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(正始中學(xué),浙江 寧波 315131) (寧波市教育局教研室,浙江 寧波 315000)

筆者在教學(xué)三次函數(shù)圖像與性質(zhì)時，想到如下問題：不單調(diào)的三次函數(shù)分別以兩個極值點為切點作切線與三次函數(shù)圖像有兩個交點，以這兩個交點為對角線構(gòu)成的矩形與三次函數(shù)圖像有什么關(guān)系?為了說明簡便，令三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d，由于對a>0與a<0的兩種情況研究方式類似，因此本文只研究a>0的情形．

圖1

1 預(yù)備知識

1.1 定義矩形

當三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a>0)在R上不單調(diào)時，f′(x)=3ax2+2bx+c的判別式Δ=4(b2-3ac)>0，導(dǎo)函數(shù)有兩個不相等的零點x1,x2(其中x10)的矩形．

1.2 簡化形式

對三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a>0)進行配方，得

g(x)=ax3-c0x.

2 探究矩形的一些結(jié)論

定理1不單調(diào)的三次函數(shù)過兩個極值點分別作切線與三次函數(shù)圖像有兩個交點，以這兩個交點連接線段為對角線構(gòu)成矩形，則兩個極值點分別是這個矩形邊上的四等分點．

圖2

證明令三次函數(shù)g(x)=ax3-c0x(其中a>0,c0>0)．由

g′(x)= 3ax2-c0=

知

因為函數(shù)f(x)可由函數(shù)g(x)平移得到，所以兩個函數(shù)的矩形大小相同，且對應(yīng)點之間的比例關(guān)

系不變，于是

1)在不單調(diào)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a>0)中，由圖2知xA,xM,xO,xN,xC成等差數(shù)列，令等差數(shù)列的公差為H，根據(jù)定理1易得

2)設(shè)不單調(diào)三次函數(shù)的中心坐標為P(x0,f(x0))，則f(x0-d)=f(x0+2d)均等于極大值，f(x0+d)=f(x0-2d)均等于極小值．

圖3

推論1已知不單調(diào)的三次函數(shù)g(x)=ax3-c0x，如圖3所示，過曲線上兩個點M,N分別作切線與三次函數(shù)圖像交于點A,C，且CM∥AN;過點A,C作豎線交切線于點B,D構(gòu)成ABCD，則兩個切點M,N分別是這個平行四邊形邊上的四等分點．

證明函數(shù)g(x)=ax3-c0x(其中a>0,c0>0)的圖像如圖3所示，則

g′(x)=3ax2-c0.

與g(x)=ax3-c0x聯(lián)立，得

解得x=x0或x=-2x0，即xC=-2x0.由對稱性可得xD=xA=2x0,易得M為DC的四等分點．又由對稱性可知N為AB的四等分點，故兩個切點M,N分別是這個平行四邊形邊上的四等分點．

推論2如果不單調(diào)的三次函數(shù)為g(x)=ax3-c0x，那么參數(shù)c0決定矩形的形狀(即水平的長與垂直的寬之比)．

矩形的水平邊長與垂直邊長之比為

圖4

3 c0取特殊值時的幾個結(jié)論

1)當c0=3時，“一個矩形”是正方形；

利用不單調(diào)的三次函數(shù)圖像中矩形的性質(zhì)定理和推論不難證明以上結(jié)論，具體請讀者自行完成證明．

4 應(yīng)用舉例

例1已知函數(shù)f(x)=x3+(m+2)x2+(2m+1)x(其中m∈R),設(shè)函數(shù)f(x)除0外還有兩個不同的零點x1，x2(其中x1x2≠0，且x1f(-4)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

解由題意得

f(x)=x·[x2+(m+2)x+(2m+1)]，

可知x1,x2是方程x2+(m+2)x+(2m+1)=0的兩個不相等的非零根，于是

Δ=(m+2)2-4(2m+1)>0，

1)當m>4時，

從而

x1

綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是

例2如圖5，已知函數(shù)f(x)=x3-mx，直線l1∥l2，l1與函數(shù)f(x)的圖像切于點A,交于點B;l2與函數(shù)f(x)的圖像切于點C,交于點D,若四邊形ABCD為正方形，求m的值．

圖5 圖6

即

例3設(shè)與x軸平行的兩條直線l1,l2與函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖像各恰有兩個公共點.證明：以這4個點為頂點的四邊形為菱形的充要條件是這個四邊形的面積為6.

(2015年保加利亞國際高中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖7 圖8

證明平移函數(shù)圖像，使得AC的中點為原點(如圖7)，構(gòu)成新的函數(shù)

構(gòu)建三次函數(shù)矩形(如圖8)．

必要性：由推論2可得

又由三次不單調(diào)函數(shù)圖像中矩形的性質(zhì)定理可得A為BE的四等分點，則

已知四邊形ABCD為菱形，從而

解得

即

解得

則

從而

充分性：已知S四邊形ABCD=6，則

即

解得

此時

即kBD·kAC=-1，故四邊形ABCD為菱形．

綜上所述，以這4個點為頂點的四邊形為菱形的充要條件是這個四邊形的面積為6．

從上面問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決的過程之中能充分感受到數(shù)學(xué)的簡約美、嚴謹美、對稱美與和諧美[1]．

參考文獻

[1] 任偉芳.歷經(jīng)三重境界探究橢圓性質(zhì)的一個案例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(10)：23-26．