徐曉功

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）19-0124-01

在高中數(shù)學的學習中，數(shù)學歸納法是一種比較常用的數(shù)學方法，在解決某些結(jié)論是自然數(shù)的函數(shù)命題時，運用數(shù)學歸納法對問題加以證明能夠起到事半功倍的效果。但是在長期對學生進行教學的過程中發(fā)現(xiàn)，很多學生在利用數(shù)學歸納法解決數(shù)學問題時，經(jīng)常會出現(xiàn)一些比較常見的錯誤，對學生數(shù)學的學習造成了一定的障礙，本文主要對學生運用數(shù)學歸納法的常見錯誤進行了研究，并提出了一些解決策略。

1.高中生學習數(shù)學歸納法中的常見錯誤

1.1機械套用，不認真驗算。

例1：證明等式2+4+6+…+2n=n2+n+1（n∈N+）是否成立。

錯誤解法：（1）當n=1時，等式兩邊都等于2，此時等式成立。

（2）當n=k時，2+4+6+…+2k=k2+k+1，等式兩邊同時加上2（k+1）

2+4+…+2k+2（k+1）= k2+k+1+2（k+1）

也就是2+4+…+2（k+1）=（k+1）2+（k+1）+1

所以當n=k+1時，原等式也成立。

由題目可知，當n=1時，原等式實際上是不成立的，學生在解題時忽略了第一步的重要作用，對數(shù)學歸納法進行機械的套用，造成解題的錯誤。

1.2存在多余驗證。

例2：如果n∈N+，證明n2+5n能夠被6整除。

很多學生在對這道題進行第一步的證明時，會對n=1、n=2，n=3的情況分別進行驗證，如當n=1時，12+5×1=6能夠被6整除，當n=2時，22+5×2=18能夠被6整除，當n=3時，32+5×3=24能夠被6整除。很多學生在初學數(shù)學歸納法時都會存在多余驗證的問題，實際上是一種出力不討好的現(xiàn)象。

1.3自以為是，蒙混過關。

例2：當n∈N+，證明（3n+1）·7n-1能夠被9整除。

證明：（1）如果n=1，4×7-1=27能夠被9整除。

（2）如果n=k時，（3k+1）·7n-1能夠被9整除，那么[3（k+1）+1]·7k+1-1=[3k+1+3] ·7k+1-1+3·7k+1能夠被9整除，所以當n=k+1時，（3n+1）·7n-1也能夠被9整除。

學生在第二步的證明中，令p（n）=（3n+1）·7n-1，很難找到p（k+1）與p（k）之間的內(nèi)在聯(lián)系，所以在解題時草草收場。

2.高中生運用數(shù)學歸納法常見錯誤的解決方法

2.1利用學生熟悉的內(nèi)容，突破概念中的重難點理解問題。

教師在對學生進行數(shù)學歸納法的教學或者講解時，可以以學生比較熟悉的事例來導入課堂學習內(nèi)容，讓學生更加深刻的了解數(shù)學歸納法的本質(zhì)，更好的掌握數(shù)學歸納法的概念和用法。比如教師在對學生進行數(shù)學歸納法教學時可以利用擊鼓傳花的游戲來導入課堂教學內(nèi)容，讓班級的學生排好隊圍成一圈，當學生聽到鼓聲時，就把花傳到下一位同學手中，鼓聲停止，傳花過程終止。游戲過后，教師可以給學生提出問題，為什么每位同學都能夠在游戲中拿到花呢？原因就在于傳花的規(guī)則，在第一位同學拿到花時，聽到鼓聲就要把花傳到下一位同學手中，只要鼓聲不停，就能夠保證花的無限傳遞，這樣就能夠保證每位同學都能夠拿到花。我們可以假設每位同學都能夠拿到花的命題是p（n），要想使p（n）真正實現(xiàn)首先要保證第一位同學能夠拿到花，也就是保證p（1）時，命題為真命題，根據(jù)傳花的規(guī)則再得到p（k+1）為真命題，這樣就能夠保證每一位同學在游戲中都能夠拿到花，不用再進行一一驗證。學生在傳花的過程中就能夠體會到命題真正的傳遞過程，對數(shù)學歸納法的兩步運算程序進行深刻的理解，從中領悟數(shù)學歸納法的內(nèi)涵，促進學生關于數(shù)學歸納法知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

2.2提煉要點，加深學生的印象。

在學生理解了數(shù)學歸納法的用法之后，教師可以帶領學生對數(shù)學歸納法的使用要點進行提煉，最好能夠形成口訣，幫助學生加深對數(shù)學歸納法知識的記憶?？梢园褦?shù)學歸納法的使用歸納為一表示“使用p（k）表示p（k+1）”、二使用“使用歸納假設法進行驗證”、三變形“運算變形，得到結(jié)論”。這樣就能夠幫助學生更好地掌握數(shù)學歸納法的正確使用方式和使用步驟，防止學生在進行第二步的論證時，不使用歸納假設法，而使用其他驗證方式的錯誤做法。

2.3利用數(shù)學歸納法的變式拓寬學生的視野。

設p（n）是關于n∈N+的命題。

（1）使用第二數(shù)學歸納法來解決，（1）p（1）為真命題，（2）如果m≤k，p（m）為真命題，p（m+1）為真命題，所以p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

（2）使用雙擊歸納法來解決，（1）p（1）、p（2）為真命題，（2）p（k-1）和p（k）均為真命題，那么p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

（3）使用跳躍式數(shù)學歸納法來解決，（1）p（1）、p（2）、…、p（m）都是真命題，（2）p（k）為真命題，那么p（n）對于一切n∈N+都是真命題。

2.4讓學生打好基礎，掌握數(shù)學歸納法的變形能力。

扎實的數(shù)學基礎是高中生學好數(shù)學的根本方法，在對學生進行教學時，教師要著重培養(yǎng)學生對于基本知識的掌握，引導學生對數(shù)學歸納法進行牢固的掌握，對于學生在解題中容易出現(xiàn)的錯誤，教師可以通過為學生講解典型例題的方式進行解決。對于那些難以進行變形的問題，教師也可以通過為學生講解典型例題，讓學生對解題的規(guī)律和技巧進行深刻的掌握。

結(jié)語

學生在學習數(shù)學歸納法時，很難避免各種問題的出現(xiàn)，教師在對學生進行數(shù)學歸納法講解時，一定要對學生經(jīng)常出現(xiàn)的問題進行分析和總結(jié)，針對學生容易出現(xiàn)的問題提出相關的解決措施，促進學生數(shù)學水平和學校數(shù)學教學水平的快速提高。