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(廣州市第四中學(xué),廣東 廣州 510170)

1 教學(xué)背景

不久前，筆者上了一節(jié)失敗的高三專題復(fù)習(xí)課．為什么說這節(jié)課是失敗的呢？這是怎樣的一節(jié)課呢？從選題，到備課，到上課，有哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)呢？針對(duì)這節(jié)課，筆者進(jìn)行了反思，以供大家探討，希望對(duì)高三的復(fù)習(xí)備考有借鑒價(jià)值．

當(dāng)時(shí)教學(xué)進(jìn)程已進(jìn)入了高考第二輪專題復(fù)習(xí)，在幾次周測(cè)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在遇到復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的選擇題時(shí)，正確率特別低.而復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題又是一個(gè)熱門考點(diǎn)，在各地的模擬考中出現(xiàn)的頻率較高，因此，有必要教會(huì)學(xué)生復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的一般解題方法．

復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的一般解題方法是：換元法、圖像法．雖然這類題目綜合程度較高，解題方法步驟繁瑣，容易出錯(cuò)，但是解題原理并不難，解題方法步驟也比較固定.筆者所任教班級(jí)是重點(diǎn)班，學(xué)生思維活躍，具備通過學(xué)習(xí)掌握這種方法的基礎(chǔ)．

復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題，涉及到函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、極限、零點(diǎn)、不等式等知識(shí)點(diǎn)，蘊(yùn)含了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，具有較高的教學(xué)價(jià)值．

基于上述原因，筆者確定了以“復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題”作為公開課的主題．

2 設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課是一節(jié)解題課，教學(xué)基本程序有3個(gè)階段：解題方法的習(xí)得、解題方法的轉(zhuǎn)化、解題方法的遷移與應(yīng)用[1]．具體的教學(xué)環(huán)節(jié)如下：

環(huán)節(jié)1解題方法的習(xí)得.

1)嘗試做題、展示交流.

師生活動(dòng)學(xué)生嘗試做例題．幾名學(xué)生展示自己的思路，師生進(jìn)行交流．

設(shè)計(jì)說明讓學(xué)生思考，形成初步的解題思路，并進(jìn)行展示交流，暴露問題，分析各種解題思路的可行性．

2)方法講解.

師生活動(dòng)教師分析例題，講解解題方法與步驟．

設(shè)計(jì)說明教師講解的關(guān)鍵：揭示問題的本質(zhì)，將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行求解．

環(huán)節(jié)2解題方法的轉(zhuǎn)化——模仿例題、運(yùn)用方法.

師生活動(dòng)學(xué)生做練習(xí)，教師巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，作針對(duì)性講解．

設(shè)計(jì)說明教師針對(duì)講解時(shí)，要注意兩個(gè)問題：1)題目的等價(jià)轉(zhuǎn)化；2)換元法、圖像法的細(xì)節(jié)．

環(huán)節(jié)3解題方法的遷移與應(yīng)用.

1)變式訓(xùn)練、形成技能.

師生活動(dòng)學(xué)生做余下的練習(xí)，教師巡視，針對(duì)學(xué)生的做題情況進(jìn)行講解．

設(shè)計(jì)說明通過變式練習(xí)，最終達(dá)到學(xué)生深刻理解解題原理、熟練運(yùn)用方法、形成解題技能的目的．

2)方法總結(jié).

師生活動(dòng)教師總結(jié)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題的一般解題方法與步驟．

設(shè)計(jì)說明總結(jié)方法，點(diǎn)出此類題涉及到的數(shù)學(xué)思想．

3 學(xué)案選題

這節(jié)課筆者選取了6個(gè)題目：1個(gè)例題，5個(gè)練習(xí)題．打算先通過一個(gè)例題講解解題方法，再通過練習(xí)鞏固解題方法．為了方便說明問題，下面給出例題的詳解．

( )

表1 f ′(x)和f(x)的取值情況

易知當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→0+．

圖1

圖2

即

t2-λt+2=0．

圖3

4 教學(xué)情況

在展示交流環(huán)節(jié)，原來設(shè)想的激烈的思維碰撞場(chǎng)面并未出現(xiàn)．有思路的幾個(gè)學(xué)生頻頻發(fā)言，但解題方向不明，而余下的學(xué)生成了沉默的大多數(shù)．筆者首先針對(duì)學(xué)生現(xiàn)有的解題思路，進(jìn)行分析點(diǎn)評(píng)，指出其錯(cuò)誤或不當(dāng)之處，這已經(jīng)花費(fèi)了好些時(shí)間，然后再對(duì)題目進(jìn)行詳細(xì)分析、講解．

本題的解題思路分析如下：

第1步，換元，原問題等價(jià)于

有4個(gè)實(shí)根x1,x2,x3,x4．

第3步，關(guān)于t的方程t2-λt+2=0可能有多少個(gè)根？(由圖2可知：可能有0,1,2個(gè)根.)

第5步，畫圖、列式、解決問題．

完成例題的講解后，筆者讓學(xué)生做練習(xí)，發(fā)現(xiàn)仍有相當(dāng)多的學(xué)生不能將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化而陷入困境．筆者只能逐題講解，整節(jié)課成了教師的獨(dú)角戲，學(xué)生思維參與度較低，原來設(shè)計(jì)的練習(xí)題也沒有做完，教學(xué)任務(wù)沒有完成．

5 教學(xué)反思

一節(jié)課的失敗是由多個(gè)因素造成的，本節(jié)課失敗的原因主要有以下兩個(gè)方面：

1)例題選取不當(dāng)[2]．例題難度過大，前面缺少必要的容易題作鋪墊，學(xué)生入手困難．

②原問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，是學(xué)生難以理解和接受的．學(xué)生習(xí)慣于從字面上理解題目，考慮的是“方程的解”的問題，不能將題目轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的零點(diǎn)”“兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)”問題，缺乏數(shù)形結(jié)合思想．而且，本題要將原問題轉(zhuǎn)化為兩組函數(shù)的對(duì)應(yīng)交點(diǎn)問題，這是本題最難的地方．

即

圖4

從上述解法可以看出，本題綜合程度較高，存在多種解法，且每一種解法都不容易理解．對(duì)于多數(shù)學(xué)生來說，幾種解題思路在頭腦中糾纏，學(xué)生陷入困境，不知所措．

2)對(duì)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)理解不到位．講解例題時(shí)，側(cè)重于解題技巧，忽視了數(shù)學(xué)思想．

①本題涉及到較多的概念，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行概念的二次教學(xué)，提煉概念蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想[3]．例如，復(fù)合函數(shù)的相關(guān)概念與換元法，涉及到“函數(shù)(對(duì)應(yīng))思想”．筆者在講授時(shí)，缺乏對(duì)復(fù)合函數(shù)必要的復(fù)習(xí)回顧，也沒有提煉其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想．

②復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題，本質(zhì)上是在考查數(shù)形結(jié)合思想．方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，這三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系需要進(jìn)行梳理．筆者在講授時(shí)，未明確指出這三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想強(qiáng)調(diào)不夠．

6 改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)

根據(jù)上述反思剖析，筆者將教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了改進(jìn)，改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

6.1 復(fù)習(xí)引入

1)什么叫復(fù)合函數(shù)？

2)f(x)=e2x-2ex-3可以看成哪幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成？

設(shè)計(jì)說明復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的有關(guān)概念，幫助學(xué)生回憶解題要用到的有關(guān)知識(shí)．在點(diǎn)評(píng)引入3)時(shí)，注意兩點(diǎn)：第一，要強(qiáng)調(diào)“對(duì)應(yīng)”：t2-2t-3=0有兩個(gè)解t1=3，t2=-1,一個(gè)t對(duì)應(yīng)一個(gè)x，另一個(gè)t找不到對(duì)應(yīng)的x(即ex1=3有解x1=ln 3，ex2=-1無解)．第二，要有意識(shí)地用圖像來進(jìn)行說明，強(qiáng)調(diào)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)這三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”(如圖5和圖6).

圖5 圖6

6.2 例題講解

例2關(guān)于x的方程t=-x3+3x+2恰有3個(gè)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

例3關(guān)于x的方程t=|-x3+3x+2|恰有4個(gè)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

例5同例1.

設(shè)計(jì)說明1)在例5的前面設(shè)置3個(gè)例題，每個(gè)例題有各自的目的：例2是學(xué)生熟悉的三次函數(shù)，圖像簡單，題型常規(guī)，起點(diǎn)低，入手快；例3在三次函數(shù)的基礎(chǔ)上，加一個(gè)絕對(duì)值，繼續(xù)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，承上啟下；例4需要畫兩組函數(shù)的圖像，分析交點(diǎn)情況，為例5的解決作準(zhǔn)備．這樣，4個(gè)例題層層深入，難度遞進(jìn)，前一題為后一題作鋪墊，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性．

2)例5(原例1)的講解，可以進(jìn)一步優(yōu)化如下：

⑧如圖3，由零點(diǎn)定理有

6.3 課堂練習(xí)

( )

答案：C.

2)已知函數(shù)f(x)=|x·ex|，g(x)=f2(x)+λf(x)，若方程g(x)=-1有且僅有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是______．

( )

答案:C.

( )

答案:C.

5)已知函數(shù)f(x)=|sinx|(其中x∈[-π,π])，g(x)=x-2sinx(其中x∈[-π,π])，設(shè)方程f(f(x))=0，f(g(x))=0，g(g(x))=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為分別為m,n,t，則m+n+t=

( )

A．9 B．13 C．17 D．21

答案:B.

專題復(fù)習(xí)，不是隨隨便便選幾個(gè)題組合在一起就構(gòu)成一個(gè)復(fù)習(xí)專題，而要進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，內(nèi)容不能過難或過易，要有梯度，層層遞進(jìn)．專題復(fù)習(xí)的講解，不是就題論題，不是講解題技巧，而要側(cè)重于滲透數(shù)學(xué)思想方法．波利亞曾說過，完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是解題的指導(dǎo)思想和基本策略，在教學(xué)中要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，這對(duì)于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、發(fā)展創(chuàng)造能力大有裨益．

參考文獻(xiàn)

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