康亞明，賈 延，羅玉財(cái)

(1:北方民族大學(xué) 化學(xué)與化學(xué)工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021; 2: 北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

抗壓強(qiáng)度是混凝土的最基本性能指標(biāo)，我國規(guī)范中常用軸心和立方體這兩個(gè)抗壓強(qiáng)度指標(biāo)是用不同形狀試件測得的，在數(shù)值上立方體抗壓強(qiáng)度略大于軸心抗壓強(qiáng)度，規(guī)范也給出了詳細(xì)的換算系數(shù)，該系數(shù)實(shí)際上是強(qiáng)度形狀效應(yīng)的校正[1-2].

形狀效應(yīng)是巖石或混凝土等脆性材料強(qiáng)度測試中的一個(gè)基本問題，已有的研究成果多集中在模型試驗(yàn)和數(shù)值模擬，得出的結(jié)論多為定性的描述.文獻(xiàn)[3]對不同形狀的混凝土試件單軸壓縮強(qiáng)度進(jìn)行了系統(tǒng)的試驗(yàn)研究，結(jié)果高寬比大于某一值時(shí)可基本消除端面約束的影響，也即形狀效應(yīng)隨高寬比的增大而減弱.文獻(xiàn)[4-6]認(rèn)為形狀效應(yīng)與試驗(yàn)機(jī)壓頭和試件受壓面之間的摩擦力有直接關(guān)系.文獻(xiàn)[7-13]基于有限元分析了混凝土強(qiáng)度的形狀效應(yīng).文獻(xiàn)[14-15]對巖石的形狀效應(yīng)進(jìn)行了三維數(shù)值模擬，顯示強(qiáng)度隨高寬比的增大而減小，高寬比大于2.5時(shí)趨于穩(wěn)定.以上研究代表了目前巖石或混凝土強(qiáng)度形狀效應(yīng)研究的基本現(xiàn)狀，欠缺對強(qiáng)度形狀效應(yīng)及其來源的理論分析，缺乏基于理論分析基礎(chǔ)上的定量結(jié)論，這也是目前形狀效應(yīng)沒有出現(xiàn)定量研究成果的根本原因.

鑒于此，筆者對立方體測抗壓強(qiáng)度時(shí)的剪切帶進(jìn)行了分析，并基于強(qiáng)度參數(shù)反算了不同強(qiáng)度等級混凝土真實(shí)的破裂角范圍和最危險(xiǎn)破裂角，通過數(shù)據(jù)定量反映了高寬比與強(qiáng)度之間的關(guān)系，以揭示高寬比大于某一值之后可消除形狀效應(yīng)的內(nèi)在機(jī)理，也為今后建立強(qiáng)度形狀效應(yīng)理論解的打下基礎(chǔ).

1 單軸壓縮時(shí)立方體的破壞特征與機(jī)理

1.1 單軸應(yīng)力狀態(tài)下的力學(xué)模型

立方體測抗壓強(qiáng)度時(shí)試塊處于單軸應(yīng)力狀態(tài)，其力學(xué)模型如圖1所示.

圖1 軸向壓縮時(shí)的應(yīng)力分量Fig.1 Stress component of axial compression

根據(jù)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，斜截面m-m上法向正應(yīng)力σn和切向剪應(yīng)力τn分別為

(1)

(2)

在圖1中，σ1可分解為與斜截面平行的剪力τn和與斜截面內(nèi)法線方向一致的正應(yīng)力τn，τn是引起剪切破壞的“下滑力”，而σn提高了破裂面上滑動摩擦阻力.顯然，斜截面角度β的變化引起了τn和σn的增減，其中45°斜截面上剪力最大，但45°斜截面上的抗剪強(qiáng)度并不一定是最小的，所以最終的破壞并不是在剪力最大或抗剪強(qiáng)度最小的截面，而是在剪應(yīng)力和抗剪強(qiáng)度差值最大的截面上.

1.2 莫爾-庫侖準(zhǔn)則下強(qiáng)度特征

根據(jù)莫爾-庫侖準(zhǔn)則，β斜截面的抗剪強(qiáng)度τf可表示為

τf=c+μσn

(3)

式中：c為粘聚力，MPa；σn同前，由式(1)確定，MPa；μ為斜截面上的摩擦系數(shù)，與剪切面本身結(jié)構(gòu)性狀有關(guān)，這里取μ=tgφ，φ為混凝土的內(nèi)摩擦角，°.

當(dāng)軸向壓力達(dá)到一定值后，試塊體內(nèi)產(chǎn)生壓應(yīng)力和剪應(yīng)力，剪力和抗剪強(qiáng)度差值最大的某一斜截面將率先發(fā)生破壞.最危險(xiǎn)破裂面從極限平衡狀態(tài)到失穩(wěn)時(shí)，其剪應(yīng)力τn與抗剪強(qiáng)度τf之間應(yīng)當(dāng)滿足下列失穩(wěn)條件[16]：

τn≥τf=c+μσn

(4)

將式(1)、(2)代入式(4)中，得：

(5)

1.3 摩爾-庫侖準(zhǔn)則的單位化

為了從幾何圖形上直觀觀察剪切破壞發(fā)生的范圍，這里將莫爾-庫侖準(zhǔn)則單位化，也即將式(5)左右兩邊同除以σ1/2，得

sin2β≥2μcos2β+2c/σ1

(6)

在式(6)中，記ξ=c/σ1，定義為剪壓強(qiáng)度比，這樣式(6)可以簡化為

sin2β≥2μcos2β+2ξ

(7)

1.4 摩爾-庫侖準(zhǔn)則的圖解法

從式(6)或式(7)可以看出，只要給出混凝土的強(qiáng)度參數(shù)c、μ和σ1，就可以反算出破裂角范圍和最危險(xiǎn)破裂角.為此，對(7)進(jìn)行移項(xiàng)：

sin2β-2μcos2β-2ξ≥0

(8)

顯然，式(8)大于零的范圍為剪力大于抗剪強(qiáng)度的范圍，記f(β)=sin2β-2μcos2β-2ξ，將f(β)的函數(shù)圖繪制出來，將更加直觀的看出破裂角的分布范圍(圖2).

圖2 摩爾-庫侖準(zhǔn)則的圖解法Fig.2 Graphic method of the Mohr-Coulomb criterion

在圖2中，通過f(β)與橫坐標(biāo)的位置關(guān)系可以判斷能否發(fā)生剪切破壞，以及發(fā)生剪切破壞時(shí)剪切面的位置，可能的位置關(guān)系有三種情況：

(1)相離(f(β)<0，也即τn<τf)

此時(shí)抗剪強(qiáng)度始終大于剪力，不會發(fā)生剪切破壞.

(2)相交于一點(diǎn)(f(β)=0，也即τn=τf)

此時(shí)抗剪強(qiáng)度有且只有一個(gè)位置等于剪力，此位置對應(yīng)的橫坐標(biāo)記為β，β位置最有可能發(fā)生剪切破壞.

(3)相交于兩點(diǎn)(f(β)>0，也即τn>τf)

若f(β)與橫坐標(biāo)相交于兩點(diǎn)，此區(qū)間的范圍記為[βmin，βmax]，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，剪應(yīng)力和抗剪強(qiáng)度差值最大的位置為最危險(xiǎn)斜截面.

需要指出的是，剪應(yīng)力大于抗剪強(qiáng)度是剪切破壞的必要條件，充分條件是剪應(yīng)力與抗剪強(qiáng)度差值最大，那么βmin就是可能發(fā)生剪切破壞時(shí)的最小破裂面角度，而βmax是上限，

2 普通混凝土的破裂角范圍與最危險(xiǎn)破裂角

2.1 混凝土的強(qiáng)度參數(shù)與相關(guān)系數(shù)

對于不同強(qiáng)度等級的混凝土，《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中給出了其抗剪和抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值，據(jù)此算出自定義的剪壓強(qiáng)度比ξ=τ/σ1，如表1所示.

表1 規(guī)范中不同強(qiáng)度等級混凝土的強(qiáng)度參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)值[17]

若要基于式(7)計(jì)算最危險(xiǎn)破裂角，還需要給出與剪切性能相關(guān)的粘聚力和摩擦系數(shù)，但是在工民建行業(yè)，混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以彈性為主，基本不考慮其塑性特征，所以在《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中并未給出不同等級混凝土的粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ，叢宇[18]通過實(shí)驗(yàn)得到了不同等級混凝土的剪切參數(shù)，如表2所示.可以看出，內(nèi)摩擦角隨強(qiáng)度等級在3°范圍內(nèi)窄幅波動，反映在摩擦系數(shù)上，大致在1.4～1.6之間波動.為了統(tǒng)一，對于不同等級混凝土的強(qiáng)度參數(shù)均取標(biāo)準(zhǔn)值，對應(yīng)的摩擦系數(shù)μ如表3所示.

表2 不同強(qiáng)度等級混凝土抗剪強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值[18]

表3 取標(biāo)準(zhǔn)值時(shí)不同強(qiáng)度等級混凝土破裂面摩擦系數(shù)

2.2 破裂角范圍與最危險(xiǎn)破裂角的反算

將表3中的數(shù)據(jù)代入式(8)中，將其曲線繪制在圖3所示的坐標(biāo)系中，圖3中右下角為橫坐標(biāo)以上部分的放大圖.此部分是剪應(yīng)力大于抗剪強(qiáng)度時(shí)的區(qū)域，與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)為發(fā)生剪切破壞時(shí)破裂角的上下限，每條曲線的峰值表示剪應(yīng)力與抗剪強(qiáng)度差值最大，對應(yīng)的角度為最可能或最危險(xiǎn)破裂角，為了對比差異，將不同強(qiáng)度混凝土剪切破壞時(shí)的破裂角范圍和最危險(xiǎn)破裂角匯總起來如表4所示.

表4 不同強(qiáng)度等級混凝土的破壞角范圍和最危險(xiǎn)破裂角/(°)

圖3 不同強(qiáng)度等級混凝土破裂角范圍的圖解法Fig.3 Graphic method for fracture angle range of concrete with different strength grades

3 立方體測抗壓強(qiáng)度與破裂形態(tài)

3.1 單軸壓縮時(shí)的破裂形態(tài)

國標(biāo)之所以把立方體抗壓強(qiáng)度值作為評定混凝土強(qiáng)度的基本指標(biāo)，并以規(guī)范的形式確定了立方體抗壓強(qiáng)度的法律地位，主要是考慮到了立方體抗壓強(qiáng)度在實(shí)驗(yàn)測試時(shí)的穩(wěn)定性.立方體測抗壓強(qiáng)度時(shí)，典型的破裂形態(tài)如圖4所示，立方體端頭處于應(yīng)力集中影響范圍內(nèi)，隨著應(yīng)力的增大，軸向變形同步增大，試塊的外表面的開始崩裂，最后上下形成一對 “核”，破壞面是上下近似對稱的一對圓錐體外表面面積.

圖4 立方體測抗壓強(qiáng)度時(shí)的破裂形態(tài)Fig.4 The fracture morphology of cube in the measurement of compressive strength

3.2 端面強(qiáng)約束時(shí)的剪切帶特征

如圖5所示，當(dāng)試塊端面與試驗(yàn)機(jī)壓頭之間為理想強(qiáng)約束時(shí)，邊界條件約束了試塊端面水平方向的位移，這樣就限制了部分破裂面.在立方體中破裂面方位角被約束限制在了45°及其以下，而45°以下這些區(qū)域中的斜截面上，對角線附近的45°斜截面最有可能發(fā)生剪切破壞，破壞形態(tài)為圖5所示的四種對稱模式.

圖5 上下端面強(qiáng)約束條件下的剪切滑動面Fig.5 Shear slip surface of cube subjected to strong constraint from upper and lower surfaces

在圖5中，(a)和(b)是試件上部發(fā)生剪切破壞時(shí)左右對稱情況，(a)中的陰影部分有向左下滑動的趨勢，而(b)中的陰影部分有向右下滑動的趨勢；同理，(c)和(d)是試件下部發(fā)生剪切破壞時(shí)左右對稱情況，(c)中的陰影部分有向左上滑動的趨勢，而(d)中的陰影部分有向右上滑動的趨勢.當(dāng)立方體為理想均質(zhì)各向同性和完全彈性材料時(shí)，立方體的上下受壓面完全平行時(shí)，左右兩部分向左和向右滑動趨勢是互相抵消的，疊加過程和效果如圖6所示.

圖6 上下端面強(qiáng)約束條件下剪切帶的疊加Fig.6 The superposition of shear bands of cube subjected to strong constraint for upper and lower surfaces

圖6中(a)是上部左右剪切帶的疊加，(b)是下部左右剪切帶的疊加，疊加后的I區(qū)保持原來的趨勢，II區(qū)中兩種方向相反滑動發(fā)生了抵消，為左右剪切帶抵消平衡區(qū).上部和下部是兩種對稱情況，最終立方體中總的剪切帶是這兩種模式的疊加，最終的剪切帶如圖7所示.

圖7 上下端面強(qiáng)約束條件下的剪切帶分布Fig.7 Shear band distribution of cube subjected to strong constraint from upper and lower surfaces

在圖7中，立方體中存在左右對稱的I區(qū)和上下對稱的II區(qū)，I區(qū)其變形趨勢是脫離立方體向外側(cè)崩解的趨勢，II區(qū)一方面是端頭約束影響區(qū)，另外也是左右剪切帶平衡區(qū)，表現(xiàn)為只有豎直方向的位移，這也是為什么立方體最后的破裂形態(tài)絕大多數(shù)是X形狀的原因所在.

通過上面的受力分析可以看出，立方體中并沒有出現(xiàn)均勻的軸向壓縮，因此立方體抗壓強(qiáng)度并不是混凝土被“壓碎”所對應(yīng)的強(qiáng)度，而是包括壓縮和剪切兩部分，且以壓縮為主、剪切為輔的壓剪破壞.我國國際標(biāo)準(zhǔn)將立方體抗壓強(qiáng)度以規(guī)范的形式確定下來，并賦予其法律地位，這樣其測試結(jié)果就具有可比性，也是評定混凝土強(qiáng)度等級和施工質(zhì)量驗(yàn)收的依據(jù)，可以唯一地去指導(dǎo)工業(yè)生產(chǎn)，具有重要的技術(shù)指導(dǎo)意義.

4 分析與討論

4.1 立方體強(qiáng)度偏大的內(nèi)在機(jī)理

從表4中可以看出，普通混凝土的最危險(xiǎn)破裂角大致在72.5～73.5°附近，而立方體試塊中45°以上斜截面被邊界約束所限制，而45°以下斜截面上的抗剪強(qiáng)度又大于剪應(yīng)力，導(dǎo)致實(shí)際破裂面與最危險(xiǎn)破裂面不一致，最危險(xiǎn)的情況沒有發(fā)生，最終的破壞是以壓縮為主而不是以剪切為主，而混凝土的抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于抗剪強(qiáng)度，故用立方體測得的強(qiáng)度就比實(shí)際強(qiáng)度偏大，這也就是混凝土強(qiáng)度規(guī)范中立方體抗壓強(qiáng)度和棱柱體抗壓強(qiáng)度需要修正的原因所在，也是形狀效應(yīng)產(chǎn)生的理論機(jī)理.基于這一思路，結(jié)合邊界條件對破裂路徑的影響，將不同斜截面上的強(qiáng)度進(jìn)行比較，就可以建立強(qiáng)度形狀效應(yīng)的解析式.

4.2 消除形狀效應(yīng)的臨界高寬比

如前所述，立方體中最危險(xiǎn)破裂面在邊界約束影響范圍內(nèi)，最終破壞沒有發(fā)生在最危險(xiǎn)處，那么是否可以通過提高試件的高寬比讓最危險(xiǎn)破裂面處于邊界約束影響之外，這個(gè)高寬比即為消除形狀效應(yīng)的臨界高寬比.為了對比不同高寬比下最危險(xiǎn)破裂面差異，這里取幾種典型情況，如圖8所示.

圖8 不同高寬比時(shí)的最危險(xiǎn)破裂角對比Fig.8 Comparison of the most dangerous fracture angles at different aspect ratios

在圖8中，對于不同高徑比的混凝土試塊，由于上下端面水平位移被約束，導(dǎo)致軸向受壓時(shí)破裂路徑發(fā)生了改變，而對角線附近的破裂面成為方位角最大的破裂面，但不同高寬比時(shí)對角線傾角不一樣，如當(dāng)高寬比為4時(shí)，對角線方位角在76°附近，而常見混凝土的最危險(xiǎn)破裂角都小于此角度，故最危險(xiǎn)情況可以發(fā)生；高寬比等于3時(shí)，對角線方位角與莫爾-庫侖準(zhǔn)則反算出的混凝土真實(shí)破裂面方位角大致相當(dāng)，故3倍高寬比是真實(shí)值與實(shí)測值趨于一致的臨界值；而當(dāng)高寬比小于3時(shí)，對角線方位角均小于真實(shí)破裂面方位角.顯然，當(dāng)實(shí)際破壞時(shí)的破裂面方位角小于真實(shí)的破裂面方位角時(shí)，破壞并沒有發(fā)生在最危險(xiǎn)處，測得的強(qiáng)度就比實(shí)際強(qiáng)度大.通過上述的對比可以看出，三倍高寬比時(shí)，實(shí)際破裂面與真實(shí)破裂面方位角較為接近，三倍高寬比及其以上基本上可以消除端面約束對強(qiáng)度的影響，故三倍高寬比是消除形狀效應(yīng)的臨界值.

如圖9所示，對于普通混凝土而言，三倍高寬比的本質(zhì)是保證了純壓區(qū)高度h，對于這一問題，過鎮(zhèn)海等人根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)以及數(shù)值模擬結(jié)果，給出了一個(gè)普遍性的結(jié)論：一般認(rèn)為，高寬比在2～3時(shí)，可基本消除端面約束的影響.通過數(shù)據(jù)的反算，定量證明了這一經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論較為準(zhǔn)確的內(nèi)在力學(xué)機(jī)理，也進(jìn)一步明確了消除端面約束的臨界高寬比接近于3，考慮到實(shí)際端頭約束并非完全約束，臨界高寬比略小于3.

圖9 試件中的純壓區(qū)[2]Fig.9 Pure pressure region in prism test specimen

4.3 立方體抗壓強(qiáng)度與軸心抗壓強(qiáng)度的折減

邊界條件對強(qiáng)度影響的本質(zhì)是應(yīng)力集中改變了破裂路徑，而不同的破裂路徑對應(yīng)著不同的強(qiáng)度，強(qiáng)約束邊界條件下棱柱體和立方體中的實(shí)際破裂路徑不同，其結(jié)果是測得的抗壓強(qiáng)度不一致，兩者之間需要折減換算才能統(tǒng)一.用棱柱體測得的軸心抗壓強(qiáng)度與立方體抗壓強(qiáng)度的比值規(guī)范有明確規(guī)定，在新版規(guī)范中又做了進(jìn)一步調(diào)整，如式(9)所示[17]：

(9)

式中：fck為棱柱體試件測得的具有95%保證率的0.88混凝土軸心抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值，MPa；系數(shù)0.88是考慮實(shí)際結(jié)構(gòu)中的混凝土與試塊混凝土強(qiáng)度之間的差異等因素而確定的修正系數(shù)；α1為軸心抗壓強(qiáng)度與立方體抗壓強(qiáng)度的比值(見表5)；α2為混凝土脆性系數(shù)；fcu,k為用立方體測得的具有95%保證率的混凝土抗壓強(qiáng)度，MPa.

表5 強(qiáng)度折減系數(shù)α1的取值[17]

舊規(guī)范中對于軸心抗壓強(qiáng)度fck和立方體抗壓強(qiáng)度fcu,k修正系數(shù)α1統(tǒng)一取0.76，而新規(guī)范中C50以上系數(shù)略有提高.對立方體強(qiáng)度進(jìn)行折減，就是考慮到了立方體抗壓強(qiáng)度高于真實(shí)強(qiáng)度，本質(zhì)上是對強(qiáng)度形狀效應(yīng)的修正.

5 結(jié)論

以規(guī)范中立方體測混凝土強(qiáng)度問題為背景，揭示了邊界條件是通過改變破裂路徑最終影響了強(qiáng)度，而不同的破裂路徑對應(yīng)著不同的強(qiáng)度，通過建立不同破裂面上的強(qiáng)度公式，結(jié)合邊界條件可以建立形狀效應(yīng)的解析解，這也是規(guī)范中混凝土強(qiáng)度形狀效應(yīng)的內(nèi)在機(jī)理，主要結(jié)論有：

(1)立方體中存在左右對稱的崩解區(qū)和上下對稱的刺入?yún)^(qū)，前者的變形趨勢是脫離立方體向外側(cè)崩解，后者一方面是端頭約束影響區(qū)，另外也是左右剪切帶平衡區(qū)，表現(xiàn)為只有豎直方向的位移；

(2)單軸壓縮時(shí)混凝土的真實(shí)破裂角在64～83°之間，最危險(xiǎn)破裂角在73°附近，而立方體中45°以上潛在破裂面被邊界約束所限制，而45°以下斜截面上抗剪強(qiáng)度又大于剪應(yīng)力，導(dǎo)致實(shí)際破裂面與最危險(xiǎn)破裂面不一致，故用立方體測得的抗壓強(qiáng)度偏大；

(3)反算出的最危險(xiǎn)破裂角表明，三倍高寬比是消除端面約束影響的臨界值，此時(shí)最危險(xiǎn)破裂面基本脫離端頭約束的影響，真實(shí)破裂面與實(shí)際破裂面趨于一致；

(4)普通混凝土發(fā)生剪切破壞時(shí)的破裂面方位角在64～83°之間，在立方體中不存在發(fā)生剪切所必須的試件高度，故立方體測得的抗壓強(qiáng)度主要是抗壓強(qiáng)度，壓縮過程中產(chǎn)生的裂縫也是刺入?yún)^(qū)擠壓產(chǎn)生的張拉裂縫；

(5)立方體測定的抗壓強(qiáng)度本質(zhì)上是介于純壓縮和純剪切之間的以壓縮為主的壓剪強(qiáng)度，棱柱體測得的軸心抗壓強(qiáng)度是以剪切為主的剪壓強(qiáng)度，由于剪切和壓縮比重的不同，立方體的強(qiáng)度理論上要大于棱柱體的強(qiáng)度.

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