渠　昱,　顧安邦,　曾　勇,　杜柏松

(1. 重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400074; 2. 重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁結(jié)構(gòu)與材料教育部工程研究中心, 重慶 400074)

正交異性鋼橋面板是由面板和一系列的縱橫加筋肋焊接而成,重量輕和承載力大的優(yōu)點(diǎn)與結(jié)構(gòu)工藝復(fù)雜、對疲勞敏感的缺點(diǎn)同時(shí)存在.李傳習(xí)等[1]在某懸索橋運(yùn)行9 a后發(fā)現(xiàn)扁平鋼箱梁中疲勞裂紋有141處,其中橫隔板開孔和U肋與橫隔板焊接端頭為126處,占全橋裂紋總數(shù)的89.4%.張清華等[2]從制約正交異性鋼橋面板的疲勞性能研究進(jìn)展等層面進(jìn)行了分析總結(jié),認(rèn)為正交異性鋼橋面板的疲勞體現(xiàn)為由多個(gè)構(gòu)造細(xì)節(jié)的疲勞性能共同決定的空間結(jié)構(gòu)疲勞問題,該問題的研究面臨極大挑戰(zhàn),并指出需要加強(qiáng)對疲勞機(jī)理的研究.其中循環(huán)塑性對裂紋萌生和擴(kuò)展的影響是疲勞研究的主要內(nèi)容,裂尖局部延性屈服形成裂尖塑性區(qū),塑性區(qū)的尺寸(pz)和形狀控制著裂尖的結(jié)構(gòu)特性.近年來許多最先進(jìn)的試驗(yàn)技術(shù),如電子背散射衍射[3-4]、原子力顯微鏡[5-6]、圖像數(shù)字識(shí)別相關(guān)分析[5]、電子顯微鏡[6]和X射線斷層攝影[7-8]等技術(shù)用于疲勞塑性區(qū)的研究.

在裂紋擴(kuò)展過程中裂尖塑性區(qū)尺寸和形狀對疲勞裂紋有著極其重要的作用.陳景杰等[9]提出了一種基于裂紋最大張口位移變化量確定裂尖逆向塑性區(qū)尺寸的簡便方法.趙均海等[10]根據(jù)雙剪統(tǒng)一強(qiáng)度理論,給出了能反映材料拉壓性能差異的初始拉壓及反映中間主應(yīng)力效應(yīng)的參數(shù)對塑性區(qū)的影響.VASCO OLMO等[11]利用實(shí)驗(yàn)和圖像數(shù)字識(shí)別相關(guān)分析技術(shù)得到裂尖區(qū)域的應(yīng)變場,利用Mises應(yīng)力計(jì)算等效應(yīng)力,得到塑性區(qū)的尺寸和形狀,并與理論模型結(jié)果進(jìn)行對比.

對pz的簡化計(jì)算方法和對鋁、鉬等合金材料研究較多，對橋梁結(jié)構(gòu)鋼,利用數(shù)值方法和塑性區(qū)對裂紋擴(kuò)展和過載等問題的影響研究很少.本文通過數(shù)值方法對橋梁鋼裂紋擴(kuò)展和尾跡場的塑性累積進(jìn)行模擬分析,探討循環(huán)塑性區(qū)的形成、裂尖塑性區(qū)與尾跡場對裂紋擴(kuò)展和過載滯后等影響進(jìn)行研究.

1　裂尖塑性區(qū)算法

1.1　簡化的裂尖塑性區(qū)計(jì)算方法

為了工程設(shè)計(jì)需要,一般對pz作簡化處理,假定只與應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)有關(guān).平面應(yīng)力pl-σ和平面應(yīng)變pl-ε的情況下,簡化的Ⅰ型裂紋彈塑性邊界可表示為

(1)

[(1-2ν)2+3sin2(θ/2)],

(2)

(3)

式中:ν為泊松比;KI為Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子;Sy為屈服應(yīng)力;θ為幅角.

當(dāng)極坐標(biāo)半徑r趨于0時(shí),根據(jù)SIF的應(yīng)力場計(jì)算的塑性區(qū)是精確的,但式(1)～(2)的結(jié)果只有對很低的SIF有效.更主要的是式(1)～(2)不滿足無窮遠(yuǎn)邊界條件,根據(jù)Irwin[12]早期的建議,在平行于裂紋方向的應(yīng)力分量sxx加一非奇異的常數(shù)項(xiàng),即T應(yīng)力強(qiáng)制滿足遠(yuǎn)場條件,即KI+T應(yīng)力場(見式(4)),用于考慮應(yīng)力水平對塑性區(qū)的影響[12].

(4)

根據(jù)形狀應(yīng)變能密度理論,塑性區(qū)應(yīng)力方程為

(5)

式中:σM,pl-σ為裂尖周圍Mises應(yīng)力.

根據(jù)式(4)～(5),得到等于屈服應(yīng)力的等值線,即塑性區(qū)邊界，這樣就可以得到裂尖的塑性區(qū).

以橋梁鋼Q345qD為例研究平面應(yīng)力水平對Ⅰ型裂紋塑性區(qū)的影響,同樣適用于平面應(yīng)變情況.材料參數(shù):彈性模量E=2.0×105MPa；ν=0.3；屈服強(qiáng)度Sy=345 MPa；斷裂韌度KIC=60 MPa·m0.5,計(jì)算的塑性區(qū)見圖1，圖中：σn為外荷載應(yīng)力；pz(θ)為塑性區(qū)尺寸.式(4)～(5)雖然是簡化的計(jì)算方法,但是能考慮應(yīng)力水平的影響,圖1表明在高應(yīng)力水平大于0.4的情況下,不能忽略高階項(xiàng)的影響.由于裂尖塑性區(qū)和構(gòu)件剩余部分尺寸相比較小,狀態(tài)仍然以彈性為主,線彈性分析仍適用.所以,如何改進(jìn)線彈性方法估計(jì)塑性區(qū)是具有實(shí)際意義.

圖1　平面應(yīng)力I型裂紋裂尖塑性區(qū)Fig.1　Plane stress crack tip plastic zone for mode I

1.2　應(yīng)力函數(shù)計(jì)算裂尖塑性區(qū)

Westergaard應(yīng)力函數(shù)Z(z)提供了一個(gè)嚴(yán)格的從線彈性應(yīng)力場計(jì)算裂尖塑性區(qū)方法[13],可以避免簡化算法截?cái)嘁鸬恼`差.利用應(yīng)力函數(shù)Z(z)得到的應(yīng)力場滿足所有邊界條件,但是彈塑性邊界并不靠近裂尖,這可以將坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到裂尖,再次利用平面Ⅰ型裂紋加載的Irwin解[12].如果(x,y)和(r,θ)分別是直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系,原點(diǎn)設(shè)在裂尖上,z=rexpθ=x+iy是復(fù)函數(shù),i2=-1,Irwin解為

(6)

(7)

首先利用Z(z)和Z′(z)函數(shù)得到應(yīng)力,然后利用等效Mises應(yīng)力等于屈服強(qiáng)度Sy,就可以得到平面應(yīng)力情況下的塑性區(qū)方程,如式(8).

{[ReZ-yImZ′-σn]2+[ReZ+yImZ′]2-

[ReZ-yImZ′-σn][ReZ+yImZ′]+

3(-yReZ′)2}1/2-Sy=0.

(8)

盡管應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的完備應(yīng)力場對平面裂紋的線彈性解是正確的,但是,塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力分布與線彈性場的奇異性不匹配.塑性區(qū)內(nèi)的能量不平衡會(huì)改變塑性區(qū)周圍的應(yīng)力分布,因此塑性區(qū)的大小和形狀需要進(jìn)行修正.

圖2　由應(yīng)力函數(shù)計(jì)算的Ⅰ型裂紋裂尖塑性區(qū)結(jié)果Fig.2　Estimated resultsfrom stress function for the mode Ⅰ

1.3　滿足平衡條件要求的塑性區(qū)修正

應(yīng)力修正就是強(qiáng)制平面裂紋滿足平衡條件.塑性區(qū)內(nèi)利用Mises應(yīng)力對屈服產(chǎn)生的應(yīng)力截?cái)噙M(jìn)行平衡校正是合理的解決方案,因?yàn)樗軐⑺袘?yīng)力都與Mises應(yīng)力相關(guān).本文只討論(σn/Sy=0.8)Mises應(yīng)力對塑性區(qū)的修正[14],按式(9)計(jì)算,結(jié)果見圖3.

(9)

式中：pz eq M為Mises應(yīng)力平衡修正后的裂尖塑性區(qū)；pz M為利用Westergaard函數(shù)計(jì)算的裂尖塑性區(qū)；σM(r,θ)為修正點(diǎn)的Mises應(yīng)力.

圖3?、裥土鸭y裂尖塑性區(qū)平衡校正前后的結(jié)果比較Fig.3　Comparison of crack tip plastic zone before and after equilibrium correction for mode Ⅰ crack

圖3中:A表示KI+T的裂尖塑性區(qū);B表示Mises應(yīng)力修正的KI+T裂尖塑性區(qū);C表示應(yīng)力函數(shù)Z計(jì)算的裂尖塑性區(qū);D表示Mises應(yīng)力修正的應(yīng)力函數(shù)Z計(jì)算的裂尖塑性區(qū).

從圖3可以看出:高應(yīng)力水平對塑性區(qū)的影響需要修正;低應(yīng)力水平對塑性區(qū)的影響很小,不需要進(jìn)行塑性區(qū)修正.

2　數(shù)值方法

為了與理論值進(jìn)行比較,利用擴(kuò)展有限元(XFEM)對橋梁鋼裂尖塑性區(qū)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

2.1　利用XFEM計(jì)算Q345qD裂尖塑性區(qū)

XFEM的基本想法是將不連續(xù)位移場分解為兩部分:連續(xù)部分是標(biāo)準(zhǔn)有限元插值；不連續(xù)部分是根據(jù)局部單位分解定理[15]增加的部分,并將這些附加信息嵌入有限元插值.這樣的矩陣仍然是稀疏的,仍可以用現(xiàn)有的有限元分析框架處理不連續(xù)問題.裂紋采用兩個(gè)水平集函數(shù)描述[15]:描述裂紋路徑的水平集函數(shù)和裂尖位置的水平集函數(shù).附加函數(shù):完全被裂紋分割的單元節(jié)點(diǎn)附加采用有向距離函數(shù);裂尖單元節(jié)點(diǎn)附加取分支函數(shù)[15].為了消除在附加和非附加單元之間存在混合(過渡)單元產(chǎn)生多余項(xiàng)問題,利用內(nèi)罰函數(shù)方法使附加和不附加覆蓋之間強(qiáng)制連續(xù),稱為不連續(xù)伽遼金擴(kuò)展有限元[16],比標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)展有限元更精確,收斂速度得到了優(yōu)化.

利用Abaqus對Q345qD橋梁結(jié)構(gòu)鋼板進(jìn)行計(jì)算,鋼板尺寸為寬1200 mm×長1 600 mm×厚4 mm,中心裂紋長度10 mm,劃分成329 873個(gè)C3D8R單元,147 070個(gè)節(jié)點(diǎn),裂紋處網(wǎng)格加密尺寸為0.5 mm×0.5 mm,裂紋垂直方向單向加載,應(yīng)力比σn/Sy=0.8,0.6，0.4.根據(jù)應(yīng)力場得到的裂尖塑性區(qū)結(jié)果見圖4.

圖4　不同應(yīng)力比情況下中心裂紋塑性區(qū)Fig.4　Central crack plastic zone under different stress ratios

2.2　計(jì)算結(jié)果比較

根據(jù)以上計(jì)算的結(jié)果,取裂紋長度a=10 mm,裂尖塑性區(qū)半徑比較見表1.

表1各種計(jì)算方法的塑性半徑比較
Tab.1Comparison of plastic radii of calculation methods mm

計(jì)算方法修正前后σn/Sy0.80.60.4KI+T前3.201.800.80后6.403.601.60Westergoard函數(shù)前4.032.271.01后8.064.542.02XFEM—4.281.720.70

由表1可知:在低應(yīng)力比情況下,幾種算法基本接近,在高應(yīng)力比情況下,Westergoard函數(shù)與XFEM法計(jì)算結(jié)果很接近,說明數(shù)值方法是可行的.

從圖1～4可知,裂尖塑性區(qū)對稱向前伸展.由于塑性區(qū)不能傳遞拉應(yīng)力,裂尖塑性區(qū)的兩個(gè)“翅膀”遮蔽了裂尖高應(yīng)力對裂紋尾跡場的拉伸作用,這有利于裂紋閉合.

3　裂尖塑性區(qū)和尾跡場塑性區(qū)

裂紋塑性區(qū)分為裂尖塑性區(qū)(單調(diào)塑性區(qū)和逆向塑性區(qū))和尾跡場塑性區(qū)(遺留在尾跡場的單調(diào)塑性變形區(qū)和循環(huán)塑性區(qū))[17]兩部分,見圖5.

圖5　過載情況下裂紋擴(kuò)展時(shí)的塑性區(qū)Fig.5　Plastic zone induced by overload

圖5中：β為最大剪應(yīng)力平面方位角，數(shù)學(xué)尖裂紋為70.5°，光滑試件為45°，鈍裂紋為45°～70.5°[17-18]；d為裂紋一個(gè)循環(huán)的擴(kuò)展長度.

循環(huán)載荷作用下,裂尖出現(xiàn)塑性變形,雖然這是小范圍屈服,但表明當(dāng)應(yīng)力從最小應(yīng)力σmin上升到最大應(yīng)力σmax的過程中塑性區(qū)就產(chǎn)生了.當(dāng)加載到最大應(yīng)力σmax時(shí),塑性區(qū)的尺寸與應(yīng)力強(qiáng)度因子Kmax和Sy比值的平方成正比.塑性區(qū)在加載方向產(chǎn)生了塑性伸長,相比原來的尺寸有所增大,于是在卸載過程中,這個(gè)塑性區(qū)受到壓縮荷載作用,出現(xiàn)了反向塑性.反向塑性的出現(xiàn),要求在相反方向的局部應(yīng)力增量達(dá)到兩倍Sy的量級,這意味著反向塑性區(qū)的尺寸應(yīng)該約為加載過程中所產(chǎn)生的塑性區(qū)的1/4.所以反向塑性區(qū)比最大應(yīng)力σmax所產(chǎn)生的塑性區(qū)要小很多.在反向塑性區(qū)之外,相對大得多的塑性區(qū)變形僅發(fā)生在σmax時(shí),這稱為單調(diào)塑性,而正是這個(gè)單調(diào)塑性變形引起了材料在加載方向上的永久性伸長.

3.1　長裂紋門檻值的裂尖塑性區(qū)半徑

疲勞裂紋萌生和裂紋擴(kuò)展是循環(huán)滑移的結(jié)果,循環(huán)滑移意味著循環(huán)塑性變形(見圖5).在周期加載下不可逆的位錯(cuò)滑移產(chǎn)生永久滑移帶,表面晶粒擠入或擠出,以最佳取向滑移.疲勞在低于屈服應(yīng)力的作用下發(fā)生,塑性變形限于材料中少量的晶粒.隨著滑移帶增多和應(yīng)力的增加,在裂尖形成塑性區(qū)I型裂紋裂尖塑性區(qū)半徑rpl和逆向塑性區(qū)半徑rrpl分別為[19]

(10)

根據(jù)Hobbacher[20]建議,C和CM結(jié)構(gòu)鋼P(yáng)aris裂紋擴(kuò)展區(qū)的下確界(SIF門檻值)ΔKth與塑性區(qū)尺寸的關(guān)系為

(11)

式中:R為加載應(yīng)力比,R=0.2.

根據(jù)劉艷萍等[21]的建議,對Q370qE鋼,

ΔKth=5.556(1-0.825R)1.147.

(12)

對橋梁鋼Q345qD,ΔKth=4.52 MPa·m0.5,計(jì)算得到rpl=27.29 μm，rrpl=6.82 μm.

El Haddad等[22]建議使用ΔKth和疲勞極限σf表達(dá)虛擬裂紋長度a,即

a=ΔKth/(πσfY),

(13)

式中:Y為幾何形狀系數(shù),取決于裂紋形態(tài)，對于穿透裂紋(長度2a)的無限平板,Y=1.0，其它裂紋類型Y值可以從應(yīng)力強(qiáng)度因子求解.

正交異性鋼橋面板開孔處的常幅疲勞極限為70 MPa[23],根據(jù)式(13)可以計(jì)算初始裂紋長度a0=1.262 mm,a0/rpl=46>25,符合小范圍屈服假定.

3.2　循環(huán)塑性和裂紋提前閉合機(jī)理

圖6是利用DG-XFEM計(jì)算平面應(yīng)力和平面應(yīng)變條件下,循環(huán)塑性過程中塑性尾跡場中的材料以不同方式向裂尖轉(zhuǎn)移的情況.圖中:① 平面應(yīng)力:頸縮實(shí)現(xiàn)材料向裂尖轉(zhuǎn)移;② 平面應(yīng)變:塑性區(qū)單元剪切、變形、旋轉(zhuǎn),體積增大,實(shí)現(xiàn)材料向裂尖轉(zhuǎn)移;③ 單元剪切、變形伸長、旋轉(zhuǎn)鍥入模型.在每一個(gè)載荷循環(huán)中都會(huì)發(fā)生裂紋尖端塑性,所以裂紋擴(kuò)展時(shí)要穿過以前荷載循環(huán)所產(chǎn)生的塑性區(qū)，因此,塑性變形就被殘留在裂紋尾跡場.塑性尾跡場大部分材料在加載過程中經(jīng)受了單調(diào)塑性變形(見圖5),而沿著裂紋面的一個(gè)很小的邊緣則經(jīng)受了循環(huán)塑性變形.塑性尾跡場中的材料在載荷方向上已發(fā)生塑性伸長(見圖6),在鄰近裂尖塑性區(qū)的裂紋面發(fā)生收縮產(chǎn)生壓應(yīng)力.在卸載過程中,試樣完全卸載之前裂紋卻能夠閉合.這就是塑性誘發(fā)的裂紋提前閉合[17].

圖6　塑性尾跡場中材料向裂尖轉(zhuǎn)移Fig.6　Transfer of material in wake field to crack tip

平面應(yīng)力情況下,試件表現(xiàn)為側(cè)向頸縮實(shí)現(xiàn)材料轉(zhuǎn)移,平面應(yīng)變則通過單元剪切滑移、變形伸長和旋轉(zhuǎn)鍥入的方式實(shí)現(xiàn)向裂尖的轉(zhuǎn)移.當(dāng)裂紋通過塑性區(qū)的時(shí)候,遺留或填充的材料在裂紋兩側(cè)表面上塑性累積,伸長的塑性累積產(chǎn)生壓縮效應(yīng)的尾跡場,使裂尖提前閉合.

3.3　塑性區(qū)對過載循環(huán)的影響

在變幅疲勞問題中,一個(gè)過載能夠使裂紋尖端張開并且變鈍,這將降低張開應(yīng)力Sop,并且助長裂紋開始向過載形成新的裂尖塑性區(qū)擴(kuò)展,而且由于在反向塑性區(qū)內(nèi)存在的殘余拉伸應(yīng)力隨后可能發(fā)生某種程度的裂紋擴(kuò)展加速，殘余拉伸應(yīng)力促使裂紋尖端張開.在一個(gè)小的裂紋長度增量范圍內(nèi)觀察到了這種緊隨過載后的裂紋擴(kuò)展加速現(xiàn)象.由于受到因過載在單調(diào)塑性區(qū)內(nèi)引起的殘余壓縮應(yīng)力的作用,裂紋進(jìn)入過載塑性區(qū)后繼續(xù)擴(kuò)展將遇到越來越嚴(yán)重的裂紋閉合,于是裂紋擴(kuò)展速率下降.

這種裂紋塑性誘發(fā)的裂紋閉合對過載情況下的裂紋擴(kuò)展具有明顯的遲滯效應(yīng),是由于在先前產(chǎn)生的裂紋尖端塑性區(qū)中,已發(fā)生塑性伸長的材料殘留在裂紋尾跡上引起的.高峰載荷引起了較大的塑性區(qū),當(dāng)裂紋尖端進(jìn)入這些塑性區(qū)時(shí)就出現(xiàn)更多的裂紋閉合,這已被試驗(yàn)所證實(shí).在裂紋進(jìn)一步擴(kuò)展后,將在裂紋尾跡上留下更多的塑性變形,這使得Sop升高,從而降低有效應(yīng)力強(qiáng)度因子幅ΔKeff,導(dǎo)致了裂紋擴(kuò)展遲滯.在通過了裂紋擴(kuò)展速率的最小值并且相當(dāng)程度的后續(xù)擴(kuò)展以后,擴(kuò)展速率恢復(fù)到正常的常幅加載水平.在Sop降低到Sop=Smin后,由于在后續(xù)的常幅循環(huán)中不再發(fā)生裂紋閉合,于是裂紋擴(kuò)展遲滯結(jié)束.

4　結(jié)　論

(1) 裂尖塑性區(qū)尺寸與應(yīng)力水平的平方成正比,擴(kuò)展有限元法與Westergoard函數(shù)法的計(jì)算結(jié)果基本一致.

(2) 正交異性鋼橋面板開孔處,材料Q345qD取R=0.2,常幅疲勞極限70 MPa,ΔKth=4.52 MPa·m0.5,計(jì)算得到rpl=27.29 μm,rrpl=6.82 μm ,a0=1.262 mm.

(3) 對稱向前伸展的裂尖塑性區(qū)形成的遮蔽效應(yīng),使裂紋尾跡場避免了裂尖應(yīng)力場的拉伸作用,有利于裂紋閉合.

(4) DG-XFEM對裂紋表面循環(huán)塑性變形進(jìn)行模擬，表明平面應(yīng)力情況下,面外以頸縮的方式實(shí)現(xiàn)材料往裂尖的轉(zhuǎn)移;平面應(yīng)變情況下,材料以剪切變形、旋轉(zhuǎn)伸長和鍥入實(shí)現(xiàn)材料往裂尖轉(zhuǎn)移.當(dāng)裂紋通過塑性區(qū)的時(shí)候,殘留/填充的材料在裂紋表面產(chǎn)生塑性累積,循環(huán)塑性區(qū)內(nèi)的單元伸長產(chǎn)生壓縮效應(yīng)使裂紋提前閉合.

(5) 塑性區(qū)對過載循環(huán)情況下裂紋擴(kuò)展滯后有重要影響.

致謝:山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地開放基金資助.