徐道奎

(安徽省金寨第一中學(xué)　六安市徐道奎名師工作室　237300)

1　新增條件概率的背景分析

條件概率是概率論中一個非常重要的的概念，概率研究和生產(chǎn)實踐中很多問題都涉及條件概率.

在普通高中數(shù)學(xué)“課標(biāo)教材”中(人教社新課標(biāo)教材A版·普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書，下同)，條件概率屬新增內(nèi)容，從知識形成的順序結(jié)構(gòu)和邏輯層面上分析，它上聯(lián)古典概型、幾何概型，涉及事件、事件空間、事件條件、事件的關(guān)系，下聯(lián)積事件概率、獨立重復(fù)試驗、二項分布，起著承上啟下的作用，是與概率概念的綜合運用.

高中數(shù)學(xué)中的條件概率內(nèi)容較為簡單，增設(shè)該內(nèi)容的意圖在于通過條件概率去理解相互獨立事件同時發(fā)生的概率，為學(xué)習(xí)獨立重復(fù)實驗、二項分布奠定基礎(chǔ).在“課標(biāo)教材”之前，相互獨立事件同時發(fā)生的概率，是通過實例直接歸納得出的，有專家認為，這種光憑感觀判斷獲得的方法容易造成理性缺失，知識脫節(jié)，對概率問題的理解及將來繼續(xù)學(xué)習(xí)不利.人教社新課標(biāo)教材中，增加了條件概率后，知識體系完整，由條件概率到獨立事件同時發(fā)生的概率，知識形成自然.

雖然高中數(shù)學(xué)把條件概率作為獨立事件同時發(fā)生的事件概率的過渡，且教學(xué)大綱、高考考綱對這部分要求不高，但其地位和作用不容忽視.

2　條件概率的教學(xué)現(xiàn)狀

條件概率是整個概率論教學(xué)的難點，學(xué)生學(xué)習(xí)條件概率總感覺困難，其原因表現(xiàn)在兩個層面，學(xué)的層面：(1)概率本身的學(xué)習(xí)障礙.概率學(xué)習(xí)時學(xué)生要經(jīng)歷從“必然”向“或然”的轉(zhuǎn)變，“確定”向“隨機”的轉(zhuǎn)化，加之概率理論涉及的空間確定、事件分析、事件關(guān)系、計數(shù)原理、排列組合等都是高中數(shù)學(xué)相對較“冷”、較“難”的知識，情境陌生，學(xué)生心存畏懼，一時間難以適應(yīng)；(2)條件概率的理解困惑.條件概率相對一般概率概念更為抽象，涉及的事件關(guān)系更為復(fù)雜，相關(guān)概念也極易混淆，如果不注重概念生成的情境設(shè)置，學(xué)生難以理解且容易在事件、事件關(guān)系上出現(xiàn)認識誤區(qū)；(3)應(yīng)用的綜合性更強.條件概率運用廣泛，牽涉范圍廣，體系龐大，牽一發(fā)而動全身.教的層面：(1)由于條件概率在高中數(shù)學(xué)的地位和高考要求不高，教師不愿意在教學(xué)上做過多的投入，自身研究的少，教授概念時“草草處理”，遇到問題時“回頭加工”，“功利化”的教學(xué)使得條件概率概念教學(xué)重結(jié)論，輕過程，結(jié)果欲速則不達，反而給教學(xué)帶來負擔(dān)；(2)對條件概率的地位作用認識不足，就概念講概念，沒有認識到條件概率概念的重要性，對概念產(chǎn)生的根源以及概念的內(nèi)涵、外延不做深入分析，對概念的應(yīng)用價值挖掘不深等等，教學(xué)“理想化”， “走捷徑”.正因如此，高中階段對條件概率的教學(xué)表現(xiàn)出三種傾向，一是把其作為“過度性”概念處理.如前分析，認為引入條件概率的目的在于學(xué)習(xí)獨立重復(fù)實驗，因而對條件概率的教學(xué)淺嘗輒止，一帶而過；二是“放棄”條件概率概念，直接進入獨立重復(fù)實驗教學(xué)；三是直接給出條件概率定義.“設(shè)A，B是樣本空間Ω中的兩個事件，若P(A)>0，則稱P(B|A)為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率”，不對概念形成進行深入剖析.

上述諸多因素，造成學(xué)生不能理解和掌握條件概率的概念，不能體悟其中蘊含的思想方法，更談不上通過條件概率的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng).

應(yīng)該怎樣進行條件概率的教學(xué)呢？事實表明，學(xué)生在條件概率中出現(xiàn)的所有問題歸根到底是條件概率的概念問題，因此，必須緊緊圍繞概念進行教學(xué).“概念學(xué)習(xí)不僅是理解定義所描述的語義[1]”，從概念的建構(gòu)、理解到應(yīng)用是一個系統(tǒng)工程，不能“一勞永逸”，也不可“一蹴而就”.下面，筆者結(jié)合對條件概率的理解和教學(xué)實踐，談一下教學(xué)條件概率的體會.

3　條件概率教學(xué)的幾點做法

如上所述，條件概率是整個概率論的難點，但作為概率論的基礎(chǔ)，其既重要又實用，那么，怎樣突破這個難點呢？條件概率教學(xué)中如何把握方向？教學(xué)重心放在何處呢？

3.1　生成概念從情境構(gòu)思開始

案例1(2011年高考湖南卷理科改編)如圖1，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A)=________；(2)P(AB)=________；(3)P(B|A)=________；(4)上述三個問題的解答中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

為了便于學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”，筆者把高考題進行了改編，增加了第二問和第四問，讓學(xué)生先通過幾何概型分別求出“三個概率”(注：此時條件概率公式尚未歸納得出，學(xué)生只能用幾何概型求出前三問)，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)“三個概率”之間的關(guān)系.

概念形成的過程是知識從具體到抽象的升華，“概念教學(xué)不能只滿足于告訴學(xué)生是什么或什么是，還應(yīng)讓學(xué)生了解概念的背景和引入它的理由[1]”，因此，教學(xué)概念時，不能讓學(xué)生感覺概念“高不可攀”，“遙不可及”，要讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展有其合理性，“學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識時，通常需要降低抽象層次的思維過程，例如將新的概念與已有的知識建立關(guān)聯(lián)，或者建立具體過程來重現(xiàn)抽象的結(jié)論[2]”.因此，通過概念形成的情境設(shè)置先得出概念的雛形，再“去情境化”，抽取其本質(zhì)屬性，逐步形成概念，這應(yīng)該是數(shù)學(xué)概念教學(xué)所遵循的基本方法，因為這種從具體到抽象，從特殊到一般的概念歸納過程更適宜于高中學(xué)生.同時概念生成過程中，折射著原理和方法，隱含有思維和思想，自然而然的形成概念，恰到好處的生成概念遠比直接給出定義、牽強附會的解釋、枯燥生硬的灌輸好得多.因此，要把好條件概率形成的 “入口”關(guān)，先前構(gòu)思，從背景選擇和情境設(shè)置開始.

3.2　理解概念從事件分析入手

理解概念是理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，理解概念既要抓住本質(zhì)屬性又要構(gòu)建與其相關(guān)聯(lián)的概念體系，這就需要緊盯主導(dǎo)概念的主線.理解條件概率概念的關(guān)鍵是事件的分析，從事件分析入手，即抓住了“事件主線”，“先事件分析，后概率計算”.

條件概率最容易混淆的是兩個事件，即AB與(B|A).第一，要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度對它們進行深入剖析：(1)事件的性質(zhì)不同，要充分理解事件(B|A)中條件“A”的必然性和 事件“B”的隨機性，因為學(xué)生在學(xué)習(xí)概率時，習(xí)慣了隨機性事件，它們往往會問：“老師，事件A怎么會是必然發(fā)生呢”？ “怎么知道它是必然發(fā)生的呢”？豈不知“必然發(fā)生”是我們限定的條件.(2)AB與(B|A)的落腳點不同，前者是指在原概率空間中的兩個事件同時發(fā)生，關(guān)鍵詞是“原概率空間”、“同時”，后者指縮減概率空間后，事件“B”發(fā)生的概率，強調(diào)的是“B”，而非“A”、“B”“同時”，也不是“A”先發(fā)生“B”后發(fā)生，關(guān)鍵點是“A”是已經(jīng)“發(fā)生過了”的必然事件，在此基礎(chǔ)上，事件“B”發(fā)生.(3)事件的空間不一樣，AB、A、B均是原概率空間的事件，P(AB)P(A)與P(B)也都是原概率空間的概率，要在原概率空間求出，屬“無信息概率”；事件(B|A)是縮減概率空間后的事件“B”，P(B|A)是縮減概率空間后的概率，“A”的條件下“B”發(fā)生的概率，屬有信息概率.第二，要處理好事件的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在不同情境下分析事件，通過對事件“A”、“B”、AB之間的相互包含關(guān)系、相交關(guān)系等各種關(guān)系的分析，準(zhǔn)確把握事件AB和事件(B|A).

從分析事件入手，掌握不同情境中事件的分析方法.事件不清，分析無從下手，在分析條件概率問題時，要讓學(xué)生分析時潛意識地提醒自己，什么事件是條件“A”？事件“B”指什么？事件AB指什么？事件“(B|A)”指什么？事件“(A|B)”指什么？圍繞事件主線，比較分析，提高分析問題的條理性.

案例2甲乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率是多少？

該案例是通過定義求出條件概率，“目標(biāo)被擊中(A)”是“目標(biāo)被甲擊中(B)的條件，”解題的關(guān)鍵在于從事件及事件的關(guān)系分析入手，搞清楚事件A、B、AB、(B|A)的含義，問題迎刃而解.

案例3設(shè)甲袋中裝有3只白球，2只黑球，乙袋中裝有2只白球，5只黑球，現(xiàn)從甲袋中任取一只球放入乙袋，再從乙袋中任取一只球.

(1)求從乙袋中取出的是白球的概率；

(2)若已知從乙袋取出的是白球，問從甲袋取出而放入乙袋的是白球的概率是多少？

分析在概率論里，可以考慮直接用貝葉斯公式，但在高中數(shù)學(xué)中，可以從分析事件入手，用求一般概率的方法求出P(AB)和P(A)，再用條件概率的定義公式求解.

上述兩個案例都是通過事件分析，使問題得以解決，解決概率尤其是條件概率問題一定要善于抓住事件主線，通過對事件的分析，達到對條件概率概念的真正掌握.

3.3　運用概念在本質(zhì)解構(gòu)中把握

條件概率的概念是在具體的實例中歸納、抽象形成的，要完善概念體系，深刻理解概念，必須對抽象后的概念隱含的數(shù)學(xué)原理進行深入的剖析，進行“學(xué)術(shù)解構(gòu)”，對其反映的思想方法進行解析，回歸概念的本質(zhì).尤其要理解概念運用的普適性，在具體樣例中運用概念，使之對概念的理解達到一定的深度，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解(縮減概率空間后的概率)，從關(guān)系上把握(“三個概率”關(guān)系)，在不同情境中運用.

3.3.1條件概率與一般概率的聯(lián)系

條件概率同非條件概率是有聯(lián)系的，條件概率的定義即建立了其與一般概率的關(guān)系，求解條件概率可用一般方法.縮減概率空間后，條件概率的計算方法與一般概率的計算方法并無區(qū)別，條件概率無非重新界定了概率空間而已.

3.3.2條件概率的性質(zhì)

上述分析的目的在于全面理解條件概率的本質(zhì)，全面構(gòu)建概念體系，以深度理解概念.概念教學(xué)不能局限于概念本身，不能就概念講概念，為概念而概念， “概念學(xué)習(xí)的最終結(jié)果是形成一個概念系統(tǒng)，學(xué)生要理解一個數(shù)學(xué)概念，就必須圍繞這個概念逐步構(gòu)建一個概念網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點越多、通道越豐富，概念理解就越深刻[1]”.掌握概念的本質(zhì)，即可以將復(fù)雜的問題用樸素的方法解決.

概念教學(xué)不可一蹴而就，學(xué)生理解概念、掌握概念有一個不斷反復(fù)的過程．概念建立之后，還需對其“深加工”，要挖掘概念中隱含的思想方法,要在不同情境下引導(dǎo)學(xué)生進行探究，實地應(yīng)用，教師要通過分析解讀，引導(dǎo)學(xué)生回歸概念，回歸本質(zhì).

3.3.3條件概率的計算

在全面理解概念的基礎(chǔ)上，以概念形成過程所反映的概念的本質(zhì)為核心，注重通過不同問題情境、不同類型條件概率的計算，靈活運用概念，豐富學(xué)生求解條件概率的思維和活動經(jīng)驗，理解概念，鞏固概念，提升運用概念的能力素養(yǎng).

根據(jù)條件概率概念形成過程以及條件概率的本質(zhì)可知，計算條件概率有以下三種方法：

(1)縮減概率空間法.

它在我們引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概率公式時已經(jīng)明確，是條件概率本質(zhì)的反映，是知識形成的本源，根據(jù)條件，重新設(shè)定概率空間后，回歸一般概率問題，這時主要是兩個概率模型即古典概型和幾何概型的運用.“縮減概率空間法”沒有用到條件概率與一般概率的關(guān)系.

案例4擲三顆均勻的骰子，已知有一顆擲出1點，問三顆骰子擲出的點數(shù)之和不小于10的概率為多少？

縮減概率空間法求條件概率反映了條件概率的本質(zhì)，它是對概率空間的重新界定，而重新界定后，就不存在所謂的“條件”了，要習(xí)慣于“在一定的條件下重新規(guī)劃概率空間，分析事件，求解概率”.

(2)原概率空間概率法.

案例5如圖2，△ABC和△DEF是同一圓的內(nèi)接正三角形，且BC∥EF.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用M表示事件“豆子落在△ABC內(nèi)”，N表示事件“豆子落在△DEF內(nèi)”，求P(N|M).

圖2

圖3

案例6(2012湖北省高考理科20題)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：

降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610

(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；

(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率.

簡析第二問，由題意，P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7，

P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)

=0.9-0.3=0.6，

所以，P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)

條件概率的概念中強調(diào)的是概率之間的關(guān)系(即如前所述的“三個”概率)，利用這個“關(guān)系”求一定條件下事件發(fā)生的概率.不同的問題情境，運用概念時的分析方法是一樣的，都是要分析哪一個是條件A，它的概率P(A)是多少？哪一個是事件AB，它的概率P(AB)是多少？“萬變不離其宗”，要通過新情境、新問題培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新運用概念的能力，培養(yǎng)在不同的情境中(古典概型、幾何概型、隨機變量)靈活應(yīng)用概念的能力.

(3)原概率空間計數(shù)法.

案例7一個盒子中放有大小相同的10個小球，其中8個黑球，2個紅球，現(xiàn)甲乙二人先后各自從盒子中無放回地隨機抽取2個球，已知甲取到了2個黑球，求乙也取到2個黑球的概率.

分析用縮減概率空間法很容易解決，為了說明原概率空間計數(shù)法，我們用原概率空間計數(shù)法解決.記A表示“甲先抽取2個黑球”，B表示事件“乙后抽取2個黑球”.

應(yīng)該特別注意的是，計數(shù)法容易出錯，一是計數(shù)時“有序”、 “無序”混亂， 二是在計算n(A)時，

上述分析的核心要素就是，整個概念教學(xué)要讓學(xué)生“經(jīng)歷從數(shù)學(xué)研究對象的獲得到研究數(shù)學(xué)對象再到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的完整過程[4]”，建立起概念只是“萬里長征走完第一步”，能夠運用概念解決理論和實踐中的問題是根本目的，在運用概念時，要經(jīng)常對概念進行“回頭看”，“養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣”[5]，回歸定義，回歸本質(zhì).要進行變式轉(zhuǎn)換，在不同環(huán)境下運用概念，積累思維和活動的經(jīng)驗.

4　結(jié)束語

數(shù)學(xué)問題歸根結(jié)底是概念問題，“概念是思維的基本形式，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的核心和邏輯起點[6]”，從概念出發(fā)，用基本的數(shù)學(xué)知識，解決基本的數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì).“教師的基本任務(wù)是幫助學(xué)生把一個個具體知識理解到位并能用于解決問題[7]”，這也是落實對學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)教學(xué)始終要圍繞概念進行，從概念建立到概念體系完善到概念靈活運用始終要凸顯概念的核心地位，概念是事物根本屬性的反映，是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，抓住了概念就是抓住了本質(zhì)，同時也說明，只有重視概念教學(xué)，才能把握數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂.