王雯宇 許武龍 許 洋 楊旭東

(北京工業(yè)大學應用數理學院，北京 100124)

1　跳起的鏈子

有這樣一個有趣的物理現象如圖1所示，高臺上的杯子中盤著沒有纏繞在一起的一根鏈子，從杯中拿起鏈子的一端，讓它沿著杯壁外側自由下落，下落的一端帶動杯中的鏈子掉落到地面上。下落過程中鏈子并不是一直貼著杯壁下落，而是很快地從某個時刻起，鏈子跳起來，在空中有一段時間會維持較為穩(wěn)定的弧形形狀。這個實驗經常在大學物理課上演示。從現象上看這是一個非常有趣的經典力學問題，具體過程可以參看網絡視頻①https：//v.qq.com/x/page/o0363pisyik.html？。本論文就試圖分析研究掉落的鏈子(下面稱之為“掉鏈線”)的形狀、下落高度、跳起高度、跳遠距離之間的關系等。在理論分析之后，我們將做實驗來驗證理論。

圖1　跳起的鏈子現象示意圖

2　現象及理論分析

2.1　實驗現象

首先我們說明一下實驗的發(fā)生過程。如圖1所示把鏈子一層層盤繞放入杯子中，鏈子之間不互相纏繞(實際過程中很難做到這一點，而這也是影響實驗的關鍵因素之一)。然后將杯子放置一定高度，從杯中取出一小段鏈子讓其自由下落，很快鏈子就與杯口分開，從杯中跳起。在實際的操作過程中我們也嘗試了用一根柔軟幾乎不可收縮的繩來做相同的實驗，繩子也可以勉強跳起但現象很不明顯，所以實驗通常采用細金屬條串起金屬球的鏈子，金屬球之間可以松弛連接，且松弛連接時，鏈子沒有抗彎能力，這一點是鏈子與柔軟繩子的關鍵差別，下文我們將通過分析指出其原因。

實驗發(fā)現鏈子從杯中跳起到最高點過程中，由于杯中鏈子纏繞方式復雜，起跳點持續(xù)變換，因此從杯中上跳到最高點過程的形狀也非常復雜。而在最高點到落地點這一段，在最高點附近鏈子會維持一個較為穩(wěn)定的形狀。落地點鏈子在地上不停地堆積和纏繞造成鏈子的形狀會發(fā)生抖動，但是由于起跳高度遠小于下落高度(后文詳述這些高度的定義)，在地面的抖動并不影響最高點附近的穩(wěn)定形狀。

綜上觀察，我們認為這個物理現象可以分為鏈子跳起過程和鏈子懸空穩(wěn)定形狀兩部分來分析。由于穩(wěn)定形狀過程是大多數讀者所關心的，而且根據我們的分析，發(fā)現其實這也是該現象問題的關鍵，所以這一節(jié)我們對此穩(wěn)定形狀進行專門理論分析。

2.2　懸空穩(wěn)定形狀分析

乍一看，跳起的鏈子形狀像是拋物線，其實問題并不是那么簡單。因為一個質點斜拋做自由落體的運動軌跡是一條拋物線，而對一個不可伸縮的鏈子來說，懸空的鏈子上每一個鏈元的速率是一樣的，并不是在做勻變速運動。根據我們的觀測，杯中鏈子消失速度基本上是恒定的，因此我們假設在理想情況下懸空的鏈子每個鏈元的速率為v0，那么在d t時間內，有λv0d t質量的線元(λ為線密度)速度從零加速到v0，則A點的鏈元就受到了靜止在杯中的鏈子拉力，為

注意這只是理想情況，下面研究表明，A端受力小于λv20。B點速度為v0的鏈元碰撞地面，如果鏈子完全彈性碰撞則會以v0從地面彈起來，同樣的分析表明B點鏈元受到地面的沖力等于2λv20。當然由于地面鏈子的拖拽，鏈子與地面不是完全彈性的，后文將給出處理B點沖力的具體方法。這樣懸空鏈子就處在一個理想狀態(tài)，即在TA、TB張力的作用下，保持速率為v0，d t時間內把杯中λv0d t的鏈子從杯中挪到地面上，即重力勢能轉化為動能，動能轉化為鏈子和地面的內能。

理想的狀態(tài)下，研究表明懸空的鏈子形狀其實就是一個倒著的懸鏈線。這里首先簡單說明懸鏈線形狀的推導過程。如圖2所示，在一面墻上A、B兩點之間掛起一根不可伸縮的鏈子，鏈子的形狀就被稱為懸鏈線。懸鏈線形狀的推導過程是經典力學乃至數學歷史上一個重要問題[1-3]。牛頓力學中受力分析的方法可以計算其形狀，而后發(fā)展起來的分析力學有更加簡潔的推導過程。對一個函數的變分實際上還推動了泛函分析的發(fā)展，具體歷史過程因為不是本文的重點，所以就不展開說明了，感興趣的讀者可以閱讀相關參考文獻[4]。假定鏈子的形狀為

圖2　懸鏈線示意圖

變分原理其實就是要找到一個y(x)使得鏈子勢能或者重心處于最低點。整個系統(tǒng)作用量為

其中，g是重力加速度;c是任意一個常數(因為鏈子可以掛在任何高度，勢能零點也可以任意選取);y′是y的一階導數;1+y′2d x是一個線元的長度;L就是系統(tǒng)的拉格朗日量

分析力學中根據L的運動方程[5-6]

求解懸鏈線的形狀，即

化簡可得

這是一個非線性的微分方程，其解為

其中a，b是待定常數。以上就是通常分析力學中的懸鏈線求解過程，注意此時我們取的是任意高度的懸鏈線，所以有個待定參數c。其實讀者還可以注意到雖然運動方程(6)是非線性的，但是它有一個分立對稱性，即做變換

Y(x)也是懸鏈線方程的一個解。而由于通常掛著的鏈子都受到重力作用，鏈子都是向下凹陷的，所以這個翻轉之后的解看上去沒有應用。或者說這個解是系統(tǒng)的另外一個極值點，該點不是穩(wěn)定點，也就很少有人來討論此事。而我們分析發(fā)現，這個翻轉之后的解恰好就是掉鏈線的形狀。

對于懸空鏈子的作用量，其實只需要加上動能項，而勢能項與懸鏈線是一樣的。

即拉格朗日量為

而已。因此根據實際情況，跳起的鏈子向上凸起，可以得到

這就是掉鏈線形狀的函數。

2.3　經典力學的檢驗

上一小節(jié)中掉鏈線運動方程推導過程與一般的懸鏈線求解過程不同之處在于懸空鏈子每個鏈元實際上是處在運動過程中，鏈子不斷從杯子中跳出，又掉落到地面上，這是一個變質量運動系統(tǒng)，因此可能有讀者會疑問以上變分原理能否適用。其實我們也可以根據牛頓力學的受力分析得到完全一樣的運動方程。懸空鏈子在鏈內存在著張力

鏈中張力在鏈子上任意點都是沿著切線背離鏈元方向的，如圖3所示。此時我們約定取A點指向B點的方向做為正方向，即研究鏈元靠近B點一端的張力。因為每個鏈元在做曲線運動，速率不變，所以每個鏈元的切向加速度為零。如圖3所示，d T和鏈元的重力沿切向分量相消，即

圖3　掉鏈線所受張力分析圖

因此鏈中張力可以表示為

這是個非常有意思的結果，即穩(wěn)定形狀鏈子中的張力隨著鏈元的高度改變而改變，其實這也與懸鏈線中的張力情況是一樣的。為了清楚地表示受力分析，我們采用了圖3所示的分析辦法，即研究x-d x，x，x+d x兩段鏈元的受力。由于這兩段鏈元在同一點x附近，線速度相等，忽略高階小量曲率半徑也相等，所以可以放在一起寫一個統(tǒng)一的向心力方程。每一個鏈元法向向心力應該由重力以及張力T曲線法線方向分量來提供，而鏈元兩側張力的改變微元d T，其法線方向分量是高階小量，計算向心力的時候可以忽略。x和x+d x點切向夾角分別為θ和θ+dθ，則

由此可得

x-d x和x之間鏈元分析與此類似，因此向心力為

加上重力的法向分量，則x-d x到x+d x之間鏈元的力學方程為(兩段鏈元之間的張力是內力)

其中ρ為x點曲率半徑

代入曲率半徑ρ、dθ、張力T，計算可得

由于線形上凸所以

化簡整理之后可得

因為TA是待求變量，所以不妨定義

則y的力學方程為

這就是懸鏈線的微分方程，與公式(3)完全一樣。由上可知，牛頓力學和分析力學都可以得到鏈線的形狀為懸鏈線的結論。

相比于分析力學變分原理，牛頓力學的分析雖然復雜一些，但由于是力的分析，所以物理圖像更為直觀。我們還可以看到懸鏈線和掉鏈線兩端受力情況是不同的。當選定研究鏈元靠近某一端的張力后，圖2中靜止的懸鏈線兩端張力方向是相同的，而圖1中，A端鏈元是處于加速過程，B端鏈元處于減速過程。選定研究鏈元靠近某一端的張力后，則兩端張力是沿著相反方向的。形象地說就是懸鏈線是兩端釘子向相反方向互相拉著的一個穩(wěn)定系統(tǒng)，而掉鏈線是兩端朝著線的某個方向推著的“穩(wěn)定系統(tǒng)”。

2.4　起跳分析

這里先說明一下，TA≠λv20的原因。TA=對應的其實是理想情況，即每個鏈元瞬間速率從零加速到v0，而實際情況則是鏈子松弛盤繞，鏈元需要一段加速過程到v0，使得TA實際上是小于的。數學解析上看，如果c=0，掉鏈線形狀為

此時

不能得到一個y＞0的解。對于一個非線性微分方程來說，方程的解加上某個常數不再是方程的解。所以如果假設了圖4的坐標系統(tǒng)，得到y(tǒng)＞0的解的話，c必須不為零，根據公式(21)也可以看到TA必須小于λv20。因此下面我們按照圖4所示坐標，補充鏈子的加速過程，(C點到A點)加速跳起過程高度表示為hi。掉鏈線跳起高度為hr，則總跳起高度為

圖4　掉鏈線起跳過程分析圖

鏈子下落為H，跳遠寬度為2x0。我們將進一步研究跳起這些量之間的關系，并嘗試做實驗來驗證。

A點張力為

根據公式(14)，A點到B點張力T的方程為

上文已經說明完全彈性碰撞時B點受力等于2λv20，有讀者在這里會疑問B點張力的合理性，因為B點與A點類似，需要一個減速過程，而且最后靜止于地面上，張力值應該小于λv20。但是由于鏈子落地過程不能人為控制，我們發(fā)現落地過程中鏈元還會輕微彈跳，所以實際上鏈元對地面的沖力會大于λv20。為了準確起見，不妨引入一個系數α(假定它為一個常數)來描述B點的受力。因此

α的具體值應該大于1小于2。注意，這里我們選定正方向，所以B點受力為負值。由于實驗中H遠遠大于hj，因此，B點張力的漲落其實對物理結果是不敏感的。由此

這就是下落高度與懸空鏈子速率之間的關系，當然這里面還有兩個待定的參數c，α。穩(wěn)定掉鏈線起跳高度y(x=0)處

由此問題轉變?yōu)檠芯繀礳、a和α上。3.1節(jié)在實驗分析階段再對此做詳細討論，在此之前，我們首先來分析一下加速過程。

加速過程速率隨時間改變，看上去問題似乎有點棘手。分析之后，發(fā)現其實時間參數也可以去掉。速率表示為v，根據圖3和公式(14)，簡單分析鏈元切向加速度就可以得到其力學方程為

注意，此時由于鏈元松弛連接，可以不用考慮法向力學方程?？梢钥吹剑瑒偤每梢约s掉d t。這其實就是掉鏈線過程中重力勢能轉換為動能的數學表述，方程兩邊分別積分得到

因此

即

再代入公式(29)可得

由此還得到了系統(tǒng)起跳的條件，如果這個過程可以發(fā)生，我們必須要求hi得大于零，因此起跳條件為

而鏈子跳起的總高度

到此，我們就可以看到，鏈子跳起的高度基本上與鏈子跳落高度H呈線性關系，當然參數c，a和α還有待確定。

3　實驗驗證

3.1　實驗分析以及過程

有了第2節(jié)的理論分析，我們就可以用實驗來做驗證了。但是需要說明的是，第2節(jié)分析的情況是理想狀態(tài)，而實際實驗存在很多難以克服的困難，主要有：

(1)理想情況下，杯子中的鏈子完全松弛，而實際上很難做到這一點。正如上節(jié)開頭所說，鏈子上小球難免會有纏繞，這就造成了鏈子起跳和穩(wěn)定過程中，鏈子質量不是均勻的。我們發(fā)現這一點對實驗影響非常大。一個小小纏繞扭結就使得線形改變。

(2)理想情況下，起跳點和落地點都是固定，這樣可以得到穩(wěn)定的圖形。但是實際過程中，起跳點和落地點都在不停抖動，線形也在抖動，很難測量線形的準確形狀。因為掉鏈線是一個指數函數，y隨著x迅速增長，所以抖動線形下部基本就是一條直線，要準確對應指數函數曲線非常困難。

(3)由于以上兩點，準確確定A、B、C點的位置也有問題，基本上只能在有很大誤差的情況下確定hj和H。

雖然存在以上困難，但是有一點可以確定，就是

跳起高度hj和c，a在一個量級?；诖耍覀冋J為跳起的鏈子形狀看上去“很像”翻轉的懸鏈線，而實驗首先應該驗證的是公式(36)中hj和H的線性關系，以及參數α的確定。

具體實驗方法如下：我們用3 m的卷尺在白紙上手工繪制了2.5 m的刻度尺貼到墻上如圖5(a)所示。然后從200c m的高度逐次以5c m的高度差下降，重復進行掉鏈實驗直到100c m。隨著鏈子下落高度降低，起跳高度下降很多，測量也越來越困難，因此我們選定10c m的高度差下降記錄鏈子下落過程一直到40c m。在每一個位置處我們用一部手機拍攝掉鏈視頻。拍攝過程中手機鏡頭盡量平視鏈子使最高點出現在手機的正對面，記錄整個過程。在實驗過程中存在著很多因素導致很大的誤差，每一個位置我們都是多次拍攝以尋找最佳視頻。

圖5　實驗裝置以及器材

實驗用的杯子和鏈子如圖5(b)、(c)、(d)所示。具體的參數如下

金屬球直徑 5±0.5 mm金屬細桿長度 3±0.5 mm鏈子長度 8.4 m鏈子線密度λ 0.036±0.03kg/m杯子高度 95±0.5 mm杯口直徑 66±0.5 mm

分析發(fā)現，c，a和杯子口徑在一個數量級上。其實原則上講，只要滿足第2節(jié)所述理論，任意形狀的掉鏈線都可以存在。但由于鏈子從杯中跳起，所以跳起鏈子掉鏈線形狀其實依賴于一定的初始條件，即杯子口徑，起跳時刻、起跳點杯中深度等因素。所以同一高度跳起的掉鏈線形狀盡管不是唯一的，但是c，a參數應該是基本上相等，這也是后文得到的線性關系的重要原因。

數據采集過程如下：我們用視頻軟件對視頻一幀一幀觀察，尋找視頻中某個最佳時刻：掉鏈線最高點而且形狀也穩(wěn)定，如圖5(e)所示。在每一個高度我們截取了穩(wěn)定清晰的一張圖片，記錄相應的開始高度位置和起跳高度位置等。估計誤差然后用excel表格記錄。有了這些數據之后我們就可以進行數據分析了。需要說明的是，受限于實驗條件，讀數的誤差也比較大，所以下面我們更為關注定性結果。

3.2　數據處理以及結果分析

實驗結果如圖6所示，圖中顯示了所有采集的數據點。從數據上可以看出當跳落高度H小于100c m時，起跳高度hj非常不穩(wěn)定，很難看出線性關系。但是當高度大于100c m后，H和hj基本上成線性關系。因此我們認為實驗部分驗證了第2節(jié)的理論推導。

下面就是分析具體參數α的值，由于H較小時，誤差很大，所以我們舍去了H小于100c m的數據點。同時，當高度過高時，鏈子跳落速度v0會過大，造成鏈子連接過緊而使得上文推導時假定的鏈子可以任意形變的條件不再成立。所以我們也舍去了200c m和195c m的兩個點，另外剩下的數據點有一個明顯偏離線性，我們認為它來源于實驗中的隨機因素，也舍去了。所有舍去的點在圖中用灰色×表示，剩余的黑色的點擬合的線性關系在圖6中用實線表示，其延長線用虛線表示。由圖中實線以及相應數據點，最終得到

可以看到，不確定度很大，而且α的中心值超過了2，但是基于以上眾多誤差產生的可能性，我們認為α的數值還是符合預期的。另外一件有意思的事情就是，當圖中實線延長后與橫軸交點會大于零，而這一個點對應的就是公式(35)表示的起跳條件。當然因為隨機因素太多，這個起跳條件只能用于大略估計。

最后我們補充說明一下細繩難以跳起來的原因。鏈子的每個鏈元是松弛連接的，而細繩很難做到這一點。(因此細繩也很難掛出準確的懸鏈線形狀。)也就是說，起跳要求的無法向力干擾的加速過程(公式(31))條件很難實現，這也就是細繩跳起很難的原因。

4　結語

從高臺杯子自由下落的鏈子跳起來是一個非常有趣的現象，我們把跳起鏈子分為穩(wěn)定形狀和起跳過程兩部分來分析。變分原理和受力分析都表明其動力學方程是一個翻轉的懸鏈線。我們研究了起跳條件，描述鏈子形狀的參數，得到了跳落高度和跳起高度之間呈線性關系的結論。最后我們實驗驗證該結論，并確定了落地點受力參數α的大小，基本符合預期。

這是一個既有理論又有實驗演示的有趣過程。大學物理課堂上給學生演示跳起鏈子實驗之后，可以接著給學生擴展講解變分原理，懸鏈線的計算等等，相信可以取得較好的教學效果。落地點受力參數的值對研究一些掉落系統(tǒng)的問題有一定的參考作用。