胡其忠

所謂反例，是指與命題相反的例子.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用反例，是為了讓學(xué)生對(duì)命題中的條件形成準(zhǔn)確了解，或者是針對(duì)學(xué)生的懷疑之處予以解惑.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生會(huì)忽視命題中的一些條件或者條件的適用范圍，導(dǎo)致在應(yīng)用命題時(shí)頻發(fā)錯(cuò)誤.應(yīng)用反例，能使學(xué)生對(duì)命題中的條件或條件的適用范圍形成深刻認(rèn)知，在應(yīng)用命題時(shí)付諸注意.反例教學(xué)，有利于打破學(xué)生的思維定式，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要巧妙應(yīng)用反例.

一、利用反例，明晰概念

數(shù)學(xué)概念大都是抽象的.要想使處在抽象思維形成時(shí)期的初中學(xué)生準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)概念，教師就要在教學(xué)中予以條分縷析，否則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的誤讀.針對(duì)概念中的條件舉出反例，能夠幫助學(xué)生識(shí)清概念.在學(xué)習(xí)概念時(shí)，因?yàn)橹R(shí)的負(fù)遷移，學(xué)生會(huì)混淆一些概念.如果教師僅僅依靠正例教學(xué)，學(xué)生就會(huì)是一知半解，甚至一點(diǎn)不解，對(duì)于概念的掌握只會(huì)停留在片面的字句上.這時(shí)，教師要大膽地摒棄正例，應(yīng)用反例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清概念的本質(zhì)，避免學(xué)生混淆概念.

例如，在講“函數(shù)”時(shí)，教材將函數(shù)定義為對(duì)于變量x的每一個(gè)值y都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng).有些學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解不正確，以為只要y隨著x的變化而變化，那么y就是x的函數(shù)，甚至有些學(xué)生對(duì)x和y的代表性也不理解，換了字母表示，便產(chǎn)生了質(zhì)疑，思維過(guò)于僵化.如果教師一味地應(yīng)用正例教學(xué)，學(xué)生不僅不能認(rèn)識(shí)到自己理解概念的錯(cuò)誤，反而會(huì)加深錯(cuò)誤印象.教師可以舉出反例，讓學(xué)生理解函數(shù)概念，糾正學(xué)生的理解偏差.（1）如果y=|x|，那么y是不是x的函數(shù)？（2）如果|y|=x，那么y是不是x的函數(shù)，x是不是y的函數(shù)？（3）同學(xué)們的學(xué)習(xí)成績(jī)是不是學(xué)習(xí)時(shí)間的函數(shù)？在學(xué)習(xí)這些例子之后，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的概念便會(huì)形成鮮明的認(rèn)知.在（1）中，對(duì)于x，y是唯一的對(duì)應(yīng)值，因此y是x的函數(shù).在（2）中，對(duì)于x，y不是唯一的對(duì)應(yīng)值，因此y不是x的函數(shù).在（3）中，對(duì)于學(xué)習(xí)時(shí)間而言，學(xué)習(xí)成績(jī)具有偶然性，學(xué)習(xí)時(shí)間不是影響學(xué)習(xí)成績(jī)的唯一因素.

二、利用反例，明確定理與推論的適用范圍

真理之所以是真理，是因?yàn)槠鋺?yīng)用在一定的范圍內(nèi).初中數(shù)學(xué)中的定理和推論也是如此，有著明確的應(yīng)用范圍.然而，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，有些學(xué)生忽視一些定理和推論的應(yīng)用范圍，導(dǎo)致在做題時(shí)出錯(cuò).教師要應(yīng)用反例進(jìn)行教學(xué)，引起學(xué)生對(duì)定理和推論適用范圍的重視.

例如，在講“一元二次方程的實(shí)數(shù)根判別式”時(shí)，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果方程有實(shí)數(shù)根，則判別條件△=b2-4ac≥0；如果方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，△>0.這里特別需要注意的是a≠0.如果忽視這個(gè)條件，學(xué)生解題就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.此時(shí)教師可以舉一些反例進(jìn)行教學(xué).如，如果方程tx2-3x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求t的取值范圍.有的學(xué)生根據(jù)題意得出△=（-3）2-4×2×t>0，從而求得t<98.這個(gè)答案顯然不正確.因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.此題的答案為t<98且t≠0.通過(guò)這個(gè)例子，學(xué)生便會(huì)對(duì)判別式中a≠0（確定是一元二次方程）這個(gè)條件形成深刻的認(rèn)知.

又如，在講“韋達(dá)定理時(shí)，韋達(dá)定理中提到方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根與方程中系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=-ba，x1x2=ca.這個(gè)定理常常被用來(lái)求取由兩根組成的關(guān)系式的值，是一種便捷解題方式.但是韋達(dá)定理有一個(gè)適用范圍，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根或者是函數(shù)與x軸有公共點(diǎn).在使用韋達(dá)定理解題時(shí)，學(xué)生常常忽略這個(gè)適用范圍.為了提醒學(xué)生注意，教師可以舉一個(gè)反例：如果方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0的兩根為x1和x2，求x12+x22的取值范圍.有的學(xué)生是這樣解答此題的：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-k2-10k-6=-（k+5）2+19≤19.乍一看合情合理，可是并不是正確答案.如果把終點(diǎn)值19代入，即-k2-10k-6=19，由此解得k=-5，再把k的值代入方程中，方程變?yōu)閤2+7x+15=0.這個(gè)方程△=72-4×15=-11<0，方程并沒(méi)有實(shí)數(shù)根，與題意相違背.這道題學(xué)生錯(cuò)就錯(cuò)在沒(méi)有將方程有實(shí)數(shù)根考慮在內(nèi)，即忽視了韋達(dá)定理的適用范圍.其實(shí)，這道題的解答還要加上一個(gè)條件（k-2）2-4（k2+3k+5）>0，解得-4

總之，反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，能使學(xué)生對(duì)概念、定理與推論的諸條件與適用范圍形成清晰的認(rèn)知.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于應(yīng)用反例，提高教學(xué)效率.