王紅權(quán)

(杭州市基礎(chǔ)教育研究室　310003)

1　認(rèn)知方式的改變是無理數(shù)難以理解的根本原因

自然數(shù)是“數(shù)”出來的，有理數(shù)是“量”出來的，無理數(shù)則是“想”出來的.能“數(shù)”能“量”的事物往往有具象支持，“想”出來的則往往是形而上的，缺少直觀或經(jīng)驗(yàn)的支持，變得非常抽象.人們對(duì)一個(gè)事物的認(rèn)知首先是經(jīng)驗(yàn)的，在經(jīng)驗(yàn)不足時(shí)就很難被接受.

(2)間接認(rèn)識(shí)是唯一的辦法.在學(xué)生沒有充分體驗(yàn)有“非有理數(shù)”存在之前，什么時(shí)候給出所謂“無理數(shù)的定義”其實(shí)并不重要，事實(shí)上，“無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)”的定義無助于學(xué)生對(duì)無理數(shù)的理解，對(duì)關(guān)鍵詞“無限”和“不循環(huán)”理解的困難絲毫不亞于概念本身.而且概念的定義方式本身也不具備操作性(運(yùn)算或推理)，完全超越學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，更何況概念所反映的本質(zhì)又是內(nèi)隱的，所以像這樣的概念在毫無證據(jù)的情況下簡(jiǎn)單告知，或者蒼白的辨析其關(guān)鍵詞，都無助于學(xué)生對(duì)概念本身的理解.

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，人類認(rèn)識(shí)無理數(shù)的過程其實(shí)就是一個(gè)尋找證據(jù)的過程，是一個(gè)證實(shí)和逐漸接受且被表征的過程.古希臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的“不可公度”線段，就是一個(gè)直接的證據(jù)，此后的千年便是從邏輯角度證實(shí)和用數(shù)學(xué)方式表征的過程，實(shí)數(shù)也有了以下幾種界定方法：戴德金的分割說、康托爾的基本序列說、區(qū)間套說、比例說(不能表示成分?jǐn)?shù)形式的數(shù))和小數(shù)說(無限不循環(huán)小數(shù))，實(shí)數(shù)的理論基礎(chǔ)也漸漸完善.可以說，人類對(duì)實(shí)數(shù)的認(rèn)識(shí)過程就是認(rèn)識(shí)“無限”的一個(gè)縮影.

雖然用“已知”的認(rèn)知遷移認(rèn)知“未知”，仍帶有很多不確定因素，但依舊是認(rèn)知“未知”的很好途徑.教學(xué)中用實(shí)際問題證實(shí)無理數(shù)(非有理數(shù))的存在，用有理數(shù)序列的逼近來刻畫無理數(shù)，其實(shí)都是間接的方法.

教學(xué)中可以使用如下問題：

問題1邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線b如何度量？如圖1，得：

圖1

1=2r1+r2；

……

rk-1=2rk+rk+1；

……

顯然，這樣的過程永無休止！因此b的長(zhǎng)度不會(huì)是一個(gè)有理數(shù)！

問題2對(duì)角線b的長(zhǎng)度必定是有限的、確定的，但又不是有理數(shù)，那是什么數(shù)？如何刻畫？

因此需要引進(jìn)一種新數(shù)來表示對(duì)角線b的“度量”結(jié)果，根據(jù)問題1，它不可能是有限小數(shù)(rk無窮無盡)，也不可能是循環(huán)小數(shù)(余量rk不是常數(shù)).這樣無理數(shù)的定義便自然而然的由正方形的對(duì)角線之“度量”得到.這是數(shù)學(xué)內(nèi)在力量使然，“讓學(xué)生返璞歸真的擇要，經(jīng)歷這個(gè)過程，對(duì)他們理解數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)研究的‘味道’很有好處”[2]，這遠(yuǎn)比我們直接拋出無理數(shù)的定義來的吸引學(xué)生.專家的研究也表明，一個(gè)新的概念如果沒有操作過程是很難轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)體[3].

2　教好無理數(shù)的關(guān)鍵是教好

說明無理數(shù)“可造”(0.10100100010000…(相鄰兩個(gè)1之間依次多一個(gè)0))、“可證”.

歷史：歷史上，西方無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)是曲折的，悲情的，但也是邏輯的，雖歷時(shí)千年，但最終圓滿；古代中國發(fā)現(xiàn)無理數(shù)是順利的，但以實(shí)用和夠用為目的，既沒有邏輯上的困難也沒有運(yùn)算上的障礙，就沒有深究新數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別.讀史可以明志，可以勵(lì)志.適當(dāng)?shù)拈喿x與之有關(guān)的史料，有助于對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

關(guān)于無理數(shù)這個(gè)名詞的來由.據(jù)考證，把整數(shù)和分?jǐn)?shù)叫做“有理”數(shù)，是由于翻譯的訛誤.原來，“有理數(shù)”中的“有理“一詞，英文是Rational，這個(gè)詞本來有兩個(gè)含義，其一是“比”，其二是“合理”.按數(shù)學(xué)上的原義，分?jǐn)?shù)可以表成兩整數(shù)之比，把“有理數(shù)”叫做“比數(shù)”是很確切的.但日本學(xué)者在十九世紀(jì)翻譯西方的數(shù)學(xué)書時(shí)，把這個(gè)詞譯成了“有理數(shù)”，后來“有理數(shù)”和“無理數(shù)”這兩個(gè)詞又傳回中國，長(zhǎng)期應(yīng)用到現(xiàn)在，沒法改，也不必改了[5].

3　教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的若干建議

(1)類比教學(xué)是教好無理數(shù)的不二法則.如何在“已知”和“未知”之間架構(gòu)橋梁，是學(xué)習(xí)和理解“未知”的必由之路.學(xué)習(xí)無理數(shù)最好的辦法就是通過類比有理數(shù)來學(xué)習(xí).首先，需要經(jīng)歷用“直觀”刻畫“抽象”的過程：解決無理數(shù)的存在性問題，聚焦研究對(duì)象，即第一次抽象.其次，需要經(jīng)歷用“具體”刻畫“一般”的過程：無理數(shù)浩如煙海，先弄清楚其中一個(gè)或幾個(gè)無理數(shù)，是認(rèn)知無理數(shù)的一條捷徑.第三需要經(jīng)歷用“近似”刻畫“精確”的過程：因?yàn)椤盁o限不循環(huán)”，所以無理數(shù)的本質(zhì)屬性就是不具規(guī)律性，認(rèn)識(shí)非常困難，用有理數(shù)逼近來估計(jì)無理數(shù)的大小是認(rèn)識(shí)無理數(shù)到底有多大的好辦法，其本身也是定義無理數(shù)的一條路徑.第四，需要經(jīng)歷用“已知”刻畫“未知”的過程：利用研究有理數(shù)的方法體系研究無理數(shù)，即用“已知”來研究“未知”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的一般方法.有理數(shù)有什么性質(zhì)、有什么運(yùn)算法則可移植到無理數(shù)來，然后再研究無理數(shù)有哪些有理數(shù)沒有的性質(zhì).

(3)講實(shí)數(shù)要立足三個(gè)結(jié)構(gòu).在實(shí)數(shù)理論中，無理數(shù)可以定義為有理數(shù)的極限.實(shí)數(shù)有三種結(jié)構(gòu)：①序結(jié)構(gòu)：自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)按大小關(guān)系組成為有(全)序的集合．②代數(shù)結(jié)構(gòu)：實(shí)數(shù)集合上定義的加法運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則，實(shí)質(zhì)上是給出了一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，也就是實(shí)數(shù)關(guān)于加法構(gòu)成為一個(gè)群．③ 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：既可以從序結(jié)構(gòu)定義，也可以從代數(shù)結(jié)構(gòu)定義．實(shí)數(shù)集上的序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如此和諧，如此相容，是數(shù)學(xué)上最美麗的事物之一[8]．

(4)通過教學(xué)消除師生的認(rèn)知誤區(qū).

從有理數(shù)出發(fā)，經(jīng)過有限次開平方、四則運(yùn)算而得到的無理數(shù)，叫做尺規(guī)可作的無理數(shù).在人們比較熟悉的尺規(guī)不可作的無理數(shù)當(dāng)中，最古老的大概要算π了.它和有名的古代三大幾何難題中的倍立方體問題緊密聯(lián)系在一起[4]，屬于著名尺規(guī)作圖不可能問題.

誤區(qū)四：擲骰子可以獲得無理數(shù)[11]～[12].

投一次骰子得到一個(gè)數(shù)字本質(zhì)上是一個(gè)物理的過程(一次實(shí)驗(yàn))，雖然獲得的數(shù)字具有隨機(jī)性，但這只是一個(gè)有限的過程，和由此獲得的數(shù)的無限性并不能構(gòu)成對(duì)應(yīng)，這和由構(gòu)造獲得的無理數(shù)數(shù)字0.1010010001…(此后每?jī)蓚€(gè)1之間0的個(gè)數(shù)增加1個(gè))有本質(zhì)的區(qū)別，因?yàn)闃?gòu)造的過程顯然是無限的，也容易證明其不可能有循環(huán)節(jié)的存在，也就是說是不循環(huán)的.

誤區(qū)五：“無限大”就是“很大很大”.

“無限大”是一個(gè)數(shù)學(xué)名詞.是說某一個(gè)變量在變化過程中，其絕對(duì)值永遠(yuǎn)大于任意大的已定正數(shù).而“很大很大”是描述一個(gè)確定的數(shù)，其數(shù)值非常之大，譬如100萬，1億就是“很大很大”的數(shù).其次，描述“無限大”是有明確標(biāo)準(zhǔn)的：大于既定的任意正數(shù)；“很大很大”只是一種主觀的認(rèn)識(shí)，既沒有確定的標(biāo)準(zhǔn)也無法量化，本質(zhì)上不是一個(gè)數(shù)學(xué)概念.

誤區(qū)六：隨意編造一個(gè)未見過的數(shù)就稱其是無理數(shù).

誤區(qū)七：混淆數(shù)學(xué)的符號(hào)系統(tǒng)和物理事件的度量精度.

4　隨感

由于考查無理數(shù)一般只考查無理數(shù)的運(yùn)算，無法考查無理數(shù)的內(nèi)涵，教學(xué)中教師并不重視對(duì)無理數(shù)內(nèi)涵的理解.雖然概念倒背如流，運(yùn)算準(zhǔn)確無誤，但仍身陷種種誤區(qū).也有學(xué)者研究認(rèn)為學(xué)生對(duì)無理數(shù)的掌握還是比較好的，能認(rèn)會(huì)算[13]；也有學(xué)者認(rèn)為教師對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)決定教師如何教，教什么[6].如何在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)立德樹人，落實(shí)核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在教師.教好每一堂課，教好無理數(shù)這樣的課，任重而道遠(yuǎn).