羅永輝

(廣東省佛山市南海九江中學(xué) 528000)

數(shù)形結(jié)合是很重要的數(shù)學(xué)思想,由于利用了抽象的數(shù)與具體的形之間一一對應(yīng)的關(guān)系,從而使推算及判斷過程大大簡化,簡明快捷,十分有效.但是由于判斷和推理依賴的是圖形的直觀性,且圖形又具局限性,其嚴(yán)密性差等特點,還有數(shù)形之間并不等價,因此常引起判斷失誤,產(chǎn)生錯解,影響教學(xué)效果.下面剖析幾類常見的錯誤,以期引起重視.

一、因作圖缺準(zhǔn)而產(chǎn)生的錯誤

借助圖形解題,不但要盡量準(zhǔn)確地描繪出曲線的圖形,還要注意同一坐標(biāo)系中不同圖象的相對位置.

例1 判斷方程lnx-x+1=0的實根個數(shù).

錯解將原方程轉(zhuǎn)化為lnx=x-1，令f(x)=lnx,g(x)=x-1，在同一直角坐標(biāo)系中作出圖象，如圖1.可以很容易判斷出有兩個實根.

圖1 圖2

剖析其實g(x)=x-1剛好與f(x)=lnx相切，切點為(1,0).正確圖象如圖2所示.故有一個實根.

二、忽略圖形的存在性而造成的錯誤

有時當(dāng)問題的結(jié)論不太明朗時,憑主觀臆測,結(jié)果會使問題無中生有,會使錯誤的結(jié)論變得順理成章.

例2 如果拋物線y2=6x與圓(x-a)2+y2=4沒有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.

錯解如圖3.圓心在圓與拋物線內(nèi)切與外切圓圓心之間時都有交點,反之無公共點,顯然a= -2時外切,再把拋物線代入圓方程消去y得:

x2+(6-2a)x+a2-4=0.

(*)

圖3 圖4

所以a的取值范圍是a<-2或a>2.

三、忽略圖形的整體性而造成的失誤

在同一坐標(biāo)系中作出幾個函數(shù)的圖象來比較時，我們一定要注意函數(shù)圖象的延伸趨勢以及伸展“速度”.因為我們畫出的只是函數(shù)圖象的一小部分，而不是全部.

例3 方程2x-x100=0的解的個數(shù)是 ( )

A.0個 B.1個 C.2個 D.3個

剖析正確的答案是D.但多數(shù)的學(xué)生卻選了C.其方法是把方程轉(zhuǎn)化為兩曲線y=2x與y=x100交點的個數(shù)即是解的個數(shù),方法和思路是對的.但他們卻作了如圖5的圖象,并據(jù)此選了C.但這個圖象只是局部而并非整體,在x充分大時,兩曲線還有一個交點.但這個交點離原點太遠了,我們很難作出.

我們可從y=2x與y=x2的交點來幫助理解例3的另一交點(如圖6).

圖5 圖6

數(shù)形結(jié)合解題,雖然有這樣或那樣的失誤,但仍不失為一種解題的好方法.不過如華羅庚所說的: “數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.” 所以只有認真分析,精確作圖,并配以嚴(yán)密的推理與驗證,才能使數(shù)與形互相補充,起到既提高解題速度,又保證解題質(zhì)量的效果.

參考文獻：

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[2]童其林.用數(shù)型結(jié)合思想方法解題時的常見錯誤分析 [J].廣東教育(高中),2014(1): 24-27

[3]劉樺.談運用數(shù)型結(jié)合法解題的誤區(qū) [J].中學(xué)數(shù)學(xué),1995(9): 41-43