

首先根據(jù)以往的研究和仿真經(jīng)驗(yàn)選取一組合適的步態(tài)參數(shù)作為優(yōu)化程序的初值。根據(jù)機(jī)器人足端工作空間的活動范圍，綜合越障高度、最長跨距和身體調(diào)整范圍等指標(biāo)，選取機(jī)器人初始步態(tài)參數(shù)如下：行走高度0.7 m、步長0.4 m、步態(tài)周期2 s，參考四足機(jī)器人步態(tài)研究中常用的復(fù)合擺線形式足端軌跡[21]，選取貝塞爾曲線的參數(shù)使得擺動腿足段軌跡與復(fù)合擺線近似。

將上述步態(tài)參數(shù)作為優(yōu)化程序的初值進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果見表1，優(yōu)化后機(jī)器人前進(jìn)單位距離能耗降低了約14%。

圖5為經(jīng)過優(yōu)化后的一個(gè)步態(tài)周期內(nèi)機(jī)身前進(jìn)方向運(yùn)動軌跡曲線，圖6為擺動腿足端軌跡曲線。圖5中點(diǎn)線為機(jī)器人ZMP軌跡，實(shí)線為機(jī)器人重心軌跡，點(diǎn)劃線為前穩(wěn)定區(qū)域的邊界，虛線為后穩(wěn)定區(qū)域的邊界；前后穩(wěn)定區(qū)域邊界內(nèi)的部分表示穩(wěn)定支撐區(qū)域。機(jī)器人邁步順序?yàn)?-4-2-3，在0.65 s時(shí)機(jī)器人由邁腿1切換至邁腿4，此時(shí)穩(wěn)定支撐區(qū)域由腿2、腿3、腿4組成的后三角區(qū)域轉(zhuǎn)換成由腿1、腿2、腿3組成的前三角區(qū)域，由于設(shè)定穩(wěn)定裕度為0.02 m，因此在0.65 s前后機(jī)器人的穩(wěn)定支持區(qū)域發(fā)生跳變且互相不接觸，因此機(jī)器人ZMP軌跡發(fā)生跳變，保證ZMP一直在穩(wěn)定支撐區(qū)域內(nèi)。同理在1.95 s時(shí)機(jī)器人由邁腿2切換至邁腿3，機(jī)器人的穩(wěn)定支持區(qū)域發(fā)生跳變。在1.3 s時(shí)，機(jī)器人由邁腿4切換至邁機(jī)身同側(cè)的腿2，此時(shí)邁腿2前后的穩(wěn)定支持區(qū)域相交，機(jī)器人ZMP軌跡保持連續(xù)。由重心軌跡可以看出，機(jī)器人在一個(gè)步態(tài)周期內(nèi)重心前進(jìn)距離為0.6 m，與E/β相等，表明步態(tài)具有周期性。

表1 步態(tài)優(yōu)化結(jié)果

圖5 機(jī)器人重心與ZMP軌跡Fig.5 Center of gravity and ZMP trajectoriesof the robot

圖6 擺動腿足端軌跡Fig.6 Support area in the ground reference frame

采用優(yōu)化后的步態(tài)參數(shù)進(jìn)行虛擬樣機(jī)仿真，仿真時(shí)間設(shè)為10 s，第1 s為起始步態(tài)，機(jī)器人原地調(diào)整至周期性步態(tài)的初始狀態(tài)，之后采取周期性步態(tài)前進(jìn)。機(jī)器人在前進(jìn)方向的位移與速度曲線如圖7所示，機(jī)身俯仰角和滾轉(zhuǎn)角曲線如圖8所示，俯仰角和滾轉(zhuǎn)角波動均在1°以內(nèi)，可知，采用優(yōu)化后的步態(tài)參數(shù)，機(jī)器人能平穩(wěn)前進(jìn)。

圖7 機(jī)器人前進(jìn)方向位移和速度Fig.7 Robot forward position and velocity

圖8 機(jī)身俯仰角和滾轉(zhuǎn)角Fig.8 Body pitch and roll angle

5 結(jié)束語

本文研究了一種多足機(jī)器人周期性步態(tài)優(yōu)化方法，采用機(jī)器人前進(jìn)單位距離的能耗作為性能指標(biāo)，以四足機(jī)器人為例，建立四足機(jī)器人虛擬樣機(jī)模型作為步態(tài)優(yōu)化模型，對步態(tài)參數(shù)、擺動腿足端軌跡和機(jī)身運(yùn)動軌跡同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)采用一種基于ZMP穩(wěn)定性理論的機(jī)身運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法保證優(yōu)化過程中機(jī)器人的穩(wěn)定性，最后仿真結(jié)果驗(yàn)證了步態(tài)優(yōu)化方法的有效性。

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