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(源清中學(xué)，浙江 杭州 310015)

2018年1月下旬，浙江大地的一場(chǎng)大雪與“2017學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)”不期而遇，大雪給杭州的考生增添了一絲寒意.好在數(shù)學(xué)試卷難度適中，多道考題透出新意，考后也值得回味，讓考生感覺(jué)困難并愉悅著.這樣的考題猶如雪中的梅花，寒風(fēng)中透出的暗香，讓人不忍離去.以下僅就其中的一道題為例加以賞析.

(2017學(xué)年第一學(xué)期浙江省杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷第17題)

題目簡(jiǎn)潔明了，求解內(nèi)容也有別于常見(jiàn)的求平面向量的模或求平面向量數(shù)量積的問(wèn)題，看到題目讓人感覺(jué)耳目一新.考后筆者進(jìn)一步品味、聯(lián)想，感覺(jué)很有價(jià)值，與大家分享.

思路1直接入手很自然，再考慮相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性.

解法1記f(λ)=λ+|a|,則

即當(dāng)λ∈(-∞,0)時(shí)，f(λ)∈(-1,2),故λ+|a|的取值范圍是(-1,2).

評(píng)注函數(shù)的取值范圍(或最值或值域)問(wèn)題，總是先考慮此函數(shù)的單調(diào)性，而導(dǎo)數(shù)正是解決函數(shù)單調(diào)性的有力工具.

思路2從向量的坐標(biāo)形式也很容易入手.

以下同解法1.

評(píng)注在平面圖形中，若線段長(zhǎng)為定值或角度已知，則往往建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行分析，此情形下，向量的坐標(biāo)形式就能發(fā)揮作用.

圖1

思路3向量的幾何背景往往令人耳目一新.

解法3如圖1，顯然，當(dāng)λ=-2時(shí)，

|a|=|λ|=2；

當(dāng)λ∈(-2,0)時(shí)，

λ+|a|∈(0,2);

當(dāng)λ∈(-∞,-2)時(shí)，

|a|<|λ|,

從而

|OA|<|OM|,

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OM于點(diǎn)D，則

|DM|=1， |OA|>|OD|,

以O(shè)為圓心、OA為半徑的圓交DM于點(diǎn)E，此時(shí)

λ+|a|=|a|-|λ|=-|EM|∈(-1,0),

故

λ+|a|∈(-1,2).

評(píng)注向量是幾何與代數(shù)的交匯區(qū)，向量的運(yùn)算有著濃厚的幾何背景，數(shù)形結(jié)合的思想在平面向量中得到最充分的體現(xiàn)[1]，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會(huì).在解決向量問(wèn)題時(shí)，首先想到的是它的幾何意義.

思路4在△AOM中，|AM|=2，另兩邊可以通過(guò)一個(gè)變量進(jìn)行表示，這是三角的優(yōu)勢(shì).

圖2

于是

于是

λ+|a|∈(-1,2).

思路5函數(shù)問(wèn)題的三角代換往往很有效.

由λ2+2λ+4=(λ+1)2+3≥3,可設(shè)

則

當(dāng)λ+1>0,即-1<λ<0時(shí)，

當(dāng)λ+1<0,即λ<-1時(shí)，

從而

即

綜上所述，當(dāng)λ<0時(shí)，λ+|a|∈(-1,2).

評(píng)注三角代換主要是利用豐富的三角公式，將相對(duì)比較復(fù)雜的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為容易處理的三角式，通過(guò)有界性達(dá)到求取值范圍的目的.對(duì)于雙變量的問(wèn)題，三角代換的效果往往較好.

思路6雙變量問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為圓錐曲線考慮.

t2-(λ+1)2=3,

即

上述方程所表示的曲線C是雙曲線右支的一部分(如圖3)，此時(shí)z=λ+t，即斜率為-1、λ軸上的截距為z的直線l[2]，直線l與上述曲線C有公共點(diǎn)時(shí)，l需介于兩平行線l1與l2之間，故

-1

即

λ+|a|∈(-1,2).

圖3 圖4

思路7根式與距離“有緣”.

|AM|-|OM|.

在△OAM中，

|AM|-|OM|<|OA|=2,

記點(diǎn)A在x軸上的投影為點(diǎn)B，則當(dāng)λ→-∞時(shí)，|MB|→|MA|,從而

|AM|-|OM|= |AM|-(|MB|+|BO|)>

-|BO|=-1,

故

評(píng)注根式、絕對(duì)值有明確的幾何意義，在代數(shù)問(wèn)題中聯(lián)想幾何意義，其解法真可謂是賞心悅目.

思路8向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式可以巧妙運(yùn)用.

圖5

z=m·n-1,

注意到

易得m·n∈(0,3),從而

z=m·n-1∈(-1,2),

即

λ+|a|∈(-1,2).

思路9換一個(gè)角度，變量換位更巧妙.

則

即

由λ<0,得

-1

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊知z<-2不符，應(yīng)舍去.故λ+|a|∈(-1,2).

評(píng)注在雙變量或多變量問(wèn)題中，當(dāng)直接入手有困難時(shí)，轉(zhuǎn)換角度、變量換位是一種很好的方法，可能會(huì)給我們帶來(lái)驚喜.

此題變量多，有一定的思維要求，學(xué)生感覺(jué)不容易處理.如果我們能展開(kāi)聯(lián)想，打開(kāi)思路，多進(jìn)行嘗試，那么就會(huì)得到不小的收獲.

解法1記a2+b2=r2，試一試三角代換，令

其中θ∈R.由已知，關(guān)于x的方程

有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程

有實(shí)數(shù)解，得

故

即

從而

于是

即

解法2由題意可知關(guān)于x的方程

有實(shí)數(shù)解.

試一試變量換位，聯(lián)想雙變量的轉(zhuǎn)化策略，上述方程可看作是以(a,b)為坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系aOb中的直線方程，而a2+b2則是此直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方.由點(diǎn)到直線的距離公式，得

以下同解法1.

結(jié)束語(yǔ)一道測(cè)試題，內(nèi)容可以涉及到現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合最充分的函數(shù)、三角、平面向量、解析幾何等內(nèi)容，其豐富多彩的思維角度和解題方法，給考生以寬闊的意境空間，體現(xiàn)了該題深厚的內(nèi)涵，如此具有匠心的設(shè)計(jì)，不得不讓我們對(duì)命題者肅然起敬.高三學(xué)習(xí)是辛苦的，優(yōu)質(zhì)的試卷和試題，通過(guò)教師的思維引導(dǎo)和解法展示，資源得到了充分利用，可以減少學(xué)生的疲勞感，既能達(dá)到訓(xùn)練的目的，又可以適度減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，更能對(duì)學(xué)生的心理疏導(dǎo)起著良好的作用.這樣的好題不禁讓我們想起了嚴(yán)寒雪天中的梅花，真所謂“雪中梅花暗香來(lái)”??！

參考文獻(xiàn)

[1] 曹鳳山.一個(gè)向量模 年年高考題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(12)：43-46.

[2] 孔勝濤.讓解題思路因聯(lián)想而“自然”——一道高考題的解法探究與拓展[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2018(1)：14-16.