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(浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州 310018)

0　引　言

基于智能材料(如壓電陶瓷、形狀記憶合金等)的執(zhí)行器可廣泛應(yīng)用到諸多精密領(lǐng)域中。執(zhí)行器中的遲滯具有記憶、多映射和非平滑特性，它的存在往往是導(dǎo)致控制性能變差的原因，甚至可能導(dǎo)致控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定[1-2]。近年來，對非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)和分析已經(jīng)得到了廣泛的關(guān)注。一般來說，有兩種方法來處理執(zhí)行器的遲滯。一是自適應(yīng)逆控制，以實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)器非線性的逆構(gòu)造[3-4]；另一種方法是采用魯棒自適應(yīng)技術(shù)，它不涉及逆問題[5-6]。

Bouc-Wen模型最早由Bouc提出并由Wen完善。該模型通過調(diào)節(jié)微分方程參數(shù)，能夠描述大部分遲滯特性，在執(zhí)行機(jī)構(gòu)非線性系統(tǒng)的控制問題中得到了廣泛的應(yīng)用，如壓電執(zhí)行器、磁流變阻尼器、機(jī)械受迫振動(dòng)系統(tǒng)等[7-8]。Rakotondrabe[9]提出采用逆乘法結(jié)構(gòu)來補(bǔ)償Bouc-Wen模型的遲滯特性，只要確定系統(tǒng)的直接模型就可以避免大量計(jì)算。Minh等[10]研究了壓電驅(qū)動(dòng)器中的Bouc-Wen遲滯的非線性、不光滑特性，并且設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器。趙新龍等[11]通過傅里葉變換得到了Bouc-Wen模型的近似解，并針對該近似模型特性采用設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器，解決了開環(huán)控制中未知參數(shù)逆模型無法直接構(gòu)造的難點(diǎn)。

雖然針對非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展，但當(dāng)系統(tǒng)的控制方向未知時(shí)，難以對其設(shè)計(jì)控制器，而Nussbaum函數(shù)就是處理未知控制方向的方法之一。針對一類狀態(tài)不可測的遲滯非線性系統(tǒng)，Liu等[12]將Bouc-Wen模型和Nussbaum函數(shù)相結(jié)合，用魯棒濾波消除了系統(tǒng)狀態(tài)不可測的限制，設(shè)計(jì)出一種基于李雅普諾夫的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。Zhang等[13]研究了一類具有參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)，考慮了對稱死區(qū)和Bouc-Wen遲滯，并且基于反步技術(shù)和Nussbaum函數(shù)設(shè)計(jì)了一類自適應(yīng)控制器。

在非線性系統(tǒng)中，遲滯、未知控制方向和不確定干擾都會對系統(tǒng)產(chǎn)生消極的影響，使得控制器設(shè)計(jì)的難度大大增加。本文針對結(jié)合了遲滯、未知方向控制和不確定干擾的非線性系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)反步控制，重點(diǎn)研究了Nussbaum函數(shù)與基于Lyapunov函數(shù)的反步控制，在解決未知控制方向的同時(shí)，采用誤差變換，把跟蹤誤差限定在預(yù)設(shè)范圍之內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了對這一類未知控制方向的遲滯不確定非線性系統(tǒng)的有效控制。

1　非線性系統(tǒng)描述

整個(gè)Bouc-Wen遲滯不確定非線性系統(tǒng)可以描述為：

(1)

2　基于誤差變換的自適應(yīng)控制

若函數(shù)V(t)≥0和ζ(t),g(x(τ))，且N(ζ)為Nussbaum函數(shù)，則不等式恒成立[15]：

(2)

其中：常量c1,c0>0，因此V(t)和ζ(t)必然有界。

本文選擇Nussbaum函數(shù)的表達(dá)式：N(ζ)=ζ2cos(ζ)，選擇預(yù)設(shè)性能函數(shù)：ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞，其中：ρ0=ρ(0)是誤差允許的最大值；穩(wěn)態(tài)時(shí)ρ∞是跟蹤誤差的最大值；l是決定ρ(t)遞減的速率[16]。誤差轉(zhuǎn)換的定義為e(t)=ρ(t)S(z1)，其中：z1表示轉(zhuǎn)換后的誤差，S()表示一類平滑、嚴(yán)格遞增的可逆函數(shù)。

因此，原系統(tǒng)現(xiàn)在可以被轉(zhuǎn)換成如下系統(tǒng)狀態(tài)方程：

(3)

本次設(shè)計(jì)包括n步，首先設(shè)計(jì)虛擬控制量，最終在第n步設(shè)計(jì)出控制量[17]。

第1步：令z2=x2-α1，其中：α1為一個(gè)虛擬控制函數(shù)。選擇如下Lyapunov函數(shù)：

(4)

(5)

設(shè)計(jì)虛擬控制量α1：

α1=N(ζ1)η1,ζ1=z1rη1

(6)

其中：η1為一個(gè)光滑函數(shù)，將式(6)帶入式(5)，可得：

(7)

(8)

(9)

(10)

兩邊同乘以ec11t，然后積分，再兩邊同除以ec11t，可變成：

(11)

根據(jù)式(2)可知，如果z2有界，則z1也有界。

第n步：考慮n階系統(tǒng)：

(12)

設(shè)計(jì)如下控制律：

(13)

定理1考慮Bouc-Wen遲滯非線性系統(tǒng)(1)，滿足假設(shè)，經(jīng)過e(t)=ρ(t)S(z1)誤差變換，采用控制律(13)，那么閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界，而且系統(tǒng)誤差能控制在預(yù)設(shè)范圍之內(nèi)。

證明先證明閉環(huán)信號有界，選取Lyapunov函數(shù)

(14)

(15)

將式(13)、(14)帶入式(16)中，可得：

(16)

(17)

兩邊同乘以ec1nt，然后積分，再兩邊同除以ec1nt，可變成：

(18)

3　仿　真

一個(gè)常規(guī)二階非線性系統(tǒng)用來驗(yàn)證所提出方案的有效性，其描述如下：

要求系統(tǒng)的狀態(tài)誤差不大于0.01，且通過性能函數(shù)來確保暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能，該性能函數(shù)取ρ(t)=(0.3-0.01)e-2.5t+0.01，δ=0.3，ρ0(0)=0.3，ρ∞=0.01，l=2.5。期望輸出為yd=0.5(sin(t)+cos(2t))。設(shè)定x1(0)=0.5，x2(0)=0，不確定干擾為ω1=0.1sin(t)，ω2=0.1sin(t),且k1=2,k2=0,Abw=0.12,dp=1.5,β=0.02,γ=-0.015，φ2(x2)=3.51+0.5cos(x1x2),φ1(x1)=3.01+x1,nf1=nφ1=0.12,nf2=nφ2=0.12,σ1=σ2=5。

圖1表示系統(tǒng)的控制量，圖2表示系統(tǒng)的期望輸出和實(shí)際輸出，圖3表示加誤差變化時(shí)系統(tǒng)的跟蹤誤差。從圖1—圖3中可以看出，本文設(shè)計(jì)的控制方案能夠有效地跟蹤期望軌跡，而且系統(tǒng)誤差能夠限定在預(yù)設(shè)的范圍之內(nèi)，保障了系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

圖1　系統(tǒng)的控制量

圖2　系統(tǒng)的輸出軌跡

圖3　系統(tǒng)的輸出誤差

4　結(jié)　論

本文針對未知控制方向的遲滯不確定非線性系統(tǒng)提出了一類自適應(yīng)反步控制。用Bouc-Wen模型來描述系統(tǒng)的遲滯，使用Nussbaum增益型函數(shù)來處理未知控制方向的問題，采用誤差變換與基于Lyapunov函數(shù)的反步控制相結(jié)合的方法來實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)。結(jié)果表明，不但閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都是有界的，有效地削弱遲滯的不良影響，保證了系統(tǒng)的精度，而且保障了系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能，能把跟蹤誤差限定在預(yù)設(shè)的范圍之內(nèi)。