后軍軍, 王佐才,2, 任偉新,2

(1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院， 安徽 合肥 230009； 2.合肥工業(yè)大學(xué)橋梁結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測新理論與新技術(shù)研究中心， 安徽 合肥 230009)

引 言

利用結(jié)構(gòu)振動信號進(jìn)行系統(tǒng)識別和損傷探測是當(dāng)前的熱點(diǎn)研究問題之一，特別是結(jié)構(gòu)振動信號的瞬時特征，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)識別和損傷識別的重要指標(biāo)，對于評估結(jié)構(gòu)狀況具有十分重要的作用[1-2]。

為獲得結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)信號的瞬時特征，諸多時頻分析方法，如短時傅里葉變換、小波變換、希爾伯特-黃變換等[3-5]，被廣泛應(yīng)用于振動信號的響應(yīng)分析之中。其中，基于希爾伯特變換的信號分析方法，可以通過定義單一信號分量的解析信號，并由此定義出單一信號分量的瞬時幅值和瞬時頻率，該方法被廣泛應(yīng)用于實(shí)測振動信號的分析。然而基于希爾伯特變換的信號分析方法，首先需要獲取結(jié)構(gòu)單一的信號分量，因此，在利用希爾伯特變換進(jìn)行振動響應(yīng)分析前，需要對結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)信號進(jìn)行分解。其中希爾伯特-黃變換對信號進(jìn)行經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?，提取出本征模態(tài)函數(shù)，再對本征模態(tài)函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換，得到其瞬時頻率和幅值[6]。為了避免在經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾奶幚磉^程中出現(xiàn)模態(tài)混疊，提出了集合經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?，集合?jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸饪梢詮膿诫s噪聲的信號中恢復(fù)出原信號[7]。另外，F(xiàn)eldman[8]提出了希爾伯特振動分解。利用這一分解方法，可以將解析信號中的最大能量組分的瞬時頻率通過低通濾波器提取出來;同時，運(yùn)用相干探測技術(shù)也可以提取出該最大能量組分的瞬時幅值，并進(jìn)一步在非線性特征參數(shù)的提取中獲得應(yīng)用[9]。

最近，Chen和Wang[10]提出了基于希爾伯特變換的解析模式分解方法，可以解析地提取出信號中的低頻部分。解析模式分解算法可視作一個低通濾波器，并可濾除振動信號中的高頻噪聲干擾，也可用于具有密集模態(tài)的振動信號的分解[11-12]。通過對結(jié)構(gòu)振動信號的解析模式分解和希爾伯特變換分析，此方法被進(jìn)一步應(yīng)用于時變非線性系統(tǒng)的參數(shù)識別之中[13-15]。但是，解析模式分解理論建立在信號為連續(xù)的前提條件下。當(dāng)振動信號為離散信號時，運(yùn)用上述傳統(tǒng)的解析模式分解方法提取低頻部分時會存在一些誤差。同時，當(dāng)信號中存在噪聲或者非平穩(wěn)部分時，會導(dǎo)致傅里葉譜出現(xiàn)扭曲，從而，難以找到信號分解的截止頻率。為了避免振動信號傅里葉譜出現(xiàn)扭曲，提出了從功率譜出發(fā)研究對隨機(jī)信號的頻域分析方法。而功率譜估計是用有限長的數(shù)據(jù)來估計信號的功率譜，其中自回歸功率譜模型法是功率譜估計的核心方法之一，其在實(shí)際工程中有著重要的應(yīng)用價值，如在地震勘探信號處理、水聲信號處理等多個領(lǐng)域中發(fā)揮了重要的作用[16]。為了更好地選擇信號分解的截止頻率，Lauria和Pisani[17]提出了利用LP非線性周期譜來獲取信號解析模式分解中的截止頻率。

針對結(jié)構(gòu)中振動信號的離散性，論文首先提出了擴(kuò)展離散解析模式分解，通過分析離散信號的特點(diǎn)，給出了離散信號的頻響特征，進(jìn)而給出了關(guān)于離散信號分解的兩步分解法。為了更好地對截止頻率進(jìn)行自動化優(yōu)化選取，提出用自回歸功率譜代替?zhèn)鹘y(tǒng)的傅里葉譜選取截止頻率的方法。以吉安贛江公路大橋為工程實(shí)例，驗證了方法的有效性。

1 擴(kuò)展離散解析模式分解

1.1 連續(xù)信號的解析模式分解

(1)

如果x(t)的每一主成分的頻率滿足：|ω1|<ωc1,|ωc1|<|ω2|<ωc2…ωc(n-1)<|ωn|<ωcn，其中ωcp為選取的截止頻率。則每個信號分量可以表示為[10]：

(2)

sp(t)=sin(ωcpt)H[x(t)cos(ωcpt)]-

cos(ωcpt)H[x(t)sin(ωcpt)]

(3)

式(2)及(3)中s0(t)=0，H[·]表示對括號中的函數(shù)進(jìn)行希爾伯特變換。理論的核心是利用截止頻率ωc將原始信號中的低頻部分s(t)提取出來，且s(t)能夠由下式[10]獲得。

(4)

因此式(4)就像一個低通濾波器，通過了信號的低頻部分，濾掉了其高頻部分。

1.2 離散解析模式分解

由于式(1)中的解析模式分解定理是源于對連續(xù)信號的推導(dǎo)，因此在適用于振動響應(yīng)離散信號時，要求具有足夠大的采樣頻率。因而，為了實(shí)現(xiàn)對離散信號的有效分析，進(jìn)一步拓展了解析模式分解理論，提出離散解析模式分解理論。對于離散解析模式分解理論，可以表示為：對于一個具有N個樣本點(diǎn)的離散信號：x(0),x(1),x(2),…,x(i),… (i=0,1,2,…,N-1),它的離散傅里葉變換可以表示為

(5)

式中k表示離散的頻率分量。

由于該信號的離散傅里葉變換是以N為周期的，所以在一個基本周期內(nèi)(0 ≤k≤N-1)，定義的離散點(diǎn)k如圖1所示。

圖1 定義在離散傅里葉變換上的點(diǎn)k
Fig.1 The defined discrete point k for the discrete Fourier transform

(6)

(7)

(8)

(9)

xp(t)=AP(t)cos(θp(t))

(10)

式中Ap(t)表示信號xp(t)的幅值，θp(t)為第p個分量的相位角。而對于離散信號，式(10)可以表示為

(11)

式中ωp(q)表示信號分量xp在時間點(diǎn)qΔt處的頻率，θp0為信號分量xp的初始相位角。故式(4)的離散形式可以表示為

(12)

0<ω1(q)<ω2(q)<…<ωK1(q)<ωc(q)<

(13)

(14)

第二步：將第一步濾出的s′(t)作為輸入信號，選擇與第一步相同的截止頻率，通過式(14)濾出信號s″(t)。

分別將濾出的s′(t)和s″(t)帶入等式(14)中得到：

(15)

(16)

通過疊加等式(15)和(16)，可以發(fā)現(xiàn)提取的低頻信號的頻率在任意時刻均小于截止頻率

(17)

2 截止頻率選取方法

擴(kuò)展離散解析模式分解理論進(jìn)行信號分解時，必須選取截止頻率。所以，信號進(jìn)行擴(kuò)展離散解析模式分解的核心內(nèi)容之一就是準(zhǔn)確選取合適的截止頻率。傳統(tǒng)的截止頻率的選取方法是將原始時間序列函數(shù)經(jīng)過傅里葉變換獲得頻譜圖，然后在頻譜圖中找到兩極值之間的某個位置，而該位置所對應(yīng)的頻率值即可作為選定的截止頻率。傳統(tǒng)的截止頻率的選取方法依賴于頻譜圖，一旦頻譜圖出現(xiàn)扭曲或者過于復(fù)雜時，就很難找到準(zhǔn)確的截止頻率。因此，用傳統(tǒng)的截止頻率選取方法選取截止頻率時，往往會導(dǎo)致分解信號出現(xiàn)一定程度的誤差。為了更好地準(zhǔn)確地選擇信號分解的截止頻率，本文提出了一種基于自回歸功率譜的截止頻率選取方法。

2.1 自回歸功率譜

隨機(jī)信號的總能量是無限的，但其平均功率卻是有限的，因此要對隨機(jī)信號的頻域進(jìn)行分析，應(yīng)從功率譜出發(fā)進(jìn)行研究才有意義。功率譜估計是用有限長的數(shù)據(jù)來估計信號的功率譜，即利用給定的N個樣本數(shù)據(jù)估計一個平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜密度。而自回歸功率譜模型法是功率譜估計的核心方法之一，其在實(shí)際工程中有著重要的應(yīng)用價值，如在地震勘探信號處理、水聲信號處理等多個領(lǐng)域中發(fā)揮了重要的作用。

信號的功率譜可以通過下式來進(jìn)行計算

(18)

式中rx(m)為x(n)的自相關(guān)函數(shù)，N為x(n)的長度。

由于數(shù)據(jù)存在截斷，所以功率譜的分辨率較低。同時，由功率譜密度的定義可知，信號的均值以及各段極值并不能準(zhǔn)確求得，信號的方差也存在較大偏差?，F(xiàn)階段為了獲得精確度較高的功率譜，一般采用參數(shù)模型功率譜估計，參數(shù)模型計算可根據(jù)下式獲得

(19)

在式(19)中，假定x(n)為被白噪聲u(n)激勵的線性系統(tǒng)輸出，p和q表示參數(shù)模型的階數(shù)。當(dāng)bk=0時，此時x(n)可由下式獲得

(20)

式(20)所表達(dá)的參數(shù)模型即為自回歸模型。

(21)

式(21)為自回歸模型的標(biāo)準(zhǔn)方程式。通過式(21)可以計算出模型的參數(shù)ak和σ2。

綜上所述，自回歸功率譜pAR(ejω)可以由下式計算得到

(22)

式中σ2為u(n)的方差，p為自回歸模型階數(shù)。

對于功率譜的分辨率而言，譜的清晰度與信號的長度呈反比例關(guān)系為

(23)

式中 Δf為分辨率，T為信號的時長。

自回歸功率譜是在最小均方差意義上給定的數(shù)據(jù)擬合，所以自回歸功率譜有著更高的分辨率。但在保證自回歸功率譜較高分辨率的同時，譜曲線中不出現(xiàn)實(shí)際不存在的虛假頻段，需要選擇合適的自回歸模型階數(shù)p。實(shí)際上，確定模型階數(shù)的方法有多種，本文采用最終預(yù)測誤差判據(jù)法[18-19]確定模型階數(shù)。即當(dāng)下式中FRE取得最小值時，k的取值即為最優(yōu)的模型階數(shù)p的值

(24)

式中N為離散信號長度，ρk為最小化預(yù)報錯誤的能量。

2.2 自回歸功率譜選擇截止頻率

自回歸功率譜的密度曲線是相對光滑的，分辨率也較高，這一特點(diǎn)為其代替傅里葉譜選擇截止頻率提供了優(yōu)勢條件。自回歸功率譜選擇截止頻率的方法為：首先獲得原始時間序列函數(shù)的自回歸功率譜，考慮到自回歸功率譜的密度曲線光滑、分辨率高、去噪強(qiáng)的特點(diǎn)，其密度曲線中每一個顯著的譜峰就可以看成信號的一個單一模態(tài)，故可以取兩相近譜峰極值的平均值所對應(yīng)的頻率作為選定的截止頻率。實(shí)際計算自回歸功率譜模型時，用于計算的算法有多種?？紤]到算法的簡潔性，本文選擇伯格算法[20-21]計算自回歸功率譜模型。

3 數(shù)值模擬

3.1 數(shù)值模擬1

以一個數(shù)值算例來驗證上述擴(kuò)展離散解析模式分解方法的有效性。離散時間序列x(t)由2個信號組成。

x(t)=x1(t)+x2(t)，

x1(t)=e-3(t-0.4)sin[20π(t-0.4)]u(t-0.4),

x2(t)=e-2(t-0.2)sin[460π(t-0.2)]u(t-0.2)

其中u(t)為階躍函數(shù)。采樣頻率為500 Hz，截止頻率選為50 Hz。則原始時間序列函數(shù)如圖2所示。

圖2 原始信號x(t)Fig.2 The original signal x(t)

圖3 一步低通濾波器濾波Fig.3 The one step low-pass filter

圖4 兩步低通濾波器濾波Fig.4 The two step low-pass filter

由圖3和4的對比可以發(fā)現(xiàn)，在一步低通濾波器中分離出的低頻部分與x1(t)有較大差異；而利用兩步低通濾波器可以很好地從離散信號x(t)中提取低頻部分x1(t)。所以，上述所述擴(kuò)展離散解析模式分解對離散信號的低頻部分的提取是有效的。

3.2 數(shù)值模擬2

為了驗證上述截止頻率選取方法的有效性，分析了一個帶有4層附屬層的36層框架結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的每一層的質(zhì)量和層間的剛度分別為1.29×106kg和1.0×109N/m。附屬層的質(zhì)量是主體層質(zhì)量的2%，而附屬層的層間剛度是主體層間剛度的0.03%。結(jié)構(gòu)的阻尼假設(shè)為經(jīng)典阻尼，其中前4階模態(tài)的阻尼比均為1%，而其他高階模態(tài)的阻尼比均為零。結(jié)構(gòu)整體承受均值為零，方差為0.001g的高斯白噪聲激勵。結(jié)構(gòu)頂層加速度響應(yīng)如圖5所示，其中采樣頻率為20 Hz。圖6為頂層加速度響應(yīng)的傅里葉變換，為了較為清楚地顯示傅里葉譜圖，圖6的縱坐標(biāo)為取以10為底的對數(shù)坐標(biāo)。

圖5 頂層加速度響應(yīng)
Fig.5 The measured acceleration at the top level

圖6 頂層加速度傅里葉譜
Fig.6 The Fourier spectrum of the top level acceleration

從圖6的傅里葉譜中可以看出，信號存在密集模態(tài)成分，不易找出這些密集模態(tài)部分的截止頻率。在此，計算頂層加速度響應(yīng)的自回歸功率譜，由式(24)可確定模型階數(shù)p，取150，計算結(jié)果如圖7所示。同樣地，圖7中的縱坐標(biāo)為取以10為底的對數(shù)坐標(biāo)。從圖7可以看出，自回歸功率譜去除了原有傅里葉譜中的許多虛假頻段，得到了比較光滑清晰的譜曲線?？梢詮淖曰貧w功率譜中找到截止頻率，截止頻率分別為：0.19,0.4,0.56,0.7,0.9 Hz。

圖7 頂層加速度自回歸功率譜
Fig.7 The auto-regressive power spectrum of the top level acceleration

4 實(shí)驗驗證

為了驗證上述截止頻率選取方法的有效性，本文利用采集的江西省吉安贛江公路大橋的環(huán)境振動實(shí)驗數(shù)據(jù)，對大橋進(jìn)行了振動響應(yīng)分析。吉安贛江公路大橋于1995年建成通車，橋梁全長1577 m，東、西引道長3.2 km，主橋橋孔為60 m+4×100 m+60 m預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)箱梁。橋梁設(shè)計荷載：汽車-超20級，人群-3.5 kN/m2。該橋主橋上部結(jié)構(gòu)構(gòu)造為雙箱單室連續(xù)箱梁，下部結(jié)構(gòu)為V形預(yù)應(yīng)力混凝土墩。左半跨橋共3跨橋梁的環(huán)境振動實(shí)驗的測點(diǎn)布置如圖8所示。由于對稱性，右半跨橋共3跨橋梁的環(huán)境振動實(shí)驗的測點(diǎn)布置與圖8對稱。

圖8 贛江大橋半幅橋的測點(diǎn)布置圖(單位：m)Fig.8 The layout of half bridge of Ganjiang Bridge(Unit:m)

選取測點(diǎn)6的一組加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其加速度時程如圖9所示。圖10為測點(diǎn)6加速度響應(yīng)的傅里葉譜圖，為了較為清楚地顯示傅里葉譜圖，圖10的縱坐標(biāo)為取以10為底的對數(shù)坐標(biāo)。

圖9 測點(diǎn)6加速度響應(yīng)Fig.9 The acceleration of the measured point 6

圖10 測點(diǎn)6加速度傅里葉譜
Fig.10 The Fourier spectrum of the acceleration at the measured point 6

從圖10的傅里葉譜中難以找出信號分解的截止頻率。計算測點(diǎn)6加速度響應(yīng)自回歸功率譜，同樣，由式(24)可確定模型階數(shù)p,取85，計算結(jié)果如圖11所示。圖11中的縱坐標(biāo)為取以10為底的對數(shù)坐標(biāo)。由圖11可知，在測點(diǎn)6加速度響應(yīng)的自回歸功率譜中可以清楚地選出截止頻率的位置，截止頻率分別為：3.5和5.5 Hz，這里只選取了前兩階模態(tài)。利用在自回歸功率譜中找到的截止頻率，對贛江公路大橋測點(diǎn)6的環(huán)境振動加速度信號進(jìn)行擴(kuò)展離散解析模式分解，分解得到前兩階振動響應(yīng)如圖12所示。

圖11 測點(diǎn)6加速度自回歸功率譜Fig.11 The auto-regressive power spectrum of the acceleration at the measured point 6

圖12 測點(diǎn)前兩階振動響應(yīng)Fig.12 The first two order vibration response

將該橋的每一個測點(diǎn)同測點(diǎn)6一樣進(jìn)行計算得到每一個測點(diǎn)的前兩階振動響應(yīng)，然后對該橋進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別。實(shí)際上，模態(tài)參數(shù)識別是振動工程理論中的一個重要分支，是研究結(jié)構(gòu)動力特性的一種近代方法。模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每個模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。模態(tài)參數(shù)識別主要是通過采集系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并求解，進(jìn)而獲得系統(tǒng)的動態(tài)系統(tǒng)。模態(tài)參數(shù)識別的基本方法有多種，如頻域法、時域法、單自由度法和多自由度法等，其中希爾伯特變換[22]是重要的模態(tài)參數(shù)識別方法之一。

基于上述論述，對實(shí)橋數(shù)據(jù)作希爾伯特變換處理，得到各測點(diǎn)前兩階振動的瞬時幅值和相位角，再將得到的各測點(diǎn)瞬時幅值取平均,同時結(jié)合各相位角的正負(fù)可以得到吉安贛江公路大橋的前兩階對最大值歸一化的振型，其中圖13為獲得的1階豎向振型，圖14為獲得的2階豎向振型，由于對稱性，圖13和14只畫出了左半橋3跨橋梁的振型圖。

圖13 一階豎向振型Fig.13 The first order vertical mode

圖14 二階豎向振型
Fig.14 The second order vertical mode

5 結(jié) 論

論文研究了結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)擴(kuò)展離散解析模式分解和截止頻率選取的優(yōu)化方法。提出了離散信號分解的兩步擴(kuò)展離散解析模式分解，有效地解決了解析模式分解進(jìn)行離散信號分解時留有高頻殘余量的問題。同時，論文為解決離散解析模式分解的截止頻率自動化選取，提出了用自回歸功率譜代替傅里葉譜選取截止頻率的方法，自回歸功率譜的譜曲線的峰值清晰且無虛假峰值，可以有效地獲得解析模式分解所需的截止頻率。論文通過對一模擬的離散信號和對一個具有密集模態(tài)的36層框架結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)信號進(jìn)行分解,驗證了所提方法的有效性。最后,對吉安贛江公路大橋進(jìn)行環(huán)境振動試驗，獲測了加速度時程數(shù)據(jù),利用所提方法對加速度信號進(jìn)行了有效分解，獲得了大橋的前兩階加速度振動響應(yīng),利用分解的振動響應(yīng)，進(jìn)而識別出了大橋的前兩階振型。主要結(jié)論有:

(1)擴(kuò)展離散解析模式分解是解析模式分解在離散信號處的有效延展,可以解決離散的振動信號分解的誤差問題。

(2)利用自回歸功率譜代替傅里葉譜在擴(kuò)展離散解析模式分解中可以有效地獲得信號分解的截止頻率。

(3)提出的利用自回歸功率譜選取振動信號離散解析模式分解截止頻率的方法可以對具有密集模態(tài)信號或者具有低信噪比的信號，如環(huán)境振動信號進(jìn)行有效分解，通過分解的信號，可以較好地識別結(jié)構(gòu)的振動頻率與振型。

[1] 高維成, 劉 偉, 鄒經(jīng)湘. 基于結(jié)構(gòu)振動參數(shù)變化的損傷探測方法綜述[J]. 振動與沖擊, 2004, 23(4):1—7.

Gao Weicheng, Liu Wei, Zou Jingxiang. Damage detection methods based on changes of vibration parameters: A summary review[J]. Journal of Vibration and Shock,2004,23(4):1—7.

[2] 宗周紅, 牛 杰, 王 浩. 基于模型確認(rèn)的結(jié)構(gòu)概率損傷識別方法研究進(jìn)展[J]. 土木工程學(xué)報, 2012,45(08):121—130.

Zong Zhouhong, Niu Jie, Wang Hao. Research progress of structural probabilistic damage identification method based on modal recognition[J].Journal of Civil Engineering, 2012,45(08):121—130.

[3] 伊廷華, 李宏男, 王國新. 基于小波變換的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別[J]. 振動工程學(xué)報, 2006, 19(1):51—56.

Ying Tinghua, Li Hongnan, Wang Guoxin.Structure modal parameter identification based on wavelet transform[J].Journal of Vibration Engineering,2006,19(1):51—56.

[4] 焦 莉, 李宏男. 基于數(shù)據(jù)融合和小波分析的結(jié)構(gòu)損傷診斷[J]. 振動與沖擊,2006,25(5):85—88.

Jiao Li, Li Hongnan. Structural damage diagnosis based on data fusion and wavelet analysis[J].Journal of Vibration and Shock,2006,25(5):85—88.

[5] Huang N E, Shen Z, Long S R, et al. The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non-stationary Time Series Analysis[M].The Royal Society,1998.

[6] Huang N E, Shen S S P. Hilbert-Huang Transform and Its Applications[M]. World Scientific,2005.

[7] Wu Z, Huang N E. Ensemble empirical mode decomposition: a noise-assisted data analysis method[J].Advances in Adaptive Data Analysis,2011,01(01):1—41.

[8] Feldman M. Time-varying vibration decomposition and analysis based on the Hilbert transform[J]. Journal of Sound & Vibration,2006,295(3):518—530.

[9] Feldman M. Hilbert transform methods for nonparametric identification of nonlinear time varying vibration systems[J]. Mechanical Systems & Signal Processing,2014,47(1-2):66—67.

[10] Chen G D, Wang Z C. A signal decomposition theorem with Hilbert transform and its application to narrowband time series with closely spaced frequency components[J]. Mechanical Systems & Signal Processing,2012,28(2):258—279.

[11] 王佐才, 任偉新. 基于解析模式分解的密集工作模態(tài)參數(shù)識別[J]. 噪聲與振動控制，2013,33(6):18—24.

Wang Zuocai, Ren Weixin. The identification of intensive working mode parameters based on analytical mode decomposition[J]. Noise and Vibration Control,2013,33(6):18—24.

[12] Feldman M. A signal decomposition or lowpass filtering with Hilbert transform[J].Mechanical Systems & Signal Processing,2011,25(8):3205—3208.

[13] 王佐才, 任偉新, 邢云斐. 基于解析模式分解的時變與弱非線性結(jié)構(gòu)密集模態(tài)參數(shù)識別[J].振動與沖擊,2014,33(19):1—7.

Wang Zuocai, Ren Weixin, Xing Yunfei. The time-varying and weakly nonlinear structure density parameter identification based on analytical mode decomposition[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014,33(19):1—7.

[14] Wang Z C, Chen G D. Analytical mode decomposition of time series with decaying amplitudes and overlapping instantaneous frequencies[J].Smart Materials & Structures,2013,22(9):09503.

[15] Wang Z C, Ren W X, Chen G D. Time-varying linear and nonlinear structural identification with analytical mode decomposition and Hilbert transform[J]. Journal of Structural Engineering,2013,139(12):06013001, 1—5.

[16] 陳建兵, 劉章軍, 李 杰. 非線性隨機(jī)動力系統(tǒng)的概率密度演化分析[J].計算力學(xué)學(xué)報, 2009, 26(3): 312—317.

Chen J B, Liu Z J, Li J. Probability density evolution analysis of nonlinear dynamical systems[J]. Journal of Computational Mechanics, 2009, 26(3): 312—317.

[17] Lauria D, Pisani C. On Hilbert transform methods for low frequency oscillations detection[J].Iet Generation Transmission & Distributon,2014,8(6):1061—1074.

[18] 陳 宇, 陳懷海, 李贊澄,等. 時變AR模型的一種定階方法[J]. 振動與沖擊，2012,31(8):158—163.

Chen Yu, Chen Huaihai, Li Zancheng, et al. A definite order method of the time-varying AR modal[J]. Journal of Vibration and Shock,2012,31(8):158—163.

[19] 楊書玲, 李艷斌. 基于AR模型的載頻測量[J]. 無線電工程, 2006, 36(09):23—25.

Yang Shuling, Li Yanbin. The carrier frequency measurement based on AR model[J]. Journal of Radio Engineering, 2006, 36(09):23—25.

[20] 羅 豐, 段沛沛, 吳順君. 基于Burg算法的短序列譜估計研究[J]. 西安電子科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2005, 32(5):724—728.

Luo Feng, Duan Peipei, Wu Shunjun. A short sequence spectrum estimation study based on Burg algorithm[J]. Journal of Xi′an University of Electronic Science and Technology(Natural Science),2005,32(5):724—728.

[21] 單東升, 張培強(qiáng), 李 超. 基于AR模型的功率譜估計[C].全國信號和智能信息處理與應(yīng)用學(xué)術(shù)會議論文摘要集.中國，張家界，2012：504—527．

Shan Dongsheng, Zhang Peiqiang, Li Chao. Estimation of power spectrum based on AR model[C].National Signal and Intelligent Information Processing and Application Academic Conference, Zhangjiajie, China, 2012:504—527．

[22] Yang J N, Lei Y, Pan S,et al. System identification of linear structures based on Hilbert-Huang spectral analysis.Part I: Normal modes[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2003,32(10):1443—1467.