楊俊祥

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，有些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解存在錯(cuò)誤的認(rèn)知，認(rèn)為建立數(shù)學(xué)模型只是為了完成一個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù).這些學(xué)生沒有意識(shí)到建模思路是一種重要的學(xué)習(xí)思路.將建模思路應(yīng)用到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，有利于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型深入理解知識(shí)，也有利于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型靈活解決各類問題.

一、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決幾何問題

現(xiàn)以探討平行四邊形的周長(zhǎng)為例說明幾何問題是不是模型問題.平行四邊形的周長(zhǎng)公式是“C=2（a+b）”.那么，能否把這一公式理解為函數(shù)呢？假設(shè)把C作為要探討的對(duì)象，如果知道了a，就可以把C視為C=2a+2b.此時(shí)我們可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為模型問題來解決，應(yīng)用探討一次函數(shù)的方法來探討幾何問題.如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，并且要求CD恒大于DA.已知DA=2.在AC上任取兩點(diǎn)P、Q，它們同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC方向與DA方向移動(dòng)，在AC作垂線段QR，讓QR=PQ，連接PR，當(dāng)點(diǎn)Q與A點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)PQ=x，△PQR與△ABC重疊部分的面積為S.以上數(shù)學(xué)問題的函數(shù)圖象如圖2.根據(jù)圖像求n是多少？我們可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解：當(dāng)x=87時(shí)，△PQR與△ABC重疊部分的面積等于△PQR的面積.因?yàn)镻Q=87，并且QR=PQ，所以可得QR=87，計(jì)算得n=S=12×872=3249.

二、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決統(tǒng)計(jì)問題

在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決統(tǒng)計(jì)問題的時(shí)候，有些學(xué)生想到的是找到統(tǒng)計(jì)問題的變量，一個(gè)變量為x，另一個(gè)變量為y，然后探討x與y的關(guān)系.他們認(rèn)為模型問題不就是探討一個(gè)變量和另一個(gè)變量關(guān)系的問題嗎？這樣看待統(tǒng)計(jì)問題，說明學(xué)生對(duì)模型問題的認(rèn)知還停留在解決問題上，而不是創(chuàng)造問題上.

例如，現(xiàn)有一個(gè)游戲，游戲中有A、B、C、D四個(gè)NPC，應(yīng)用魔法攻擊值、物理攻擊值力、移動(dòng)力、魔法力四項(xiàng)指標(biāo)來描述這四個(gè)NPC的能力.現(xiàn)假設(shè)魔法攻擊值、物理攻擊值力、移動(dòng)力、魔法每項(xiàng)可設(shè)計(jì)的參數(shù)為1～100，并且總能力都為100.（1）請(qǐng)分別設(shè)計(jì)突出A、C、B、D這四項(xiàng)指標(biāo)某一項(xiàng)的模型（即突出的值超過四項(xiàng)參數(shù)的平均值）.（2）假設(shè)要調(diào)整四項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重，那么如何讓總能力都為100，并且突出四項(xiàng)指標(biāo)中某項(xiàng)數(shù)值呢？可以看到，（1）探討的是總能力y與四項(xiàng)指標(biāo)參數(shù)之間的關(guān)系；（2）中要求學(xué)生自由設(shè)計(jì)四項(xiàng)參數(shù)的權(quán)重，并讓四項(xiàng)參數(shù)的權(quán)重達(dá)到總能力值的要求.我們要應(yīng)用結(jié)合建模的需求調(diào)整建模參數(shù)的思路來看待建模問題.只有應(yīng)用這樣的方式看待統(tǒng)計(jì)問題，學(xué)生看待問題的視角才能宏觀化，才能結(jié)合需求擬訂復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)據(jù)問題.

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決計(jì)算問題

在遇到數(shù)學(xué)計(jì)算問題時(shí)，如果巧妙應(yīng)用模型思路，學(xué)生就能快速解決各種計(jì)算問題.這種計(jì)算思路經(jīng)常被應(yīng)用到估算驗(yàn)算中.

例如，現(xiàn)有一個(gè)圓形水池，它的面積是800m2.有人說水池的半徑是18m，對(duì)不對(duì)？我們可迅速建立估算模型.圓形水池的計(jì)算面積公式為要S=πr2，即r=800π≈8003=266≈16（式1）.結(jié)合這一計(jì)算模型，我們可以應(yīng)用（式1）估算答案.可以看到，18與16平方后答案相距甚遠(yuǎn)，這個(gè)答案一定不對(duì).我們還可以應(yīng)用建模思想逆向思考答案：S=182×π=324×3≈950.這一模型的計(jì)算方案簡(jiǎn)捷明了，更易計(jì)算出問題的答案.

總之，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，學(xué)生要應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來轉(zhuǎn)化問題，把各種非數(shù)學(xué)模型的問題應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式的方式來解決，這是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用；學(xué)生要結(jié)合解決問題的需求應(yīng)用數(shù)學(xué)模型宏觀規(guī)劃問題，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來分析、規(guī)劃復(fù)雜問題的常用方法；學(xué)生要利用數(shù)學(xué)模型抽象性的特點(diǎn)，把復(fù)雜的具象問題抽象為簡(jiǎn)單的抽象問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來化簡(jiǎn)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.只有靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，學(xué)生才能高效解決各種數(shù)學(xué)問題.