朱珊珊，羅 棋

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130000）

1 問題的提出

具體問題如下，一位5歲孩子的母親，打算拿出積蓄的一部分10萬元存入銀行，年利率為10%，計算在孩子適婚年齡 25歲時取出這筆錢，并且要留下1萬元用作一家人旅游的事宜。根據(jù)這位母親的需要，每年至少支出0.5萬元至多支出1.5萬元作為孩子的日常開銷。則 20年里從銀行取出的總金額

其中 x(t)表示第 t年存入銀行的總錢數(shù)，u(t)第 t年支取的錢數(shù)。

該筆資金的最優(yōu)管理問題即為使 20年后從銀行取出的金額 J(u)最大，第 t年應(yīng)支取多少u(t)。也就是尋求u( t)∈Ω，使得系統(tǒng)(3)-(4)成立，并使J(u)取最大值。本文先給出解決此類問題的一般方法。

考慮初始時刻和終止時刻已定，初端給定，終端自由的最優(yōu)控制問題。

控制系統(tǒng)為(p)(1)目標(biāo)泛函為混合型性能指標(biāo)(2)。

2 問題的求解

為解決最優(yōu)控制問題(1)-(2)，給出如下假設(shè)、定義和引理。

假設(shè)如下條件成立： f（ x， u）， Φ （x）是自變量的連續(xù)函數(shù)，

存在且連續(xù)。

f（ x， u）關(guān)于x滿足Lipschitz條件，即當(dāng)U1?U為有界集時，存在一個常數(shù)a＞0，使得對任意的 u∈U1，只要x1， x2∈Rn，都有

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Ω中的函數(shù)u為分段連續(xù)函數(shù)，只有第一類間斷點。

本文研究以混合型性能指標(biāo)泛函為目標(biāo)函數(shù)的控制問題，針對問題(1)-(2)給出如下引理。

引理 ［4］設(shè) Φ （x）和f（ x， u）關(guān)于x具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，如果 u*（t）∈Ω和t1是使性能指標(biāo)

為哈密頓函數(shù)。由此最優(yōu)控制問題(1)及(2)得以解決。

3 應(yīng)用舉例

利用最大值原理求解上文中提出的個人理財問題。

哈密頓函數(shù)為

根據(jù)龐特里亞金最大值原理，u*( t)應(yīng)使哈密頓函數(shù)達(dá)到最大值，因此

即最優(yōu)管理策略為：在6年以前每年取0.5萬元，6年以后每年取1.5萬元，共取出24萬元。

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