福建省閩清教師進修學(xué)校 (350800) 黃如炎
直線與圓錐曲線位置關(guān)系向來是解析幾何的教學(xué)難點,高考的重點、熱點與難點.對直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題,教師們增加了教學(xué)課時,設(shè)計了復(fù)習(xí)專題,強化了練習(xí)考試.學(xué)生們投入了成倍學(xué)時,經(jīng)歷了艱難思路,進行了大量運算,但教學(xué)卻毫無成效.2017年高考理科全國I卷直線與圓錐曲線位置關(guān)系的解答題是道尋常題,第二步滿分7分,絕大多數(shù)考生不能得分,只有極少數(shù)考生能得1至2分[1].勞而無功的教學(xué)使教師對解幾失去信心,學(xué)生對解幾產(chǎn)生恐懼.當(dāng)教學(xué)投入與產(chǎn)出總不成正比時,不少教師認為直線與圓錐曲線位置關(guān)系是不可教,許多學(xué)生(包括優(yōu)等生)認為直線與圓錐曲線關(guān)系是不可學(xué).有些教師在考試策略上指導(dǎo)學(xué)生對直線與圓錐曲線位置關(guān)系要舍得放棄,實施“第一步確保,第二步列式”的戰(zhàn)術(shù),錯失了解析幾何承載的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的教育價值.本文從解析幾何本質(zhì)、圓錐曲線屬性、平面幾何性質(zhì)和直線方程選擇的視角,旨在讓教師走出直線與圓錐曲線位置關(guān)系的教學(xué)困境,使直線與圓錐曲線位置關(guān)系變得教師可教,學(xué)生可學(xué),考試可得.
解析幾何是把幾何問題代數(shù)化,即解析法的本質(zhì)是坐標法.研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的基本思路為:引入相關(guān)點坐標→把幾何問題用坐標表示→由點所在的直線、曲線方程求出坐標或坐標關(guān)系式→通過代數(shù)運算解決問題.
研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系,除了遵循解析法的基本思路外,還要從圓錐曲線屬性、平面幾何性質(zhì)和直線方程選擇的視覺,優(yōu)化研究過程.圓錐曲線定義是圓錐曲線的本源,涉及焦半徑的問題利用定義直截了當(dāng).在坐標化前要考慮能否利用平幾、三角、向量、定義等知識簡化幾何關(guān)系,坐標化過程要注意每個式子的幾何意義.?dāng)?shù)與形密不可分,數(shù)形結(jié)合是優(yōu)化思維性,減少運算量的利器.直線和圓錐曲線方程問題中,圓錐曲線方程相對單一,但直線方程形式多樣,選擇哪條直線,選擇哪種形式,對計算量有很大關(guān)系,因此要根據(jù)題情判斷如何優(yōu)選直線方程.此外,坐標化后代數(shù)運算要遵循數(shù)式運算法則,先細致觀察數(shù)式表征后實施相應(yīng)運算.對同類項要展開合并,多項式要因式分解,公因式要提取,分式要通分(或去分母),多元要消元,同一個式子要視為一個整體,去括號要注意是否變號.教師對運算要言傳身教,全程示范,不能用“化簡為”、“整理得”省略學(xué)生可能犯錯的步驟,在板演中強調(diào)思維點、切入點、易錯點、得分點.
“回歸定義不可忘,數(shù)形結(jié)合成習(xí)慣,選擇直線要判斷,數(shù)式先看后運算”應(yīng)成為研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的基本經(jīng)驗.
(1)求C的方程;
(2)直線l與C相交于P、Q兩點,A為C的右頂點,若直線PA與直線QA斜率的倒數(shù)的和為-1,求證:l過定點.(2017年高考全國I卷理科第20題改編)
研究方法分析如下.
(1)方法1:與焦點有關(guān)的問題自然想到定義,設(shè)另一焦點為F′,四邊形MFNF′對角線互相平分,故MFNF′為平行四邊形,由橢圓定義知|MF′|+|MF|=|NF|+|MF|=2a,所以△MNF周長為|MN|+2a,當(dāng)MN為短軸時|MN|最小,所以
2.2.2 食品防腐劑 目前,大多食品防腐劑也可用于楊梅采后病害的防治。王益光等[21]采用蔗糖酯、尼泊金乙酯、山梨酸鉀和苯甲酸鈉對楊梅果實進行處理,發(fā)現(xiàn)蔗糖酯防腐效果最好,其次是尼泊金乙酯,而苯甲酸鈉和山梨酸鉀的防腐效果不明顯。柴春燕等[22]比較了CAP-10、山梨酸鉀、尼泊金乙酯處理楊梅果實的效果,發(fā)現(xiàn)這些防腐劑都對楊梅采后病原菌都有不同程度的抑制作用,其中CAP-10的抑菌效果最佳,并且相比山梨酸鉀和尼泊金乙酯,藥液味較淡。
圖1
方法2:三角形MNF周長由M、N、F三點坐標決定,可得研究思路:
引入點M,N,F(xiàn)坐標→把幾何問題“△MNF周長”用坐標表示→由點M所在的橢圓方程求出坐標關(guān)系→通過代數(shù)運算解決問題.
設(shè)M(x0,y0),N(-x0,-y0),F(xiàn)(c,0),則
圖2
(2)直線PA與直線QA斜率由點P,Q,A決定,可得研究思路:引入點P,Q坐標→把幾何問題“直線PA與直線QA斜率的倒數(shù)的和”用坐標表示→由點P,Q所在的直線l(或直線PA、QA)和橢圓C方程求出坐標或坐標關(guān)系式→通過代數(shù)運算解決問題.
方法2:選取直線l:y=kx+t.當(dāng)l斜率不存在即l垂直x軸時,kPA+kQA=0,不合題意.
圖3
第(1)步的方法1注意回歸定義和數(shù)形結(jié)合,無需運算.第(2)步從直線方程不同的選取視角展開思維.方法1至方法4把P、Q看成直線l和橢圓的交點,故選擇直線l,但在直線l的形式選取上決定了計算量.方法2選取l:y=kx+t,是學(xué)生的普遍做法,但消元時分母變?yōu)槎囗検?,增加了計算量.方?選取l:x=m(1-y0)+x0,此方程比x=my+n復(fù)雜(多一個字母和項數(shù)),計算量明顯大于方法1.方法4通過平移,轉(zhuǎn)化為齊次方程,選取直線l:mx′+ny′=1,計算量雖小,但技巧性太強.方法5把P看成直線PA和橢圓交點,選取直線PA方程為x=my+2(比選取y=k(x-2)簡單),聯(lián)合直線PA和橢圓C方程求出P點坐標,由對稱性得出Q點坐標.由于P,Q坐標是含有字母的形式,用兩點式求直線l方程時,產(chǎn)生了極大的計算量.方法6把P看成直線PA和直線l的交點,聯(lián)合直線PA、l方程求出P點坐標,再把P坐標代入橢圓方程整理成關(guān)于m1的一元二次方程,由對稱性和韋達定理得出m,n關(guān)系式,此法運算量適中但也頗具技巧性.
綜上可見,方法1最適合學(xué)生,思路樸實,運算順暢,計算量小,能限時完成.教師要善于尋找適合學(xué)生的方法,創(chuàng)造適合學(xué)生的教育,落實以學(xué)生發(fā)展為本的新課程理念.
[1]匡大章,呂小東.由2017年安徽省高考數(shù)學(xué)閱卷引發(fā)的教學(xué)思考[j].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬,2017(11):44-46.
[2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標準[M].北京:人民教育出版社,2017.