任東紅 ，林 鵬 ，袁清萍 ，邢兵鎖 ，董國貴

(1.銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244000；2.國網(wǎng)銅陵供電公司，安徽 銅陵 244000)

一、引言

隨著人工智能科學(xué)的發(fā)展，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也迅速成為預(yù)測領(lǐng)域較常用的智能建模方法，尤其是針對工程中高度非線性的復(fù)雜系統(tǒng)，難以用普通的數(shù)學(xué)方法準(zhǔn)確建模，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)其本身的特點(diǎn)能夠?qū)W習(xí)和分析大量的輸入-輸出數(shù)據(jù)，而無需給定輸入-輸出之間的函數(shù)映射關(guān)系，因此其可以廣泛應(yīng)用于高階非線性系統(tǒng)建模，解決復(fù)雜系統(tǒng)的黑箱模型問題[1-3]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是經(jīng)典的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一，其運(yùn)用誤差反向傳播算法（BP算法）建立多層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，通過對給定大數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)，確定各層神經(jīng)元連接權(quán)值，最終建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，擬合復(fù)雜系統(tǒng)，從而應(yīng)用于工程實(shí)踐。文中針對傅里葉核函數(shù)法擬合精度較低的問題，運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模，函數(shù)曲線擬合精度較高。

二、建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是常見的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),由輸入層、隱含層、輸出層組成，圖1所示為一個三層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即輸入層、隱含層、輸出層分別只有一層，其中x1,x2,…xn為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的n維輸入，y1,y2,…ym為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的m維輸出，wij表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層第i個神經(jīng)元到隱含層第j個神經(jīng)元的連接權(quán)值，wjk表示隱含層第j個神經(jīng)元到輸出層第k個神經(jīng)元的連接權(quán)值。若要準(zhǔn)確的擬合函數(shù)，必須確定隱含層神經(jīng)元個數(shù)以及各神經(jīng)元之間的連接權(quán)值，從而建立精確地神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。文中將采用試探法確定隱含層神經(jīng)元個數(shù)，通過誤差反向傳播算法（BP算法）確定各神經(jīng)元之間的連接權(quán)值。其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層和輸出層神經(jīng)元的作用函數(shù)為線性函數(shù)，即神經(jīng)元的輸出值等于其輸入值；隱含層神經(jīng)元的作用函數(shù)選擇常用的Sigmoid函數(shù)；隱含層和輸出層神經(jīng)元的輸入值分別等于上一層神經(jīng)元輸出值的加權(quán)和[4]。

圖1 三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

三、BP學(xué)習(xí)算法

BP學(xué)習(xí)算法即誤差反向傳播算法，是一種有導(dǎo)師的學(xué)習(xí)算法。它的學(xué)習(xí)過程由兩個部分組成：正向傳播過程和反向傳播過程。正向傳播是指將學(xué)習(xí)的樣本數(shù)據(jù)輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層，輸入層神經(jīng)元接受到傳播信號，依據(jù)神經(jīng)元的作用函數(shù)再將信息傳到隱含層（1層或多層），隱含層依據(jù)神經(jīng)元作用函數(shù)再將信息輸出傳入至輸出層神經(jīng)元的輸入，最終根據(jù)輸出層神經(jīng)元的作用函數(shù)計算輸出層的輸出。反向傳播是指將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出值與期望輸出值比較，如果誤差不滿足設(shè)定的要求，將誤差向回傳播，同時根據(jù)誤差調(diào)整各神經(jīng)元的連接權(quán)值，直至誤差滿足要求。

圖2 BP算法信息傳播流程圖

圖2 是BP學(xué)習(xí)算法的信息傳播流程圖，具體過程描述如下：

信息的正向傳播：

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層第i個神經(jīng)元的輸出為：

公式（1）中ui表示輸入層第i個神經(jīng)元的輸入值。

隱含層中第j個神經(jīng)元的輸入xjH為：

公式（2）中，wijH表示輸入層第i個神經(jīng)元到隱含層第j個神經(jīng)元的連接權(quán)值。

隱含層中第j個神經(jīng)元的輸出yjH為：

公式（3）中表示隱含層第 j個神經(jīng)元的作用函數(shù)，文中選用Sigmoid函數(shù)。

輸出層第k個神經(jīng)元的輸入為

公式（4）中，wjkO表示隱含層第j個神經(jīng)元到輸出層第k個神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值。

輸出層第k個神經(jīng)元的輸出ykO為

其中表示輸出層第k個神經(jīng)元的作用函數(shù)，文中選用線性函數(shù)。

信息的反向傳播：信息的反向傳播目的是調(diào)整連接權(quán)值，降低誤差。設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出值為y，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期望輸出值為t,則它們之間的誤差為e(e=t-y)，誤差從輸出層反向傳播，同時在傳播過程中通過求導(dǎo)的方式對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中各神經(jīng)元之間的連接權(quán)值不斷修正，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出值y與期望輸出值t之間的誤差減小，直至誤差達(dá)到給定值以下，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)束[5][6]。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元連接權(quán)值訓(xùn)練的流程圖如下：

圖3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練流程圖

四、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練及預(yù)測結(jié)果

本實(shí)驗(yàn)的目的是對傅里葉核函數(shù)f(x)=sinx/x進(jìn)行擬合，首先是建立精確的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合模型。由于文中只是針對一維多個歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，不考慮其他因素對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的影響，因此輸入層神經(jīng)元個數(shù)選擇1即可，輸出層神經(jīng)元個數(shù)也選擇1?，F(xiàn)在最重要的是確定隱含層神經(jīng)元個數(shù)，本文通過試探法確定。分別選定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層神經(jīng)元個數(shù)為5，10,20三個數(shù)，通過訓(xùn)練結(jié)果及測試結(jié)果的比較，最終選定合適的隱含層神經(jīng)元個數(shù)。訓(xùn)練及測試結(jié)果如下。當(dāng)隱含層神經(jīng)元為5時，得到的訓(xùn)練結(jié)果如下：

圖4 訓(xùn)練步數(shù)與訓(xùn)練誤差關(guān)系圖

當(dāng)隱含層神經(jīng)元為10時，得到的訓(xùn)練結(jié)果如下：

圖5 訓(xùn)練步數(shù)與訓(xùn)練誤差關(guān)系圖

當(dāng)隱含層神經(jīng)元為20時，得到的訓(xùn)練結(jié)果如下：

圖6 訓(xùn)練步數(shù)與訓(xùn)練誤差關(guān)系圖

圖4 ,5,6中，藍(lán)色實(shí)線表示訓(xùn)練誤差與訓(xùn)練步數(shù)之間的關(guān)系曲線，黑色虛線表示停止誤差為0.01。從圖4中可以看出，當(dāng)隱含層神經(jīng)元數(shù)目為5時，訓(xùn)練步數(shù)達(dá)到最大訓(xùn)練步數(shù)2000步時仍然大于給定的允許誤差0.01；圖5中可以看出，當(dāng)隱含層神經(jīng)元數(shù)目為10時，訓(xùn)練效果明顯優(yōu)于第一種，當(dāng)訓(xùn)練步數(shù)為1183步時，即可達(dá)到誤差0.01；圖6中可以看出，當(dāng)隱含層神經(jīng)元數(shù)目為20時，訓(xùn)練效果更優(yōu)，當(dāng)訓(xùn)練步數(shù)為870時即可達(dá)到給定的誤差范圍之內(nèi)。

為了得到最優(yōu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，不僅需比較訓(xùn)練效果，同時要考慮測試效果，即模型的精確性。建立的3個模型的測試效果如下。

當(dāng)隱含層神經(jīng)元為5時，測試結(jié)果如下：

圖7 函數(shù)擬合曲線（神經(jīng)元數(shù)5）

圖8 誤差曲線圖（神經(jīng)元數(shù)5）

當(dāng)隱含層神經(jīng)元個數(shù)為10時，函數(shù)擬合曲線及誤差曲線如圖下：

圖9 函數(shù)擬合曲線（神經(jīng)元數(shù)10）

圖10 誤差曲線圖（神經(jīng)元數(shù)10）

（3）當(dāng)隱含層神經(jīng)元數(shù)目為20時，測試結(jié)果如下：

圖11 函數(shù)擬合曲線（神經(jīng)元數(shù)20）

圖12 誤差曲線圖（神經(jīng)元數(shù)20）

當(dāng)隱含層神經(jīng)元數(shù)分別為5，10,20時測試結(jié)果如下表：

表1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試結(jié)果比較

圖7,9,11為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)擬合曲線圖，其中藍(lán)色實(shí)線為模型的期望輸出，紅色虛線表示模型的實(shí)際輸出。從圖形7,9,11可以直觀地看出隱含層神經(jīng)元個數(shù)為10時，函數(shù)擬合情況明顯優(yōu)于其他兩種模型。圖8,10,12為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型擬合的誤差曲線圖，表1表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值與實(shí)際輸出值得比較值，從誤差曲線圖以及表1中可以看出隱含層神經(jīng)元個數(shù)為10時平均誤差為10.03%，優(yōu)勢明顯。

五、結(jié)論

建立準(zhǔn)確的非線性函數(shù)模型在工程中具有重要意義，文中通過應(yīng)用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及BP學(xué)習(xí)算法建立三層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型用于傅里葉核函數(shù)擬合實(shí)驗(yàn)。同時通過試探法確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元個數(shù)，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元個數(shù)并不是越多越好，當(dāng)隱含層神經(jīng)元個數(shù)過多時會導(dǎo)致訓(xùn)練復(fù)雜，函數(shù)可能會偏離實(shí)際輸出。因此通過實(shí)驗(yàn)比較確定本神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型隱含層神經(jīng)元個數(shù)為10時，預(yù)測效果最佳，此時建立的模型可以較好地應(yīng)用在非線性函數(shù)擬合中。

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