楊林 劉梅

幾何畫板是很多數(shù)學(xué)教師常用的軟件，它可以將圖形運(yùn)動(dòng)過程很直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，從而讓他們能更好地理解和掌握有關(guān)圖形的一些知識(shí)。但幾何畫板也存在一些弊端，如在解決圓錐曲線切線的問題上很不方便，而且圖形的變化不能顯示數(shù)值的變化。隨著科技和信息化的發(fā)展，有關(guān)學(xué)科類的制作軟件也越來越多，其功能性也比原有軟件提高了不少。這里筆者要為大家介紹一款在幾何畫板繪圖功能的基礎(chǔ)上增加了處理變數(shù)等能力的簡(jiǎn)單易學(xué)的開源動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件——GeoGebra。

GeoGebra的簡(jiǎn)要介紹

GeoGebra是一款免費(fèi)、開源、性能可靠的數(shù)學(xué)教育軟件，它是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter設(shè)計(jì)的，軟件架構(gòu)思路非常清晰，GeoGebra一詞由幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）兩個(gè)詞構(gòu)成，簡(jiǎn)單點(diǎn)說就是數(shù)形結(jié)合。GeoGebra不只局限于代數(shù)與幾何，還增加了統(tǒng)計(jì)、微積分、邏輯運(yùn)算等功能，數(shù)學(xué)操作方面的功能可謂強(qiáng)大，軟件設(shè)計(jì)定位于數(shù)學(xué)教育，非常重視界面的簡(jiǎn)潔、操作方便和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的演示，學(xué)習(xí)起來簡(jiǎn)單容易，具有強(qiáng)大的運(yùn)算和測(cè)量功能，跨平臺(tái)且開源。此外，它還支持LaTex語法，可在畫面上顯示根號(hào)、次方及分?jǐn)?shù)以及其他數(shù)學(xué)標(biāo)號(hào)，這些都是幾何畫板無法做到的。

GeoGebra的使用方法

大家可以去官網(wǎng)（https：//www.geogebra.org/）下載GeoGebra的最新版本，安裝后打開。軟件默認(rèn)打開為圖形計(jì)算器界面（如圖1）。圖形計(jì)算器界面分為代數(shù)區(qū)（方程、函數(shù)）和幾何區(qū)（畫圖、描點(diǎn)、函數(shù)圖像），可根據(jù)需要在兩個(gè)區(qū)域間來回切換。當(dāng)選擇代數(shù)區(qū)域時(shí)，點(diǎn)擊軟件左下角的小鍵盤，就會(huì)彈出GeoGebra的計(jì)算器按鍵，點(diǎn)擊“計(jì)算器”按鍵擴(kuò)展按鈕，就可以彈出功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)函數(shù)區(qū)域，如向量與矩陣、圓錐曲線指令等（如上頁圖2）。當(dāng)選擇幾何區(qū)域時(shí)，會(huì)彈出常用的幾何作圖工具，如角、直線、多邊形等。最新版本的GeoGebra軟件對(duì)計(jì)算和幾何作圖區(qū)域做了區(qū)分。因此，筆者推薦使用GeoGebra的經(jīng)典視圖模式，該模式可以兼顧圖形計(jì)算功能和幾何作圖功能。大家可以在最新版本中依次點(diǎn)擊左側(cè)的“菜單—應(yīng)用—Geogebra經(jīng)典”切換到GeoGebra經(jīng)典界面（如圖3）。當(dāng)切換到經(jīng)典界面后就可以看到功能強(qiáng)大的GeoGebra菜單欄，如點(diǎn)、線、向量、圓、多邊形、角等菜單，可根據(jù)需要隨意點(diǎn)擊選擇。在GeoGebra經(jīng)典界面中還可點(diǎn)擊右側(cè)擴(kuò)展菜單欄，可設(shè)置網(wǎng)格線、3D繪圖區(qū)、表格區(qū)、概率統(tǒng)計(jì)以及顯示繪圖過程（如圖4）。

1.利用GeoGebra繪制平面函數(shù)圖像與數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)結(jié)合

GeoGebra輸入?yún)^(qū)域具有函數(shù)自動(dòng)聯(lián)想功能，在輸入?yún)^(qū)域手動(dòng)輸入函數(shù)或者在計(jì)算器鍵盤擴(kuò)展按鍵中選擇某一數(shù)學(xué)函數(shù)（如圖5），直角坐標(biāo)系中就可以立即顯示函數(shù)圖像。例如，選中數(shù)學(xué)函數(shù)的正弦函數(shù)表達(dá)式Sin（x），直角坐標(biāo)系中就可以立即得到正弦函數(shù)的圖像。當(dāng)需要查看正弦函數(shù)Sin（x）上的特殊點(diǎn)時(shí)，可點(diǎn)擊特殊點(diǎn)選項(xiàng)，正弦函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)及其坐標(biāo)會(huì)立即顯示（如圖6）。當(dāng)想要查看正弦函數(shù)上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，可以點(diǎn)擊菜單欄的“描點(diǎn)”按鍵，在函數(shù)圖像上選擇一點(diǎn)A，也可直接輸入A點(diǎn)坐標(biāo)（如圖7）。點(diǎn)擊坐標(biāo)旁邊的“播放”按鍵，就可以自動(dòng)播放A點(diǎn)在該函數(shù)上的運(yùn)動(dòng)軌跡，還可以控制A點(diǎn)的移動(dòng)速度。例如，某題想要求得該正弦函數(shù)上兩點(diǎn)與坐標(biāo)軸間圍成的面積時(shí)，可以點(diǎn)擊菜單中的函數(shù)檢視，然后點(diǎn)擊該正弦函數(shù)圖像，函數(shù)圖像上就會(huì)直觀地出現(xiàn)兩點(diǎn)所圍成的面積（如圖8），兩個(gè)點(diǎn)可以在函數(shù)圖像上隨意拖動(dòng)，也可以輸入在函數(shù)圖像上的坐標(biāo)值，這兩個(gè)點(diǎn)在改變的同時(shí)，它們圍成的圖形的屬性和數(shù)值也會(huì)在函數(shù)檢視中同步變化，如面積、極值等數(shù)值。此外，教師還可點(diǎn)擊擴(kuò)展菜單3D繪圖區(qū)，直接把平面函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化成3D視圖（如圖9），讓學(xué)生直觀地看到一個(gè)函數(shù)從一維平面空間到三維立體空間的轉(zhuǎn)化過程。

2.利用GeoGebra繪制立體函數(shù)圖像與數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)結(jié)合

點(diǎn)擊“3D視圖區(qū)”，就可以進(jìn)入立體幾何圖形編輯界面。操作菜單也切換成了點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、棱錐、棱柱、球體等常用的立體幾何菜單（如圖10）。例如，某題目要求一個(gè)圓柱體和一個(gè)平面相切所得的截面積。已知圓柱體兩個(gè)底面圓心A、B的坐標(biāo)，以及底面半徑為2cm，平面是圓柱體側(cè)面的三個(gè)點(diǎn)C、D、E所組成的平面，并已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)于這道題，利用GeoGebra就可以輕松得到答案。首先，創(chuàng)建一個(gè)圓柱體，點(diǎn)擊立方體菜單，選擇圓柱，按照題目給定的兩底面圓心A、B的坐標(biāo)，在三維直角坐標(biāo)系上設(shè)置兩點(diǎn)A和B。然后，輸入兩底面圓的半徑2cm（如圖11），即可得到一個(gè)圓柱體（如圖12）。要求得到該圓柱體與某平面相切的截面，先選擇平面菜單，在圓柱體上選取題目給定的三個(gè)點(diǎn)C、D、E，GeoGebra就自動(dòng)形成這三個(gè)點(diǎn)組成的平面，與圓柱體相切，即可得到截面（如圖13）。隨后，可利用數(shù)學(xué)函數(shù)公式求截面面積。在視圖菜單中，教師可以讓它切換到旋轉(zhuǎn)、平移等不同視覺特效，方便學(xué)生從不同角度觀察截面。

3.GeoGebra的平面空間、立體空間與數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)結(jié)合

既然GeoGebra提供了繪制平面區(qū)域，也提供了繪制立體幾何區(qū)域，當(dāng)然也支持平面與立體空間同步繪制。在三維直角坐標(biāo)系中繪制的圖像同樣也可以借助三視圖的形式在平面直角坐標(biāo)系中同步顯示。具體操作步驟是直接在平面繪圖區(qū)擴(kuò)展菜單中添加立體繪圖區(qū)，這時(shí)GeoGebra中就同時(shí)出現(xiàn)平面直角坐標(biāo)系與三維直角坐標(biāo)系，在三維直角坐標(biāo)系上做操作，平面直角坐標(biāo)系就會(huì)按照X、Y、Z軸的設(shè)定同步操作。例如，已知四棱錐的頂點(diǎn)A，底面四個(gè)點(diǎn)B、C、D、E的坐標(biāo)，畫出對(duì)應(yīng)的三視圖。這道題只需要利用GeoGebra的平面與立體空間同步功能即可畫出圖形，完成解題。在三維直角坐標(biāo)系中按照給定的頂點(diǎn)以及底面的四個(gè)點(diǎn)繪制出四棱錐的立體圖形，當(dāng)立體圖形繪制完成后在左側(cè)的平面直角坐標(biāo)系界面就可以看到在X軸和Y軸所呈現(xiàn)的俯視圖圖形（如圖14）。不斷切換平面直角坐標(biāo)系顯示的坐標(biāo)，如顯示X軸、Z軸，就可以看到它的側(cè)視圖。同理，可查看其正視圖，至此這個(gè)題目就求解完成。此外，我們還可以點(diǎn)擊視圖菜單，將四棱錐隨意轉(zhuǎn)換角度方便學(xué)生觀察，還可以在選擇面菜單將四棱錐按照某一平面展開，查看該立方體的展開圖，求體積等。

4.GeoGebra的其他功能

（1）顯示操作步驟

當(dāng)我們輸入函數(shù)或者繪制幾何圖形時(shí)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)記錄操作步驟，并顯示出來。例如，某題目要求繪制向量U和向量V，并求出兩向量夾角的角平分線表達(dá)式。使用GeoGebra計(jì)算這道題非常容易，只要點(diǎn)擊向量菜單，分別設(shè)置向量U、向量V，之后選擇角度菜單中的角平分線，選中向量U、V后，即可出現(xiàn)兩向量的角平分線。GeoGebra就會(huì)自動(dòng)計(jì)算出向量夾角以及角平分線的表達(dá)式，點(diǎn)擊顯示操作步驟，所有的操作步驟都可以顯示出來（如圖15）。

（2）表格及概率統(tǒng)計(jì)

GeoGebra還具有Excel的基本功能，可以在表格中輸入數(shù)值，顯示柱狀圖、餅圖等模型，還可以進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)，以及顯示正態(tài)分布圖（如圖16）。

（3）動(dòng)態(tài)的變換功能

在數(shù)學(xué)上，經(jīng)常會(huì)碰到研究函數(shù)參數(shù)變化時(shí)對(duì)圖像的影響這類題目，很多學(xué)生初學(xué)冪函數(shù)時(shí)很難弄清楚它的圖像是如何變換的，對(duì)此，教師可以利用GeoGebra做出冪函數(shù)圖像，讓?duì)恋臄?shù)值不斷動(dòng)態(tài)變化，從而觀察冪函數(shù)圖像。例如，y=xα，可以先在輸入框中輸入y=xα，點(diǎn)擊創(chuàng)建滑動(dòng)條，這樣，就可以創(chuàng)建該冪函數(shù)的圖像，通過控制α數(shù)值的動(dòng)態(tài)變化，就可以直觀地看到該冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的變化（如圖17）。

總的來說，開源的GeoGebra給數(shù)學(xué)教師提供了一個(gè)簡(jiǎn)單易學(xué)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)工具。利用如此強(qiáng)大、優(yōu)秀的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué)，無疑會(huì)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。未來的社會(huì)是一個(gè)學(xué)習(xí)型的社會(huì)，因此教師需要不斷接受新知識(shí)、新技術(shù)，優(yōu)化自己的教學(xué)環(huán)節(jié)，借助多重科技手段服務(wù)教學(xué)。