蔡國偉，王麗馨，楊德友

(東北電力大學 電氣工程學院，吉林 吉林 132012)

0 引言

低頻振蕩已成為制約大規(guī)模電能遠距離外送、威脅現(xiàn)代互聯(lián)電網安全穩(wěn)定運行的關鍵問題之一[1]。近年來，國內外電網中觀測到的強迫功率振蕩使得低頻振蕩問題更加復雜，引起了工程領域和學術界的廣泛關注[2-3]。

采取有效的措施阻斷擾動源是保證電網安全穩(wěn)定運行的關鍵。而持續(xù)周期性功率振蕩檢測是強迫功率振蕩擾動源定位以及采取抑制振蕩措施的重要前提。在持續(xù)周期性擾動檢測研究方面，文獻[4]通過計算隨機響應數據的周期圖，將結果與設定閾值比較，從而檢測系統(tǒng)中的周期性擾動；文獻[5]以系統(tǒng)正常運行時的環(huán)境激勵數據為基礎，利用自相干函數法、互相干函數法檢測淹沒在系統(tǒng)中的持續(xù)周期性擾動。但上述2種檢測方法對閾值的依賴性較大，閾值設定的精確性嚴重影響檢測結果。在周期性擾動源定位研究方面，文獻[6-8]對電力系統(tǒng)發(fā)生強迫功率振蕩的能量進行分析，通過建立支路能量函數模型，根據其能量變化識別擾動源的大致方位；文獻[9]通過離線混合動態(tài)仿真定位擾動源所在區(qū)域；文獻[10]通過對多點電壓行波進行檢測，比較信號波形數據相似度，從而實現(xiàn)強迫功率振蕩擾動源定位。上述定位方法主要是針對大規(guī)模周期性振蕩的時域響應信號的處理分析，對于含有小幅周期性擾動的系統(tǒng)正常運行時的隨機響應信號的分析難以達到理想的效果。

本文通過推導環(huán)境激勵與小幅周期性擾動共同作用下系統(tǒng)響應的數學解析表達式，深入分析了環(huán)境激勵下系統(tǒng)小幅周期性擾動的頻域特征，進而提出了環(huán)境激勵下基于頻域特征的電力系統(tǒng)持續(xù)周期性擾動特征識別及擾動源定位方法。數值仿真計算結果驗證了本文所提方法在周期性擾動檢測及擾動源定位方面的可行性和有效性。

1 環(huán)境激勵下系統(tǒng)動態(tài)響應特征

實際運行過程中，負荷波動、新能源有功輸出的隨機性、發(fā)電機受到持續(xù)周期性擾動等均會給系統(tǒng)帶來隨機擾動。以負荷隨機波動和發(fā)電機勵磁器受到周期性擾動為例，電力系統(tǒng)動態(tài)模型可以用如下的隨機微分代數方程形式描述[11]：

(1)

0=g(x，y，u)

(2)

其中，f和g為連續(xù)函數；x∈Rnx(nx為系統(tǒng)狀態(tài)變量的數目)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，如發(fā)電機功角等；y∈Rny(ny為系統(tǒng)代數變量的數目)為系統(tǒng)的代數變量，如母線電壓、母線相角等；u為隨機波動變量。式(1)為系統(tǒng)微分方程，描述了系統(tǒng)中發(fā)電機及相應的控制裝置、負荷等的動態(tài)過程；式(2)為系統(tǒng)的代數方程，一般由系統(tǒng)潮流方程及發(fā)電機、負荷等靜態(tài)方程組成。

假設負荷隨機波動服從OU(Ornstein-Uhlenbeck)分布，發(fā)電機受到持續(xù)周期性擾動，建立隨機波動的系統(tǒng)動態(tài)模型[12-13]：

(3)

式(1)—(3)共同構成了負荷隨機波動下電力系統(tǒng)的隨機微分-代數方程SDAE(Stochastic Diffe-rential Algebraic Equation)。

隨機擾動過程中，電力系統(tǒng)的運行狀態(tài)未發(fā)生變化，即各臺發(fā)電機的運行平衡點不變，則可以通過線性化系統(tǒng)狀態(tài)來近似分析系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)過程。線性化式(1)—(3)，同時消除代數變量y，則有：

(4)

其中，fx、fy分別為式(1)中對應于x、y的雅可比矩陣；gx、gy、gu分別為式(2)中與變量x、y、u對應的雅可比矩陣；Δx為狀態(tài)變量偏移量；Δu為隨機波動量偏移量；Inu為單位對角陣。

(5)

式(5)即為發(fā)電機受到周期性擾動和負荷隨機波動下，電力系統(tǒng)的線性化狀態(tài)空間模型。求解得到系統(tǒng)n1個振蕩模式對應的特征值λr=σr+jωr(r=1，2，…，n1)，則系統(tǒng)狀態(tài)變量的時域解析表達式為：

(6)

其中，vr為系統(tǒng)左特征向量；ur為系統(tǒng)右特征向量；z(0) 為狀態(tài)變量初始值；φr為初始相角；δ、ξ、ω分別為某一時刻對應的噪聲強度大小、高斯隨機分布的變量、擾動頻率。

若系統(tǒng)實際運行過程中只含有負荷隨機波動，不存在持續(xù)周期性擾動，則系統(tǒng)狀態(tài)變量時域解析表達式為：

(7)

結合式(6)、(7)可以看出，相較于單一負荷隨機波動下的系統(tǒng)動態(tài)響應，系統(tǒng)負荷隨機波動的同時發(fā)電機受到周期性擾動的情況下，系統(tǒng)響應多含有一個周期分量，即系統(tǒng)動態(tài)響應由振蕩分量、隨機分量和周期分量三部分構成。如果周期性擾動的擾動頻率與自然振蕩頻率有一定差距等原因導致周期性擾動分量幅值很小，則周期性擾動容易淹沒在類噪聲中，使得測量得到的有功功率、電壓等系統(tǒng)隨機響應的外在表現(xiàn)為雜亂無章的類似噪聲的隨機響應信號。通過對式(6)的分析不難發(fā)現(xiàn)，看似無章可循的隨機響應信號實際蘊含著豐富的系統(tǒng)動態(tài)特征。

2 基于頻域特征的強迫振蕩檢測與擾動源定位

系統(tǒng)正常運行過程中，時刻存在負荷投切等隨機性質小擾動，系統(tǒng)響應表現(xiàn)為類似噪聲的小幅波動，若外施擾動頻率與系統(tǒng)固有自然振蕩頻率有一定差距等原因使得系統(tǒng)周期性擾動引起系統(tǒng)聯(lián)絡線有功功率、電壓等發(fā)生的周期振蕩幅值較小，容易淹沒在類似噪聲的系統(tǒng)隨機響應信號中。從時域響應的外在表征上很難對單一的系統(tǒng)隨機響應信號和含有小幅周期性擾動的隨機響應信號加以區(qū)分，如圖1所示。將系統(tǒng)時域響應轉換至頻域進行分析是目前電力系統(tǒng)功率振蕩常用的分析法。研究表明，系統(tǒng)正常運行情況下，隨機響應的頻域特征與系統(tǒng)固有振蕩特征相同，系統(tǒng)各變量的時域響應與式(7)所示的解析表達式特征一致。當系統(tǒng)中遭受幅值較小的持續(xù)周期性擾動時，系統(tǒng)響應為隨機響應與持續(xù)周期性擾動響應之和，如式(6)所示。由于持續(xù)周期性振蕩阻尼比為0，使得遭受周期性擾動時系統(tǒng)的頻域響應為系統(tǒng)固有振蕩模態(tài)與阻尼比近似為0的周期性振蕩模態(tài)的集合，則可以通過環(huán)境激勵下系統(tǒng)的頻域響應特征實現(xiàn)強迫功率振蕩的檢測。當系統(tǒng)頻域響應中模態(tài)個數大于系統(tǒng)固有模態(tài)個數，且其中含有阻尼比近似為0的模態(tài)時，即可認為系統(tǒng)中存在周期性擾動。

圖1 2種隨機響應信號波形Fig.1 Waveforms of two kinds of random response signals

研究表明，系統(tǒng)受到擾動后，系統(tǒng)中的頻率、發(fā)電機功角、有功功率等機電狀態(tài)變量的變化以較慢的速度在機網耦合的電力系統(tǒng)中傳播，擾動點附近的發(fā)電機的輸出功率首先發(fā)生變化，其轉子的轉速在不平衡力矩的作用下發(fā)生改變，發(fā)電機偏離其運行平衡點導致系統(tǒng)其他狀態(tài)變量和運行變量發(fā)生變化，使得其他發(fā)電機的有功輸出發(fā)生變化，進一步影響更多網絡中發(fā)電機變量的運行狀態(tài)[13-14]。依照這種規(guī)律，系統(tǒng)中的擾動以擾動點為中心不斷向外傳播。對于周期性擾動而言，擾動源所在機組的有功輸出首先受到外施擾動源的持續(xù)作用而發(fā)生變化，隨著擾動在系統(tǒng)中的擴散傳播，影響其他發(fā)電機的機電狀態(tài)變量，即擾動源所在機組的頻率、功角等機電狀態(tài)變量的初始相位超前于其他機組，在模態(tài)圖中表現(xiàn)為擾動源所在機組的模態(tài)相位超前于其他機組，且與擾動源所在機組電氣距離越近的機組，其模態(tài)相位越貼近擾動源的模態(tài)相位，因此，可以利用模態(tài)圖中各發(fā)電機模態(tài)相位間的關系實現(xiàn)擾動源定位[15]。

環(huán)境激勵下基于頻域特征的周期性擾動檢測與擾動源定位流程如圖2所示。

圖2 基于頻域特征的擾動源定位流程圖Fig.2 Flowchart of locating disturbance source based on frequency-domain characterization

3 基于隨機子空間法的頻域特征識別

3.1 隨機子空間算法基本理論

在實際應用中，量測數據在時間上都是離散的，經離散采樣后，可得如下隨機狀態(tài)空間系統(tǒng)[16]：

(8)

其中，xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)量，n為系統(tǒng)階數；yk∈Rn為測量得到的輸出量；wk∈Rn和vk∈Rl均為假定白噪聲，且均值E(wk)=E(vk)=0；Ad∈Rn×n和C∈Rl×n分別為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣和輸出矩陣；Δt為采樣間隔。

對式(8)所示的隨機系統(tǒng)，由采樣時序數據組成Hankel矩陣：

(9)

其中，i=2n；J為量測量采樣數。

令正交投影所得矩陣為：

Oi=Yf/Yp

(10)

(11)

計算Oi的奇異值分解(SVD)值為：

W1OiW2=USFT=

(12)

那么延伸可觀察矩陣Γi和Γi-1可表示為：

(13)

Γi-1=Γi

(14)

利用式(10)、(11)、(13)和(14)可得Kalman濾波狀態(tài)序列：

(15)

(16)

其中，?表示相應矩陣的偽逆。

將式(9)、(15)和(16)代入式(17)即可計算得到狀態(tài)矩陣及輸出矩陣：

(17)

離散系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Ad確定之后，對其進行特征值分解：

Ad=ψΛψ-1

(18)

其中，Λ=diag(ηj)∈Rn×n(j=1，2，…，n)，ηj為離散系統(tǒng)特征值；ψ為系統(tǒng)特征向量。

根據離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的特征值之間的關系，得到連續(xù)時間系統(tǒng)特征值為[17]：

λj=aj±bj=(lnηj)/Δt

(19)

進而求得系統(tǒng)振蕩頻率及阻尼比為：

(20)

系統(tǒng)的模態(tài)振型定義為輸出點處的系統(tǒng)特征向量：

φ=Cψ

(21)

3.2 隨機子空間算法定階原則

為了確定辨識系統(tǒng)的階數，將系統(tǒng)真實的機電振蕩模式與虛假模式區(qū)分開，本文考慮奇異值分解定階原則[18]。

依據式(12)將奇異值分解得到的結果與設定閾值(s1/1 000)比較，從而確定系統(tǒng)階數。

(22)

3.3 基于隨機子空間算法的擾動源檢測與定位

當周期性擾動幅值較小時，很容易淹沒在環(huán)境激勵下類噪聲隨機響應中，而這類小幅振蕩也可能演變成大幅度的功率振蕩。及時檢測出小幅周期性擾動并準確定位擾動源，對于電網安全穩(wěn)定具有重要意義。本文利用隨機子空間辨識(SSI)算法進行小幅持續(xù)周期性擾動的檢測與擾動源定位，具體分析流程如下：

a. 利用廣域測量系統(tǒng)采集得到系統(tǒng)各臺發(fā)電機有功功率隨機響應數據；

b. 由采樣時序數據組成SSI算法的Hankel矩陣；

c. 將采集得到的系統(tǒng)各發(fā)電機有功功率結果作為SSI算法的輸入，計算得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Ad及輸出矩陣C，進而得到系統(tǒng)的振蕩模式及相關機電振蕩參數；

d. 依據SSI算法得到的系統(tǒng)機電振蕩模態(tài)參數及模態(tài)振型信息，利用本文第2節(jié)的理論分析進行系統(tǒng)擾動源的檢測與定位。

4 計算與分析

4.1 IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)

IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)結構如圖3所示，數據參見文獻[11]。

圖3 IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)接線Fig.3 Wiring diagram of IEEE 4-generator 2-area system

利用小干擾穩(wěn)定分析算法(SSAT)提取基礎運行方式下系統(tǒng)的機電振蕩模式，計算得到1個區(qū)域間振蕩模式、2個本地振蕩模式，結果見表1。3個機電振蕩模式對應的振蕩模態(tài)見圖4。

表1 IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)特征值分析結果Table 1 Eigenvalue analysis results of IEEE 4-generator 2-area system

圖4 IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)模態(tài)振型圖Fig.4 Modal vibration of IEEE 4-generator 2-area system

假設節(jié)點4及節(jié)點14處的負荷以基礎值的5%隨機波動，同時系統(tǒng)中發(fā)電機外施周期性擾動。本文模擬了以下2種小幅周期性擾動。

Case 1：G2的勵磁器外施周期性擾動F0sin(ωt)=0.005sin(2πf1t)，其中f1=0.8 Hz。

Case 2：G3的勵磁器外施周期性擾動F0sin(ωt)=0.002sin(2πf2t)，其中f2=1.1 Hz。

利用電力系統(tǒng)時域仿真軟件獲取系統(tǒng)時域響應。負荷隨機波動，Case 1情況下，系統(tǒng)中4臺發(fā)電機有功功率輸出的時域響應曲線如圖5所示。

圖5 發(fā)電機有功功率時域響應曲線Fig.5 Active power time-domain response curves of generators

本文外施周期性擾動頻率分別為0.8 Hz和1.1 Hz，與系統(tǒng)固有振蕩頻率均有一定的差距，故未能在系統(tǒng)中引發(fā)大幅度的功率振蕩。從本文第1節(jié)可知，若周期性擾動響應信號的幅值較小，容易淹沒在類似噪聲的系統(tǒng)隨機響應信號中，從系統(tǒng)時域響應信號的外在表征上很難對單一的系統(tǒng)隨機響應信號和含有小幅周期性擾動的系統(tǒng)隨機響應信號加以區(qū)分，如圖5所示。

本文以系統(tǒng)中各臺發(fā)電機的有功功率隨機響應信號數據為基礎，利用SSI算法求取系統(tǒng)振蕩頻率及阻尼比。選取時長為20 s的窗口數據作為計算輸入，每10 s滑動一次計算窗口數據，20 min內的計算統(tǒng)計結果如表2所示。對比表1、2可知，表2中，Case 1和Case 2前3個振蕩模式的頻率及阻尼比的統(tǒng)計均值與基礎運行方式下的機電振蕩參數十分接近；表2中檢測到的第4個振蕩模式不屬于系統(tǒng)固有的機電振蕩模式，Case 1和Case 2這2種擾動方式下，該振蕩模式頻率辨識結果均值分別為0.800 3 Hz和1.100 2 Hz，分別與G1和G3勵磁器外施的持續(xù)周期性擾動頻率基本相等，阻尼比辨識結果均值為0.04 %和0.002 %，十分接近于0，故根據本文提出的小幅周期性擾動檢測方法，很好地檢測出了淹沒在隨機響應中的周期性擾動。

表2 IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)辨識結果Table 2 Identification results of IEEE 4-generator 2-area system

時長為20 s的窗口數據作為計算輸入，每10 s滑動一次計算窗口數據，SSI算法20 min內辨識得到的4個機電振蕩模式和1個強迫功率振蕩模式的頻率-阻尼比關系圖如圖6所示。分析圖6可以看出，各振蕩模式每次滑動窗內辨識的系統(tǒng)頻率及阻尼比結果均以基礎運行值為中心，在其周圍分布，辨識結果基本上與基礎運行值接近，同時檢測到的周期性擾動的頻率與外施擾動頻率基本接近，且阻尼比近似為0，辨識效果良好。

圖6 IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)頻率-阻尼比關系Fig.6 Frequency-damping ratio relationship of IEEE 4-generator 2-area system

圖7 IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)模態(tài)辨識結果Fig.7 Modal identification results of IEEE 4-generator 2-area system

SSI算法辨識得到的機電振蕩模態(tài)圖見圖7。圖7(a)—(c)分別為系統(tǒng)固有的區(qū)域間振蕩模式和2個本地振蕩模式；圖7(d)為G2外施周期性擾動時，小幅周期性振蕩模式的模態(tài)振型；圖7(e)為G3外施周期性擾動，周期性擾動模式的模態(tài)振型。

由圖7(d)可以看出，Case 1擾動方式下，G2首先受到擾動沖擊，然后擾動以G2為中心向外傳播擴散，沖擊與其電氣距離較近的同一個區(qū)域的G2，接著擾動沿著區(qū)間聯(lián)絡線等輸電線路向外傳播，最后沖擊了另一個區(qū)域的G3和G4。G2的初始相位超前于系統(tǒng)其他機組，根據圖2所示擾動源定位方法，G2即為擾動源。同時，與G2電氣距離小的G2的滯后角度小于與G2位于不同區(qū)域的G3和G4。圖7(e)為擾動源位于G3的系統(tǒng)模態(tài)振型圖。分析可知，G3超前于系統(tǒng)其他機組，即為擾動源所在位置，且與其較近的同區(qū)域G4的滯后角度遠小于另一個區(qū)域內的發(fā)電機。因此，Case 1和Case 2這2種擾動方式下均得到了準確的擾動源位置，驗證了本文所提擾動源定位方法的準確性和有效性。

4.2 IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)

IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)結構、數據見文獻[5]。

與IEEE 4機2區(qū)域系統(tǒng)分析過程相同。首先，對系統(tǒng)進行小干擾穩(wěn)定分析，獲得基礎運行方式下系統(tǒng)的機電振蕩模式。對于實際系統(tǒng)而言，區(qū)間振蕩相對于局部振蕩更容易出現(xiàn)弱阻尼振蕩模式，并且區(qū)間振蕩影響范圍更廣泛，本文主要對IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)的區(qū)間振蕩模式進行分析。計算分析得到4個區(qū)間振蕩模式，結果如表3所示。4個機電振蕩模式對應的振蕩模態(tài)見圖8。

表3 IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)特征值分析結果Table 3 Eigenvalue analysis results of IEEE 16-generator 68-bus system

圖8 IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)振蕩模態(tài)Fig.8 Oscillation modes of IEEE 16-generator 68-bus system

假設系統(tǒng)所有負荷均以基礎值的5% 隨機波動，G2的勵磁器外施周期性擾動F0sin(ωt)=0.008×sin(2πft)， 其中f=0.6 Hz，模擬系統(tǒng)中持續(xù)小幅周期性擾動。

以系統(tǒng)中各發(fā)電機的有功功率隨機響應數據為基礎，利用SSI算法分析得到系統(tǒng)的振蕩頻率及阻尼比。選取時長為30 s的窗口數據作為計算輸入，每10 s滑動一次計算窗口數據，60 min內的計算統(tǒng)計結果見表4。通過表3、4的對比分析可知，利用SSI算法共辨識得到5個頻率在0.2～1.0 Hz之間的區(qū)域間振蕩模式，其中表4前4個模式的頻率及阻尼比均值與基礎運行方式下的頻率及阻尼比接近；表4中第5個振蕩模式的頻率均值為0.6010 Hz，與系統(tǒng)G1勵磁器外施的周期性擾動頻率基本一致，阻尼比均值為0.06%，近似等于0，故判斷其為周期性擾動。

表4 IEEE 16機68區(qū)域系統(tǒng)辨識結果Table 4 Identification results of IEEE 16-generator 68-bus system

圖9 IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)模態(tài)辨識結果Fig.9 Modal identification results of IEEE 16-generator 68-bus system

圖9為IEEE 16機68節(jié)點系統(tǒng)的模態(tài)辨識結果，從周期性擾動模態(tài)圖及其局部放大圖可以看出，G2的模態(tài)相位要超前于其他發(fā)電機，由此可以確定擾動源位于G2處。故G2首先受到擾動的沖擊，同時擾動沿著傳輸線路傳播擴散，由近及遠依次沖擊系統(tǒng)中其他發(fā)電機。

5 結論

本文在深入分析了環(huán)境激勵下系統(tǒng)動態(tài)響應特征的基礎上，利用SSI算法識別了淹沒在隨機響應信號中的小幅周期性擾動，同時利用模態(tài)振型實現(xiàn)擾動源定位，仿真分析與計算表明：

a. 單一環(huán)境激勵與環(huán)境激勵和小幅周期性擾動耦合作用下的系統(tǒng)響應外在表征近乎一致，很難根據系統(tǒng)時域響應數據實現(xiàn)小幅周期性擾動的檢測，本文從頻域的角度，提取系統(tǒng)特征信息，實現(xiàn)小幅周期性擾動的檢測，具有較強適應性；

b. 相較于現(xiàn)有的基于故障錄波數據的強迫功率振蕩擾動源定位方法，本文以環(huán)境激勵信號為分析基礎，在大規(guī)模振蕩發(fā)生前及時定位擾動源位置，為強迫功率振蕩擾動源定位提供了新途徑；

c. SSI算法在處理隨機響應信號方面具有其獨特優(yōu)勢，使得本文方法在準確識別系統(tǒng)振蕩參數檢測出強迫振蕩的同時，能夠得到不同振蕩模式的模態(tài)振型，進而實現(xiàn)系統(tǒng)強迫功率擾動源的準確定位。

本文基于隨機響應信號檢測小幅周期性擾動及擾動源定位是為了更好地實現(xiàn)周期性擾動的控制，如何利用檢測及擾動源定位結果更好地抑制系統(tǒng)中的小幅周期性擾動是下一步需要考慮的問題。

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