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(浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，杭州 310018)

0　引　言

近年來(lái)，由于多智能體系統(tǒng)在編隊(duì)控制[1]、傳感器網(wǎng)絡(luò)[2]等方面得到廣泛應(yīng)用，其協(xié)同控制問(wèn)題已經(jīng)引起越來(lái)越多的關(guān)注。一致性是多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制的前提和基礎(chǔ)。許多學(xué)者已經(jīng)研究了在固定拓?fù)?、切換拓?fù)涞燃s束條件下，以單積分、雙積分或高階動(dòng)力學(xué)方程為模型的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題[3-5]。

多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題主要分為無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者一致性問(wèn)題[6-7]、只有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨一致性問(wèn)題[8-9]和有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的包容控制問(wèn)題。包容控制，就是要求所有跟隨者的狀態(tài)收斂到領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包內(nèi)。Li等[10]研究了連續(xù)和離散多智能體系統(tǒng)，基于相對(duì)輸出信息，提出了分布式觀測(cè)器類型的包容控制協(xié)議，從而使得跟隨者最終收斂到領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包中。Wang等[11]針對(duì)一般線性多智能體系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題，在系統(tǒng)狀態(tài)信息不可得的情況下，設(shè)計(jì)了基于輸出反饋的控制協(xié)議。Liu等[12]研究了有限網(wǎng)絡(luò)資源下一階和二階多智能體系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題，提出了一種事件觸發(fā)協(xié)議，在達(dá)到包容控制目標(biāo)的同時(shí)，通過(guò)減少通信次數(shù)以節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。Hu等[13]針對(duì)非線性多智能體系統(tǒng)，對(duì)有向拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的系統(tǒng)包容控制問(wèn)題進(jìn)行了分析。Zheng等[14]研究了一階和二階異構(gòu)多智能體系統(tǒng)，分別提出了線性控制協(xié)議和非線性控制協(xié)議，得到了包容控制的必要充分條件。

在以上研究[10-14]中，控制器的參數(shù)設(shè)計(jì)需要知道全局信息，例如通信拓?fù)涞腖aplacian矩陣的最小非零特征值。因此，這些控制器不能以完全分布式的方式實(shí)現(xiàn)。為了克服這種局限性，分布式自適應(yīng)控制方法被應(yīng)用于解決多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題。Xie等[15]研究了單積分多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，分別設(shè)計(jì)了基于邊的和基于節(jié)點(diǎn)的兩種自適應(yīng)一致性協(xié)議，系統(tǒng)利用局部信息即可達(dá)到一致性。Li等[16]將這兩種協(xié)議用于解決一般線性多智能體系統(tǒng)在固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的一致性問(wèn)題，隨后又提出了切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下的自適應(yīng)一致性協(xié)議。Li等[17]針對(duì)線性和Lischitz非線性兩種情況，分別提出了分布式自適應(yīng)協(xié)議和Lischitz分布式自適應(yīng)協(xié)議。然而，這些文獻(xiàn)[15-17]都是針對(duì)無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者或一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的情況。

本文研究了多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者情況下多智能體系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題。在有向固定網(wǎng)絡(luò)下，基于鄰居智能體的相對(duì)狀態(tài)，采用分布式自適應(yīng)方法給出了系統(tǒng)的包容控制協(xié)議；利用矩陣?yán)碚摵蚅yapunov方法分析系統(tǒng)在該協(xié)議下達(dá)到包容控制的充分條件。該協(xié)議給每個(gè)智能體分配了一個(gè)時(shí)變耦合權(quán)重使得參數(shù)設(shè)計(jì)不依賴于任何的全局信息，在反饋控制下控制器以完全分布式的方式使跟隨者的狀態(tài)漸近收斂到領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包內(nèi)。

1　預(yù)備知識(shí)及問(wèn)題描述

1.1　圖論

多智能體之間的交互拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通常用一個(gè)有向圖G=(V,E)表示，其中V={1,…,N}表示節(jié)點(diǎn)集合，E?V×V表示邊集合[18]。一條從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的有向邊表示為(i,j)∈E，節(jié)點(diǎn)i稱為父節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)j稱為子節(jié)點(diǎn)。當(dāng)(i,j)∈E時(shí)，則節(jié)點(diǎn)i是節(jié)點(diǎn)j的鄰節(jié)點(diǎn)，用Ni={j∈V|(j,i)∈E}表示節(jié)點(diǎn)i的鄰居集。鄰接矩陣A=[aij]∈RN×N定義為：aii=0,aij=1?(j,i)∈ε，否則aij=0。圖G的Laplacian矩陣L=[lij]∈RN×N定義為：lii=∑j≠iaij，且lij=-aij,i≠j。容易驗(yàn)證0是L的一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量是1N=(1,…,1)T。有向圖中的一條路徑是指從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)k有序邊序列(i,i+1),(i+1,i+2),…,(k-1,k)∈E。若有向圖G中存在一個(gè)根節(jié)點(diǎn)(沒(méi)有父節(jié)點(diǎn))可以到達(dá)其他所有節(jié)點(diǎn)，則稱圖G含有一棵有向生成樹(shù)。

1.2　問(wèn)題描述

考慮如下的線性多智能體系統(tǒng)：

(1)

其中：xi∈Rn和ui∈Rp分別為智能體i的狀態(tài)和控制輸入。A和B為維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。

對(duì)于每個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，假設(shè)其控制輸入ui=0，則領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)方程為：

(2)

由于領(lǐng)導(dǎo)者沒(méi)有鄰居，圖G的Laplacian矩陣可以分解為：

(3)

其中：L1∈RM×M，L2∈RM×(N-M)。

假設(shè)1至少有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體是全局可達(dá)的。

定義2[21]對(duì)于任意的初始條件xi(0),i∈F，如果存在控制協(xié)議ui使得所有跟隨者的狀態(tài)漸近收斂到由領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)構(gòu)成的凸包內(nèi)，則稱系統(tǒng)(1)解決了包容控制問(wèn)題。

2　主要結(jié)果

定義相對(duì)狀態(tài)信息

本文設(shè)計(jì)的分布式控制協(xié)議為：

(4)

其中：ci(t)為智能體i的時(shí)變耦合權(quán)重，且ci(0)>1，?！蔙n×n和K∈Rp×n為需要設(shè)計(jì)的反饋增益，ρi(s)是滿足ρi(s)≥1,s>0條件的單調(diào)遞增函數(shù)。P>0是下列線性矩陣不等式(LMI)的解：

AP+PAT-2BBT<0

(5)

下面給出控制協(xié)議(4)解決系統(tǒng)包容控制問(wèn)題的充分條件。

其中：

證明將式(2)代入到入式(1)中，可得

(6)

(7)

由z的定義可知

z=(L1?I2n)xf+(L2?I2n)xl

(8)

對(duì)式(8)求導(dǎo)得

=(In?A+L1cρ?BK)z

(9)

且

(10)

構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行求導(dǎo)，得到

(12)

zT[cρΞ?(P-1A+ATP-1)-

(13)

(14)

將式(13)—(14)代入式(12)，有

(15)

因?yàn)棣裪(s)≥1且ci(s)≥1,?s>0，則有

(16)

選取

(17)

即

(18)

于是有

(19)

將式(16)—(19)代入式(15)中，可得

(20)

其中：

證畢。

3　仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)用一個(gè)仿真示例來(lái)驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性。在這個(gè)例子中，假設(shè)多智能體系統(tǒng)包含3個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和4個(gè)跟隨者，其系統(tǒng)矩陣為：

通信拓?fù)淙鐖D1所示。其中節(jié)點(diǎn)5,6,7表示領(lǐng)導(dǎo)者，其他節(jié)點(diǎn)均表示跟隨者。

圖1　通信拓?fù)?/p>

顯然，假設(shè)1滿足。相應(yīng)地，式(3)中，

利用Matlab的LMI工具箱解LMI(5)得到反饋增益矩陣

圖2　耦合權(quán)重軌跡

圖3　函數(shù)ρi(t)軌跡

智能體的狀態(tài)軌跡如圖4和圖5所示。顯然，所有跟隨者智能體的狀態(tài)均漸近收斂到領(lǐng)導(dǎo)者智能體狀態(tài)構(gòu)成的凸包內(nèi)。

圖4　所有智能體的狀態(tài)xi1軌跡

圖5　所有智能體的狀態(tài)xi2軌跡

相對(duì)狀態(tài)信息z的軌跡如圖6和圖7所示。從圖中可以看出，z漸近趨于0，說(shuō)明在控制器(4)的作用下，系統(tǒng)(1)可解包容控制問(wèn)題。

圖6　包含誤差zi1軌跡

圖7　包含誤差zi2軌跡

4　結(jié)　論

本文研究了一般線性多智能體系統(tǒng)在有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的包容控制問(wèn)題，給出了一種基于分布式自適應(yīng)方法的包容控制協(xié)議。假設(shè)每個(gè)跟隨者智能體只與其鄰居智能體進(jìn)行信息通訊，并且至少存在一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者智能體是全局可達(dá)的，通過(guò)Lyapunov方法分析并證明了在該控制協(xié)議下所有跟隨者智能體的狀態(tài)都能收斂到由領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)所形成的凸包內(nèi)。后期準(zhǔn)備研究事件觸發(fā)機(jī)制下多智能體系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題。