曹華，王志瑾，原瀟，韓宇，候天驕

(南京航空航天大學 飛行器先進設計技術國防重點學科實驗室，南京 210016)

0 引 言

隨著復合材料結構在各領域的大量使用，逐漸由次承力結構滲透到大型主承力結構。在國外一些軍用、民用飛機和衛(wèi)星的纖維復合材料應用中出現了大量的厚復合材料結構，例如衛(wèi)星的桁架、飛機平尾的樞軸及太陽翼連接架等結構。與復合材料薄壁結構相比，厚復合材料結構的層間應力問題更加突出，在優(yōu)化設計時必須考慮層間破壞[1]。許多學者對厚復合材料結構的層間應力分析進行了研究，并取得了顯著成果。R.Byron Pipes等[2]應用彈性力學理論推導了有限寬度復合材料層合板在均勻軸向拉力作用下的微分方程，并通過有限差分法求得了層間應力；張培新等[3]建立了復合材料層合板的準三維有限元模型，分析了受面內載荷的層壓復合材料的層間應力；王秋宇等[4]應用近似方法分析了梁圓角區(qū)的層間應力。總結上述層間應力的分析方法，能夠發(fā)現這些方法都具有一定的局限性，只適用于簡單載荷邊界條件，或者只適用于簡單的復合材料平板結構，不具有通用性。有限元方法因其通用性被廣泛應用，商業(yè)有限元軟件Abaqus具有強大的復合材料分析能力被廣泛應用于分析厚復合材料結構的三維應力。

為了使復合材料結構在滿足安全性要求的同時，復合材料的各組分材料性能夠得到最有效利用，從而最大限度的發(fā)揮復合材料的性能優(yōu)勢，減輕結構重量，必須進行結構優(yōu)化設計。Jin Peng等[5]考慮強度約束、剛度約束、屈曲約束以及鋪層工藝性約束，采用遺傳算法對大型復合材料機翼盒段的蒙皮厚度及鋪層順序進行了優(yōu)化，使結構重量減輕了36.6%；Liu Jian等[6]基于徑向基神經網絡代理模型，應用遺傳算法對復合材料衛(wèi)星結構進行了尺寸優(yōu)化；茅佳兵等[7]對機翼加筋板結構進行了優(yōu)化設計，從而提高了結構的承載效率；史旭東等[8]采用遺傳算法對大展弦比復合材料機翼結構進行了優(yōu)化設計。上述復合材料結構優(yōu)化設計的研究都是針對薄壁結構的，而針對厚復合材料結構的優(yōu)化設計的研究幾乎空白。與復合材料薄壁結構相比，厚復合材料結構的優(yōu)化設計存在眾多的難點。例如厚復合材料結構的力學分析存在難點、厚復合材料結構的優(yōu)化需要考慮層間強度，而層間應力的計算存在較大的困難；厚復合材料結構的優(yōu)化設計變量多，有些設計變量是離散的、不等式約束多、性能約束是設計變量的隱函數等。

工程實際應用的厚復合材料結構，為了避免由于固化應力而引起的翹曲，通常采用很多鋪層相同的子層板疊成[9]。本文針對具有周期性鋪層方式的厚復合材料層合板結構的鋪層優(yōu)化設計，提出一種厚復合材料層合板結構子層數、子層內層數、子層內鋪層比例及鋪層順序的多級優(yōu)化設計方法。結合算例，通過Matlab編寫遺傳算法，并應用Isight集成Matlab來實現該優(yōu)化設計方法。

1 優(yōu)化問題描述

工程實際應用的厚復合材料結構通常采用很多鋪層相同的子層板疊成，這種厚復合材料結構的鋪層設計參數有子層數、子層內層數、子層內鋪層比例及鋪層順序。厚復合材料結構在承受較大的橫向載荷時，除了產生彎曲應力外，還將產生較大的剪切應力，由此引起層間剪切應力。然而復合材料的層間強度通常很低，引起的層間剪切應力可能造成層間破壞，所以在厚復合材料結構的優(yōu)化設計中，除了需考慮面內強度，還需考慮層間剪切強度。

厚復合材料結構的優(yōu)化設計中設計變量為子層數、子層內層數、子層內鋪層比例及鋪層順序。優(yōu)化問題為尋找合適的設計變量，在滿足強度要求的條件下使結構重量最輕。數學模型為

Find:X=(x1,x2,X3,X4)T

Min:m=f(x1,x2,X3,X4)

Subject to:g1(x1,x2,X3,X4)≤1

g2(x1,x2,X3,X4)≤1

(1)

式中：x1，x2為厚復合材料結構的子層數、子層內層數；X3為子層內鋪層比例，X3=(N0,N45)，其中N0、N45分別為子層內0°及45°鋪層層數，因為均衡鋪層，故-45°的鋪層層數N-45=N45，90°鋪層層數N90=x2-N0-2N45；X4為鋪層順序；m為目標函數結構質量；g1為面內強度約束；g2為層間強度約束。

本文采用商業(yè)有限元軟件Abaqus分析厚復合材料結構的三維應力，面內失效準則采用Tsai-Hill準則，如式(2)所示，層間失效準則如式(3)所示。

(2)

(3)

式中：X、Y和S為單層X復合材料縱向強度、橫向強度及剪切強度；Z為層間法向強度；Sxz與Syz為層間剪切強度。

厚復合材料層合板結構還需滿足一些其他工藝性要求，優(yōu)化后的鋪層應當滿足以下鋪層設計要求[10]：①采用0°、±45°、90°的標準鋪層角；②子層板進行對稱均衡鋪層設計；③在子層板中，0°、±45°、90°四種鋪層角的任意角度應有大于等于10%的纖維；④在子層板中，0°、±45°、90°四種鋪層角的任意角度應有小于等于60%的纖維。

2 多級優(yōu)化方法及流程

對于由鋪層相同的子層板疊成的厚復合材料結構的優(yōu)化設計問題，主要的設計變量包括子層數、子層內層數、子層內鋪層比例及鋪層順序。這些設計變量都是離散變量，它們之間相互影響，且對結構質量的影響不同。本文提出一種多級優(yōu)化設計方法，將厚復合材料結構的復雜優(yōu)化問題分解為兩級優(yōu)化。第一級優(yōu)化是基于代理模型的優(yōu)化，其目標函數為結構質量最輕，設計變量為子層內層數及鋪層比例。第二級優(yōu)化分為兩個層次進行，系統(tǒng)層的設計變量為子層數，考慮面內強度及層間強度約束；子系統(tǒng)層采用遺傳算法優(yōu)化鋪層順序。總優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化流程圖

2.1 第一級優(yōu)化設計

本級優(yōu)化的設計變量為子層內層數與鋪層比例，目標函數為結構質量。通過試驗設計方法確定子層內層數的樣本點集，根據鋪層設計工藝性要求得到每個樣本點所有可行的鋪層比例。針對某個樣本點的某一可行鋪層比例，采用第二級優(yōu)化可以得到在該子層內層數及鋪層比例下的最優(yōu)子層數。每個樣本點的所有可行的鋪層比例都采用第二級優(yōu)化進行子層數的優(yōu)化，并進行結果對比，得到各樣本點對應的最優(yōu)鋪層比例及子層數。利用樣本點及其對應的最優(yōu)鋪層比例與子層數建立代理模型，對代理模型進行優(yōu)化得到最優(yōu)解。

首先確定設計變量x2的取值范圍，采用試驗設計方法在x2的設計空間中確定樣本點集。針對每個樣本點，根據鋪層設計要求的第(2)條、第(3)條及第(4)條確定各個樣本點可行的鋪層比例。以樣本點x2=16為例，滿足鋪層設計要求的鋪層比例如表1所示。

表1 可行鋪層比例(x2=16)

以x2=16為例，應用第二級優(yōu)化方法對x2為16時的所有可行鋪層比例進行優(yōu)化，即對表1的7種可行鋪層比例分別進行第二級優(yōu)化。每種鋪層比例可以優(yōu)化得到對應的最優(yōu)子層數及鋪層順序。對比7種可行鋪層比例對應的最優(yōu)子層數 。將7種可行鋪層比例對應的最優(yōu)子層數中最小的x1及其對應的鋪層比例X3作為x2=16對應的最優(yōu)子層數及鋪層比例。若7種可行鋪層比例對應的最優(yōu)子層數中存在多個最小的x1，則進一步對比層間應力因子g2，將最小g2對應的子層數x1及鋪層比例X3作為x2=16對應的最優(yōu)子層數及鋪層比例。

通過第二級優(yōu)化和結果對比可以得到每個樣本點對應的最優(yōu)鋪層比例及子層數，利用這些樣本點的值及對應最優(yōu)鋪層比例及子層數建立第一級優(yōu)化系統(tǒng)的代理模型。該代理模型是一個三層徑向基神經網絡，輸入層的節(jié)點個數為1，輸出層節(jié)點個數為3；輸入變量為x2/2，輸出變量為x1及X3/2=(N0/2,N45/2)，如圖2所示。將所有樣本點的優(yōu)化結果作為訓練實例，對徑向基神經網絡進行訓練，從而得到徑向基神經網絡代理模型。

Find:X=(x2,X3)T

Min:m=f(x2,X2)

(4)

圖2 徑向基神經網絡模型

圖3 第一級優(yōu)化設計流程

2.2 第二級優(yōu)化設計

第二級優(yōu)化系統(tǒng)是在給定子層內層數及鋪層比例下優(yōu)化子層數及鋪層順序。本級優(yōu)化分為系統(tǒng)層與子系統(tǒng)層兩個層次進行，優(yōu)化流程如圖4所示。系統(tǒng)層的設計變量為子層數，目標函數為質量最小，約束為層間強度及面內強度滿足要求。系統(tǒng)層的約束函數值g1與g2由子系統(tǒng)層優(yōu)化求解得到。因為目標函數結構質量與子層數成正比，系統(tǒng)層優(yōu)化問題可描述為尋找一個最小的子層數使得結構滿足層間強度及面內強度要求。數學模型如下：

Find:x1

Min:m=f(x1)

Subject to:g1(x1)≤1

g2(x1)≤1

(5)

圖4 第二級優(yōu)化設計流程圖

子系統(tǒng)層是在給定子層內層數0°、±45°、90°的層數、子層數的情況下進行鋪層順序優(yōu)化。子系統(tǒng)層采用遺傳優(yōu)化算法，設計變量為鋪層順序，目標函數為層間應力最小，約束為面內應力滿足強度要求，數學模型如下：

Find:X4

Min:g=g2(X4)

Subject to:g1(X4)≤1

(6)

本文遺傳算法采用文獻[11]中的編碼方法，即數字編碼串的方法，要求每個個體的染色體編碼中不允許有重復的基因碼。選取一種初始鋪層順序，此鋪層編碼對應的角度則是確定的，優(yōu)化后的鋪層經譯碼后可得到相應的角度[11-12]。

第二級優(yōu)化系統(tǒng)的流程圖如圖4所示，系統(tǒng)層設計變量x1的初始值為其設計空間最小值1，往大的方向尋優(yōu)，x1的優(yōu)化步長為1。對于每個系統(tǒng)層設計變量x1，將子系統(tǒng)層優(yōu)化得到的最優(yōu)鋪層順序對應層間應力因子及面內應力因子作為系統(tǒng)層優(yōu)化的約束函數值。若最優(yōu)鋪層順序對應層間應力因子及面內應力因子滿足系統(tǒng)層約束條件，則該子層數為最優(yōu)子層數，優(yōu)化結束，否則子層數加1，再進入子系統(tǒng)層優(yōu)化，直到某一子層數下的最優(yōu)鋪層順序對應層間應力因子及面內應力因子滿足系統(tǒng)層約束條件。

3 算 例

3.1 算例1

由鋪層相同的子層板疊成的復合材料圓管的外徑D=120 mm，長L=500 mm。一端固支，另一端受橫向載荷F=100 kN，如圖5所示。鋪層材料為ZT7H/5429，材料性能如表2所示，強度參數如表3所示，單層厚度為0.125 mm。該復合材料圓管由多個鋪層相同的子層板堆疊而成，需要通過優(yōu)化確定的參數有：子層數、子層內層數、子層內鋪層比例及鋪層順序。

圖5 復合材料圓管模型

彈性常數數 值彈性常數數 值E1/GPa130.1E13/GPa5.45E2/GPa10.4μ120.269E3/GPa10.4μ230.269E12/GPa5.45μ130.269E23/GPa4.098

表3 ZT7H/5429強度參數

子層采用對稱鋪層，子層內層數x2的取值范圍為10～30的偶數，采用試驗設計方法確定x2的樣本點集為{10,16,20,22,26,30}，并根據鋪層工藝要求列出所有可行的鋪層比例。對各個樣本點應用Abaqus二次開發(fā)語言Python實現參數化建模，用Matlab語言編寫遺傳算法，根據圖4所示的優(yōu)化流程，應用Isight集成Matlab實現該優(yōu)化方法。

以x2=16為例，子層內層數x2=16對應的所有可行鋪層比例如表1所示，分別對這些鋪層比例進行第二級優(yōu)化，優(yōu)化結果如表4所示。

表4 各可行鋪層比例對應的最優(yōu)解(x2=16)

從表4可以看出：子層內鋪層比例對總層數(質量)的影響很大，當子層內鋪層比例為N0=2，N45=N-45=6，N90=2時，子層數達到29，總層數為464，而子層內鋪層比例為N0=8，N45=N-45=2，N90=4時，子層數為4，總層數為64；對比表4中子層數，得到x2=16對應的最優(yōu)鋪層比例X3=(8,2)，最優(yōu)子層數x1=4。

子層內層數x2=16，子層內0°、±45°、90°鋪層比例為6∶4∶2時的子層數的優(yōu)化結果曲線如圖6所示。

圖6 第二級系統(tǒng)層優(yōu)化過程

從圖6可以看出：g1和g2都隨著子層數的增加而減小，且隨著子層數的增加g1和g2的斜率減??；子層數較大時g2>g1，層間應力因子g2起臨界約束作用，表明厚復合材料層合板結構的層間破壞比面內破壞先發(fā)生，在厚復合材料結構的設計中必須考慮層間強度。

子層內層數x2=30，子層內0°、±45°、90°鋪層比例為10∶6∶8，子層數x1=3時的鋪層順序優(yōu)化結果曲線如圖7所示。

圖7 最優(yōu)層間應力因子進化過程

從圖7可以看出：遺傳優(yōu)化算法是收斂的，通過遺傳優(yōu)化能夠高效的尋找到最優(yōu)的鋪層順序，從而改進層間應力因子。

分別對各樣本點的所有可行鋪層比例進行優(yōu)化并對比結果，得到各個樣本點對應的對應最優(yōu)鋪層比例及子層數，如表5所示。

表5 各樣本點對應的最優(yōu)解

利用樣本點及其對應的最優(yōu)鋪層比例與子層數建立徑向基神經網絡代理模型，在建立代理模型時，以設計變量x2的所有樣本點及其對應最優(yōu)鋪層比例及子層數為訓練實例，即用表5中的數據進行訓練。該代理模型是一個三層徑向基神經網絡，輸入層的節(jié)點個數為1，輸入變量為x2/2，輸出節(jié)點個數為3，輸出變量分別為x1、N0/2及N45/2。用訓練后的代理模型計算所有x2/2值的x1、N0/2及N45/2，并將徑向基代理模型輸出結果進行四舍五入得到實際結果，如表6所示。

表6 RBF輸出和實際輸出結果

從表6可以看出：x2=20，N0=12，N45=2，x1=3時，總層數最少，厚復合材料圓管結構質量最小。

對x2=20，N0=12，N45=2，x1=3時進行鋪層順序優(yōu)化，得出最優(yōu)鋪層順序為[0/0/-45/0/45/0/0/90/0/90]s。確定該復合材料圓管最優(yōu)尺寸及鋪層為：壁厚7.5 mm，內徑為105 mm，子層數為3，子層鋪層方式為[0/0/-45/0/45/0/0/90/0/90]s。

3.2 算例2

由鋪層相同的子層板疊成的厚復合材料矩形板的尺寸如圖8所示，受三點彎曲，橫向載荷為q。該厚復合材料矩形板的單層板厚度及力學性能同算例1。該板的初始厚度H=15 mm，子層數為6，各子層板的鋪層方式為[0/0/45/-45/0/45/-45/0/90/0]s，載荷q=667 N/mm。該板使用式(2)和式(3)的強度準則，面內應力因子g1=0.35，層間應力因子g2=1.00，剛好發(fā)生層間破壞。為了減輕結構重量，對該板的進行優(yōu)化，設計變量包括：子層數、子層內層數、子層內鋪層比例及鋪層順序。

子層采用對稱鋪層，子層內層數x2的取值范圍為10～30的偶數，采用試驗設計方法，確定x2的樣本點集為{10,16,18,22,26,30}，并根據鋪層工藝要求列出所有可行的鋪層比例。

以x2=16為例，子層內層數x2=16對應的所有可行鋪層比例如表1，分別對這些鋪層比例進行第二級優(yōu)化，優(yōu)化結果如表7所示。

圖8 三點彎曲

N0N45子層數最優(yōu)鋪層順序g1g2總層數249[90/-45/90/-45/45/45/90/0]s0.6040.8191442610[-45/90/-45/45/-45/45/45/0]s0.4680.821160428[90/90/-45/90/90/45/0/0]s0.5580.809128449[90/-45/-45/90/45/45/0/0]s0.3380.734144628[0/0/90/0/90/90/-45/45]s0.2830.753128648[0/0/0/90/-45/45/45/-45]s0.3230.969128827[0/0/90/0/0/-45/90/45]s0.3260.950112

從表7可以看出：子層內鋪層比例對總層數(質量)的影響很大，當子層內鋪層比例為N0=2，N45=N-45=6，N90=2時，子層數達到10，總層數為160，而子層內鋪層比例為N0=8，N45=N-45=2，N90=4時，子層數為7，總層數為112。對比表7中子層數，得到x2=16對應的最優(yōu)鋪層比例X3=(8,2)，最優(yōu)子層數x1=7。

子層內層數x2=16，子層內0°、±45°、90°鋪層比例為6∶4∶2時的子層數的優(yōu)化結果曲線如圖9所示。

圖9 第二級系統(tǒng)層優(yōu)化過程

從圖9可以看出：g1和g2都隨著子層數的增加而減小，且隨著子層數的增加g1和g2的斜率減小；層間應力因子起臨界約束作用，表明厚復合材料層合板結構的層間破壞比面內破壞先發(fā)生，在厚復合材料結構的設計中必須考慮層間強度。

子層內層數x2=28，子層內0°、±45°和90°鋪層比例為16∶4∶4，子層數x1=4時的鋪層順序優(yōu)化結果曲線如圖10所示。

圖10 最優(yōu)層間應力因子進化過程

從圖10可以看出：遺傳優(yōu)化算法是收斂的，通過遺傳優(yōu)化能夠高效的尋找到最優(yōu)的鋪層順序，從而改進層間應力因子。

分別對各樣本點的所有可行鋪層比例進行優(yōu)化并對比結果，得出各個樣本點對應的對應最優(yōu)鋪層比例及子層數，如表8所示。

表8 各樣本點對應的最優(yōu)鋪層比例及子層數

同理，利用樣本點及其對應的最優(yōu)鋪層比例與子層數建立徑向基神經網絡代理模型。使用訓練后的代理模型計算所有x2/2值的x1、N0/2及N45/2，并將徑向基代理模型輸出結果進行四舍五入得出實際結果，如表9所示。

表9 RBF輸出和實際輸出結果

從表9可以看出：當x2=16，N0=8，N45=2，x1=7(第一組)和x2=28，N0=16，N45=4，x1=4(第二組)時，總層數同時達到最小值112，該板質量最小。

再對這兩組厚板進行鋪層順序優(yōu)化，得出：第一組的最優(yōu)鋪層順序為[0/0/90/0/0/-45/90/45]s，對應的g1=0.326，g2=0.950；第二組的最優(yōu)鋪層順序為[45/0/0/0/0/45/0/0/90/0/-45/0/90/-45]s，對應的g1=0.395，g2=0.986，可以看出第一組的g2小于第二組的g2，故該板的最優(yōu)解為x2=16，N0=8，N45=2，x1=7(第一組)，鋪層順序為[0/0/90/0/0/-45/90/45]s。與初始設計的子層鋪層方式[0/0/45/-45/0/45/-45/0/90/0]s，子層數為6相比，結構質量減小6.67%，表明該優(yōu)化算法是有效的。

4 結 論

(1) 本文針對具有周期性鋪層方式的厚復合材料層合板結構的子層數、子層內層數、子層內鋪層比例及鋪層順序的優(yōu)化設計提出了一種多級優(yōu)化設計方法。在優(yōu)化設計過程中，考慮了面內強度及層間強度約束，使優(yōu)化后的厚復合材料結構在設計載荷作用下不發(fā)生層間破壞。多級優(yōu)化設計方法將厚復合材料層合板的復雜優(yōu)化問題分解為多個層次進行優(yōu)化，從而將具有不同量綱、對結構影響程度不同的設計變量分離，實現了厚復合材料結構的優(yōu)化設計。

(2) 通過算例表明了本文提出的優(yōu)化方法的有效性，能夠很好地實現具有周期性鋪層方式的厚復合材料層合板結構的優(yōu)化設計。該優(yōu)化方法為厚復合材料結構的初始設計提供了思路，具有重要的工程實用價值。

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