江蘇省張家港市崇真中學(xué) (215600) 童先峰

探究教學(xué)是學(xué)生思維能力、學(xué)科素養(yǎng)增長的一種重要教學(xué)形式，本著由易到難、層次分明、循序漸進(jìn)的原則，筆者以《圓錐曲線中一類定值、定點問題》為例，就如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計實現(xiàn)學(xué)生自主探究的能力提升與同行交流，敬請指正.

一、備課思考

課前定教學(xué)目標(biāo)：即讓學(xué)生學(xué)什么？定教學(xué)形式：即讓學(xué)生怎么樣學(xué)？定教學(xué)效果：即學(xué)生學(xué)會了什么？在準(zhǔn)備教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)時，都要思考上述問題，只有這樣做，才能在教學(xué)中“潤物細(xì)無聲”的讓學(xué)生感知“教學(xué)目標(biāo)”，從而實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

二、教學(xué)設(shè)計

引例1 將圓x2+y2=1上的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，則所得曲線的方程是________.

引例2 已知AB是圓O的直徑，點P是圓O上異于A,B的點，k1,k2是直線PA,PB的斜率，則k1·k2=________.

設(shè)計意圖：通過對上述問題的探求，讓學(xué)生自覺的把圓中的結(jié)論進(jìn)行合理猜想，使學(xué)生進(jìn)入一個探究問題的環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生打開思維.

圖1

設(shè)計意圖：分析如何進(jìn)行有效的簡化運算，即如何合理設(shè)變量，構(gòu)建整個求解過程，使得求解過程多方法、少計算，降低了題目的難度.

變式2 直線l改為x=m，定點的坐標(biāo)是什么？

設(shè)計意圖：通過幾何畫板的演示，對變式問題進(jìn)行檢驗，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的重要性.同時，在數(shù)學(xué)品質(zhì)層面上培養(yǎng)學(xué)生大膽質(zhì)疑和舉一反三的學(xué)習(xí)作風(fēng).

圖2

(1)當(dāng)直線AP斜率為1時，求點P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)直線AP斜率為k時，直線PQ是否過x軸上的一定點，若過定點，請給出證明，并求出該定點？若不過定點，請說明理由．

設(shè)計意圖：通過本題，讓學(xué)生進(jìn)一步感受圓與橢圓之間的邏輯關(guān)系，體會兩者之間的聯(lián)系.并讓學(xué)生體會求解定點問題的基本方法.

思路一：先進(jìn)行一般計算推理求出其結(jié)果，選定一個適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，得到所求定(點)值關(guān)系所需要的表達(dá)式，化簡整理求出結(jié)果.

思路二：通過特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題.

變式1 (2)改為“直線PQ是否過一定點，若過定點，請給出證明，并求出該定點？若不過定點，請說明理由．”

變式2 若kAP·kAQ=1，直線PQ是否過一定點？

設(shè)計意圖：通過這一定點問題與圓錐曲線離心率之間的關(guān)系，進(jìn)一步讓學(xué)生感受離心率e是聯(lián)系橢圓、雙曲線、拋物線的紐帶，為學(xué)生課下自主探究橢圓、雙曲線、拋物線三者之間常見結(jié)論規(guī)律指明了方向.

三、課后反思

1.基于認(rèn)知水平，尋找探究教學(xué)合適起點

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中學(xué)生較難掌握的章節(jié)，其中有些模塊化的過程性結(jié)論可以讓解題變的十分輕松.但這些結(jié)論是怎樣來的，如何才會想到這樣的結(jié)論，是教師在課上需要下功夫解決的問題，教師如果直接告知結(jié)論，學(xué)生新的認(rèn)知很難在具體的、已有的認(rèn)知水平上建立起來.這就需要教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，本著充分尊重學(xué)生的主體地位和符合學(xué)生的認(rèn)知水平這兩個原則，通過引導(dǎo)學(xué)生主動參與、獨立探索，使得學(xué)生自己能夠推導(dǎo)出可能的結(jié)論.本節(jié)課從書本上學(xué)生容易解決的兩個問題出發(fā)，引發(fā)聯(lián)想，提出“你能根據(jù)上述兩個問題，在橢圓中類比出一個新的問題嗎？”讓學(xué)生自己猜想出一個可能的結(jié)論，從這一角度切入對問題的研究，學(xué)生就會感覺到有事可做，而不會陷入茫然無措.再從已經(jīng)得到的小結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行一般化研究，利用一個典型問題，深化過程性小結(jié)論的重要性，得到了本節(jié)課的核心內(nèi)容，展現(xiàn)了知識探究的真正的發(fā)展過程，實現(xiàn)了學(xué)生思維的“自然流淌”.

2.基于合情推理，發(fā)揮學(xué)生思維聯(lián)想能力

“推理與證明”是普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗)新增加的內(nèi)容.在教學(xué)過程中，有些教師可能只是在教材中遇到該內(nèi)容時才意識到用合情推理去探究一些問題，而在其它時候往往忽視合情推理的作用.換句話說不少教師仍將合情推理作為教材中的一個知識點在教，在其它更多的教學(xué)時間中并沒有將歸納、類比、一般化、特殊化等合情推理的思維方式自覺應(yīng)用到教學(xué)中去，這也在一定程度上造成學(xué)生缺乏通過合情推理去提出問題，解決問題的能力.本節(jié)課在將圓中的結(jié)論及圓到橢圓的變化過程展現(xiàn)給學(xué)生后，讓學(xué)生提出一個新的問題，而在解決以后，又讓學(xué)生對典型例題中的題干提出質(zhì)疑，題干中的直線為什么是這樣一條直線，能不能是其它直線，從而讓學(xué)生感受問題是怎么出來的，解題后的反思使問題達(dá)到了一個新的高度，這也正是因為充分利用了合情推理才讓學(xué)生的思維在探究課堂上達(dá)到了一個小高潮.隨后，讓學(xué)生大膽猜想圓中的其它結(jié)論，這些結(jié)論是否可以類比遷移到橢圓中，類比到橢圓中的結(jié)論又是什么？怎么樣才能得到證明，從而實現(xiàn)探究課堂中的真正探究.

3.基于學(xué)習(xí)興趣，實現(xiàn)課上課下能力延伸

知識是載體，能力是立意.課堂上的時間是有限的，知識僅僅是探究思想、探究方法的一個載體，如何讓學(xué)生在認(rèn)識本節(jié)內(nèi)容的同時，有更多的思考，激發(fā)更多的學(xué)生課下探究的興趣，實現(xiàn)課下的一種自主延伸探究才是探究教學(xué)真正意義上的成功.本節(jié)課通過一個統(tǒng)一結(jié)論“e2-1”，讓學(xué)生感受在有心圓錐曲線中兩直線斜率乘積的結(jié)果可以利用離心率得到形式上的統(tǒng)一，學(xué)生在感受圓中結(jié)論遷移到有心圓錐曲線的同時，也讓學(xué)生對圓錐曲線的離心率有了更深的理解.同時通過課后相關(guān)閱讀材料的閱讀，讓學(xué)生進(jìn)一步充分體會到圓錐曲線中許多結(jié)論都是可以通過離心率來進(jìn)行統(tǒng)一.這樣一來，學(xué)生在課下學(xué)習(xí)圓中相關(guān)結(jié)論時，不僅會很自然的想到有心圓錐曲線中有類似這樣的結(jié)論嗎？如果有，這個結(jié)論是什么呢？而且也會聯(lián)想到結(jié)果用什么樣的形式出現(xiàn).從而真正打通學(xué)生探究思維上的“任督二脈”.