夏世威,白雪峰,陳士麟,郭志忠,徐 英

(1. 哈爾濱工業(yè)大學 電氣工程系,黑龍江 哈爾濱 150001；2. 臺灣中原大學 電機系,臺灣 桃園 30013；3. 華北電網(wǎng)有限公司 華北電力調(diào)度通信中心，北京 100053)

0 引言

相較于逐點判斷穩(wěn)定性的時域仿真法[1-2]，動態(tài)安全域(DSR)是判斷系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的另一方法。DSR是針對特定故障定義在注入功率空間上的功率集合[3]，若某功率注入向量在DSR內(nèi)，則系統(tǒng)在經(jīng)歷了既定故障后能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定，反之則失穩(wěn)。在實際運用中，對DSR進行離線計算，并進行在線匹配，依據(jù)注入是否位于安全域內(nèi)快速判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且根據(jù)距離穩(wěn)定域邊界的距離給出穩(wěn)定裕度，因此運行人員能夠獲得更為直觀的穩(wěn)定程度和輔助控制決策信息。

DSR的計算方法主要有擬合法和解析法。擬合法通過對系統(tǒng)進行大量的仿真計算，得到足夠多的系統(tǒng)臨界運行點，繼而利用最小二乘方法擬合得到DSR的邊界超平面。文獻[4]采用擬合法對華中電網(wǎng)求取了描述各節(jié)點注入功率上、下限的垂直于坐標軸的平面和暫態(tài)穩(wěn)定性臨界點構(gòu)成的超平面，并初步證實了其有效性。為了改進擬合法計算量大、耗時長的缺陷，有研究通過擬合降維的動態(tài)等值系統(tǒng)的臨界超平面，然后逆動態(tài)等值還原并修正得到原系統(tǒng)的超平面系數(shù)[5]。文獻[6]通過截距法進一步減少了臨界穩(wěn)定點的搜索數(shù)量和搜索難度，取得了較好的效果。另一方面，有學者研究得到了DSR的實用解析法。文獻[7]將溢出點的暫態(tài)穩(wěn)定域邊界法矢量近似為常數(shù)，依據(jù)在臨界注入下該法矢量與事故后系統(tǒng)軌跡切向量的正交性，推導了DSR邊界的表達式。文獻[8-9]提出了全域?qū)嵱媒馕龇ǎ却_定一個基本臨界注入點，繼而在基本臨界注入點處對事故前、事故中和事故后的系統(tǒng)進行功率小擾動分析，從而獲得安全域邊界超平面的解析式，該方法的弊端是需要迭代求解主導不穩(wěn)定平衡點，而該平衡點的求解本身就很復雜且存在收斂性問題。文獻[10]基于能量裕度，借助功率擾動分析的方法推導了DSR的實用判據(jù)，并簡單分析了單機無窮大母線系統(tǒng)的穩(wěn)定域，但對復雜的多機系統(tǒng)并未分析。無論是擬合法或是解析法求解DSR，都至少需要計算1個臨界功率點，而以上文獻中均是采用數(shù)值仿真法得到臨界功率點，即采用正交表控制功率增長方向試探得到臨界功率點或在穩(wěn)定與不穩(wěn)定功率點之間連線進而采用二分法求得臨界功率注入點，顯然這種臨界功率點的求解基本是試探式的時域仿真判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，因此效率較低。

軌跡靈敏度法[11-12]為臨界點的快速求取提供了堅實的基礎，其本質(zhì)為一組描述控制變量導數(shù)的微分方程，因此改進軌跡靈敏度微分方程求解效率也頗為重要。文獻[13-14]已證明高階Taylor級數(shù)法可以極大提高暫態(tài)穩(wěn)定分析效率，因此本文進一步挖掘高階Taylor技術，推導軌跡靈敏度的高階Taylor級數(shù)遞推求解形式；基于勢能界面(PEBS)法的能量函數(shù)表達式和高階Taylor級數(shù)軌跡靈敏度方法，計算能量裕度靈敏度從而迭代求解臨界功率注入點；采用功率臨界點的能量裕度靈敏度，快速求取電力系統(tǒng)有功功率注入空間上的DSR。

1 電力系統(tǒng)的實用DSR

文獻[3-10]展現(xiàn)了電力系統(tǒng)DSR是Rn空間上的超多面體，它由描述各節(jié)點決策變量上、下限的垂直于坐標軸的平面和描述暫態(tài)穩(wěn)定臨界點的超平面圍成。當系統(tǒng)無功功率就地平衡時，有功功率改變對電壓水平影響很小，只考慮有功注入空間上的DSR超平面為[6-9]：

(1)

其中，n為注入節(jié)點數(shù)；ai為超平面方程的系數(shù)；Pmi為節(jié)點有功功率。在DSR內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定，在此區(qū)域外系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。本文采用能量裕度靈敏度方法求取電力系統(tǒng)實用DSR。

2 能量裕度靈敏度分析

(2)

(3)

(4)

(5)

由Cij=EiEjBij、Dij=EiEjGij得：

(6)

(7)

一般情況下，當機組有功出力調(diào)整引起系統(tǒng)運行點變化不劇烈時，系統(tǒng)網(wǎng)損變化很小或近似不變，機組機械注入功率變化引起的不平衡功率由平衡機組承擔，因此由發(fā)電機z機械功率變化引起的發(fā)電機i的注入網(wǎng)絡有功功率變化為：

(8)

將PEBS能量函數(shù)法運用于復雜模型時，可以考慮發(fā)電機的高階模型、勵磁系統(tǒng)動態(tài)模型、HVDC模型和負荷特性，此時的能量函數(shù)較復雜，系統(tǒng)的動能表達不變，但系統(tǒng)總勢能包含了隨電壓變化的有功、無功負荷勢能以及發(fā)電機電抗和線路中的磁能[14-16]。最終能量裕度的靈敏度都依賴于系統(tǒng)狀態(tài)變量的導數(shù)，可以運用類似上述過程得出。

3 Taylor級數(shù)軌跡靈敏度計算

3.1 Taylor級數(shù)求解軌跡靈敏度分析

進行靈敏度分析時，需要計算系統(tǒng)狀態(tài)量對控制量的偏導數(shù)隨時間的變化情況。式(2)對控制變量第z臺發(fā)電機有功功率Pmz求導得：

(9)

由于本文采用的是經(jīng)典二階模型，內(nèi)電勢對有功偏導為常數(shù),而功角對有功偏導、轉(zhuǎn)速對有功偏導是時間的函數(shù)，可通過Euler法、隱式梯形法求解軌跡靈敏度微分方程式(9)獲得,本文采用高階Taylor級數(shù)法求解式(9)(見3.3節(jié))。對于采用復雜的發(fā)電機模型，內(nèi)電勢為狀態(tài)變量且隨時間變化，須通過復雜模型的暫態(tài)穩(wěn)定微分方程求解；此時內(nèi)電勢對有功偏導也為隨時間變化的狀態(tài)量，在通過穩(wěn)態(tài)求得內(nèi)電勢對有功偏導的初值后，通過類似的軌跡靈敏度微分方程求解，過程和本文相似。靈敏度方程式(9)實質(zhì)為微分方程，需計算微分方程初值，第一式的初值較復雜見3.2節(jié)，而第二式的初值為0。

3.2 軌跡靈敏度初值計算

在n節(jié)點系統(tǒng)中，設有m個PQ節(jié)點和n-m-1個PV節(jié)點，由潮流方程得發(fā)電機端口的有功和無功分別為：

(10)

(11)

令節(jié)點電壓相量為Y=[δ1,δ2,…,δn-1,V1,V2,…,Vm]T，控制變量為U,則上式可簡記為：

G(Y,U)=0

(12)

將式(12)等號左右兩邊同時對控制變量求偏導得：

(13)

其中，GU、GY分別為潮流方程對控制變量和代數(shù)變量的導數(shù)，GY實質(zhì)是潮流計算的雅可比矩陣如式(14)所示。

(14)

當控制變量U為第z臺發(fā)電機有功功率Pmz時，有：

(15)

式(15)中元素1所在位置為第z臺發(fā)電機有功功率Pmz所在的節(jié)點。

(16)

將式(16)中電流用節(jié)點有功和無功代替得：

(17)

整理得：

(18)

(19)

將式(10)、(11)代入式(18)、(19)得到：

fi1=Eicosθi-Vicosδi+

(20)

fi2=Eisinθi-Visinδi-

(21)

令X=[E1,θ1,E2,θ2,…,Ek,θk]T，k為n節(jié)點系統(tǒng)中發(fā)電機臺數(shù)，則系統(tǒng)中所有發(fā)電機形如式(20)、(21)的等式方程可簡記為：

F(X,Y)=[F1,F2,…,Fi,…,Fk]=0

(22)

其中，F(xiàn)i=[fi1,fi2]T。式(22)對U全微分得：

(23)

將式(13)代入式(23)得：

(24)

a.FX計算。

(25)

由式(20)、(21)易得：

因此式(25)是分塊對角陣，對角線元素為對應節(jié)點的功率平衡方程對狀態(tài)變量的導數(shù)。

b.FY計算。

(26)

由式(20)、(21)得下面2種導數(shù)表達式。

當i=j時，表達式為：

當i≠j時，表達式為：

?Fi/?δj=[AB]T

?Fi/?Vj=[CD]T

cosδi(Gijcosδij+Bijsinδij)]

cosδi(Bijcosδij-Gijsinδij)]

cosδi(Gijsinδij-Bijcosδij)]

sinδi(Gijsinδij-Bijcosδij)]

因此式(26)為所有元素均非零的矩陣。將式(14)、(15)、(25)、(26)代入式(24)得到：

(27)

式(27)的物理意義為當?shù)趜臺發(fā)電機有功功率Pmz變化時引起的狀態(tài)變量(發(fā)電機內(nèi)電勢幅值和相角)的變化量。上式也是軌跡靈敏度分析的基礎，為軌跡靈敏度微分方程式(9)中的第一式提供初值。

3.3 高階Taylor級數(shù)軌跡靈敏度計算

式(9)兩邊分別對時間t求導，式(9)中第一部分高階導數(shù)為0，因此得：

(28)

可以看出式(28)的高階導數(shù)取決于A(m-2)、B(m-2)的求取。記：

(29)

則有：

(30)

由牛頓二項式公式得到：

(31)

于是A(m-2)計算如下：

(32)

(33)

圖1 軌跡靈敏度高階導數(shù)依存關系Fig.1 Relationship among higher-order derivatives of trajectory sensitivity

4 能量裕度求取功率臨界點

注入空間上動態(tài)安全分析臨界點的判據(jù)為：對于給定事故及切除時間，若在注入I下，事故后系統(tǒng)保持暫態(tài)穩(wěn)定；而當注入變?yōu)镮+ΔI時，事故后系統(tǒng)失去穩(wěn)定，則注入I即為臨界注入點。此時，臨界點的精確度與在臨界點附近的搜索步長ΔI的大小密切相關，須滿足ΔI小于給定誤差精度。大部分文獻采用正交表控制功率增長方向，結(jié)合固定步長試探法或穩(wěn)定與不穩(wěn)定功率點之間二分法求得臨界功率注入點，可見此過程比較費事。而當穩(wěn)定裕度靈敏度已知時，很容易采用迭代的方式快速求得臨界功率注入點，相比于固定步長試探法或二分法更快捷。

以下結(jié)合能量裕度靈敏度來求解臨界功率注入點。設功率為P=[Pm1,Pm2,…,Pmk]T時，能量裕度為ΔV0，則臨界點的功率滿足：

(34)

若參與出力調(diào)整的機組的功率變化量大小按機組額定容量的比例進行調(diào)整，功率調(diào)整方向按能量裕度靈敏度正負確定，則有：

(35)

其中，SiN為第i臺機組的額定容量。

式(34)、(35)包含k個方程，與功率變化量個數(shù)相同，因此可得到下一次更精確的臨界功率注入點。經(jīng)過多次迭代之后，便可求得準確的功率臨界點。該臨界功率的精度可以由能量裕度ΔV0來保證，即ΔV0足夠小時，即認為找到滿足要求的臨界功率注入點。同時注意到，相比于原描述系統(tǒng)的動態(tài)微分方程，應用本文的能量裕度靈敏度求取臨界點添加了靈敏度的微分方程求解，在一定程度上增加了計算復雜性和計算量，但提出的Taylor級數(shù)法的大步長提高了計算效率。同時相比于以往試探的二分法式的時域仿真?zhèn)鹘y(tǒng)方法，本文方法只需要較少次數(shù)的迭代便可求得臨界點，因此明顯減少了計算量。特別對于大系統(tǒng)而言，試探性的二分法有更多組合式的功率增長方向和試探次數(shù)，會產(chǎn)生巨大的計算量甚至不可能得到臨界點。本文采用的能量裕度靈敏度只需經(jīng)過較少次數(shù)的迭代即可求得臨界點。

5 能量裕度的DSR分析

(36)

表1 New England系統(tǒng)能量裕度靈敏度及臨界點
Table 1 Energy margin sensitivity and critical power for New England power system

有問題有問題有問題有問題迭代次數(shù)參數(shù)PG30PG31PG32PG33PG34PG35PG36PG37PG38PG39裕度1功率2.505.71846.506.325.086.505.605.408.3010.00靈敏度0.7839-0.1817-0.1988-2.0496-1.5504-1.9186-2.11630.3744-0.24251.13903.39412功率2.36924.70596.84016.65075.34586.84015.89305.11758.73439.4768靈敏度0.33870.2205-0.3838-2.2584-1.8068-2.1240-2.30200.0190-0.62060.57130.53033功率2.34914.55096.89266.70175.38686.89265.93825.07398.80139.3961靈敏度0.29220.2454-0.3928-2.2387-1.8005-2.1063-2.2793-0.0126-0.64660.51080.0906DSR系數(shù)-0.0054-0.00450.00720.04100.03300.03860.04170.00020.0118-0.0094

表2 New England系統(tǒng)DSR有效性檢驗Table 2 Validity test of DSR for New England power system

注：S與U分別表示系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定與不穩(wěn)定。

(37)

由上述能量裕度靈敏度得到的超平面方程只是DSR邊界估計，為評價超平面準確度，采用臨界點Xj=[xj1,xj2,…,xjk]到超平面的距離與臨界點自身的模值的比值來量化誤差[8-9]，如式(38)所示。

(38)

6 算例分析

算例采用New England 10機39節(jié)點系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)參見文獻[17]，本節(jié)計算結(jié)果中機組功率均為基準功率100MW下的標幺值。所分析的DSR對應的故障為：線路15-16靠近節(jié)點15處發(fā)生三相接地故障，在0.2s切除故障線路。臨界點的能量裕度誤差取為0.1，即當系統(tǒng)在某一功率向量下，能量裕度0<Δv<0.1時，此功率向量便是臨界功率。可以根據(jù)功率臨界點精度要求，選取不同的能量裕度誤差閾值。本文中選擇0.1已經(jīng)足夠精確。初始功率取為該系統(tǒng)的標準功率，表1給出了采用靈敏度方法求得的系統(tǒng)臨界點，表中PGi表示接在系統(tǒng)中節(jié)點i處的機組?？梢钥闯?，采用能量靈敏度的方法只需要3次迭代便可以得到臨界功率點，相比于采用二分法或是試探的方法，更簡潔快速，需要的計算量顯著減小。

表1最后一行給出了DSR的系數(shù)。采用本文方法快速求出了512個功率臨界點，由式(38)求得最大誤差為0.45%?？梢钥闯鲈撜`差較小，證明了本文方法的有效性。表2進一步通過時域仿真法驗證了本文求出的DSR的效果。當∑aiPmi接近于1時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，時域仿真法求出的臨界切除時間(CCT)為0.2s，與故障設定的切除時間相同。當∑aiPmi<1時，系統(tǒng)穩(wěn)定裕度較大，臨界切除時間大于0.2s；當∑aiPmi>1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，臨界切除時間小于0.2s，且∑aiPmi越大，臨界切除時間越小，系統(tǒng)越不穩(wěn)定。為進一步證明本文方法的有效性，表3給出了更多故障條件下的DSR系數(shù)及對大量臨界點的誤差檢驗，表中不同故障條件下的誤差分布在7%以內(nèi)，且大部分在1%左右，證實了能量靈敏度DSR方法的有效性。

表3 New England系統(tǒng)DSR系數(shù)
Table 3 Coefficients of DSR for New England power system

故障支路故障清除時刻/sDSR系數(shù)PG30PG31PG32PG33PG34PG35PG36PG37PG38PG39誤差/%25?-260.22-0.0187-0.00010.00100.00460.00430.00540.00530.12710.0347-0.00740.276?-110.250.0235-0.0139-0.00550.01940.02000.01940.01920.02200.02040.02670.661?-20.200.0268-0.00480.00790.02720.01520.02930.02960.06150.0832-0.11424.252?-250.20-0.0426-0.00060.00330.01350.00930.01490.01820.08000.0602-0.02190.483?-40.20-0.09260.03820.04460.03770.01560.04240.0584-0.01470.0877-0.13216.763?-180.20-0.09680.03030.04280.04380.02010.06090.0698-0.05360.0778-0.11916.334?-50.200.0241-0.01660.00890.01960.02020.01960.01940.02250.02110.02650.494?-140.200.0240-0.01660.00990.01990.02030.01980.01960.02250.02140.02560.355?-60.200.0214-0.01310.01070.01960.01980.01950.01950.02070.02020.02270.115?-80.200.0214-0.01330.01160.01960.01980.01970.01950.02070.02020.02260.126?-70.200.0211-0.01260.01140.01940.01960.01940.01940.02050.02000.02230.107?-80.220.0216-0.01560.01250.02000.02020.02000.01990.02100.02070.02310.198?-90.220.0217-0.01420.00890.01940.01980.01940.01930.02080.02030.023109?-390.220.0243-0.02520.01460.02230.02280.02230.02220.02380.02350.02681.0710?-110.220.0328-0.0192-0.05400.02650.02720.02650.02630.03070.02880.03610.3910?-130.220.0305-0.0186-0.04310.02500.02540.02500.02480.02860.02700.03410.5013?-140.220.0359-0.0202-0.06600.02670.02760.02690.02640.03280.03010.04150.3914?-150.220.0296-0.0197-0.01580.02070.02170.02090.02040.02690.02540.03350.4816?-170.25-0.20960.1639-0.03570.22110.13740.20070.2464-0.09400.0458-0.28140.2016?-210.25-0.09490.0713-0.01580.13350.08580.11030.1305-0.03590.0293-0.12980.4516?-240.25-0.02790.0137-0.00140.07300.06800.05050.0588-0.00700.0167-0.03631.1017?-180.25-0.04370.0241-0.00110.05950.04630.05110.0577-0.00410.0539-0.05671.9317?-270.25-0.02910.01360.00150.05250.04160.04670.0517-0.00050.0431-0.03932.4221?-220.25-0.01580.0087-0.00270.04000.02530.08540.0873-0.00690.0039-0.02442.0122?-230.24-0.0032-0.0030-0.00050.00780.00760.10000.0655-0.00150.0008-0.00410.3523?-240.24-0.0042-0.0022-0.00120.00770.00850.05990.1276-0.00240.0010-0.00560.9526?-270.24-0.01070.0041-0.00160.00290.00190.00270.0023-0.00280.1576-0.01060.3426?-280.24-0.01390.0101-0.00440.0002-0.0005-0.0011-0.0020-0.00400.1793-0.01530.7526?-290.24-0.02960.0373-0.0175-0.0100-0.0133-0.0088-0.0081-0.01550.2150-0.03230.8128?-290.24-0.00330.0042-0.0015-0.0003-0.0004-0.0007-0.0010-0.00170.1720-0.00420.6412?-110.240.0271-0.03200.01500.02520.02550.02520.02510.02670.02630.02881.1712?-130.240.0275-0.03210.01310.02550.02570.02550.02540.02720.02670.02911.12

注：i*-j為零時刻三相接地短路故障發(fā)生在支路i*-j靠近節(jié)點i，該支路在故障清除時刻被切除以移除故障。

7 結(jié)論

本文結(jié)合Taylor級數(shù)法推導了軌跡靈敏度的高階Taylor級數(shù)表達形式。基于PEBS法的能量函數(shù)表達式和高階Taylor級數(shù)軌跡靈敏度方法計算了能量裕度靈敏度，從而簡單快捷地求解了臨界功率注入點。同時利用功率臨界點的能量裕度靈敏度數(shù)值，得到了電力系統(tǒng)有功功率注入空間上的DSR。New England 10機39節(jié)點系統(tǒng)仿真結(jié)果表明基于Taylor級數(shù)軌跡靈敏度可以快速計算功率臨界點，同時驗證了求得的DSR是有效的。

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