黃智華 　 渠東劍

(1.南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)　210007；2.南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心　210002)

1　問題的提出

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，從數(shù)學(xué)本身看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法，它與數(shù)學(xué)證明緊密關(guān)聯(lián)，共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)．

對學(xué)生數(shù)學(xué)推理的研究，根據(jù)查閱已有文獻發(fā)現(xiàn)，主要集中在以下三類．

第一類，對比分析研究．綦春霞、王瑞霖對中英八年級學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的差異作了分析，得到結(jié)論：①兩國學(xué)生在概率推理方面表現(xiàn)較好，尤其是英國學(xué)生表現(xiàn)比較突出；②兩國學(xué)生在代數(shù)推理方面處于中等水平，但中國學(xué)生要低于英國學(xué)生；③兩國學(xué)生在幾何推理方面的得分都是最低，但是中國學(xué)生要明顯優(yōu)于英國的學(xué)生．并提出對中國數(shù)學(xué)教育的幾點啟示．[1]王薇對中美兩國數(shù)學(xué)推理能力作了比較，第一，在合情推理方面，我國要求體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，美國要求提出并探討數(shù)學(xué)猜想、熟練使用歸納推理；第二，在演繹推理方面，我國要求運用演繹推理加以證明，美國要求發(fā)展和評價數(shù)學(xué)推理和證明、熟練使用演繹推理；第三，在猜想、證明等過程方面，我國要求體會證明的必要性，美國要求選擇和運用不同的推理和證明方法、有經(jīng)常的、不同推理經(jīng)歷、與教師同學(xué)和校外人士討論他們的推理，解釋他們猜想的依據(jù)和他們斷言的合理性．[2]

第二類，對數(shù)學(xué)推理的認知、心理研究．李祥兆做了數(shù)學(xué)歸納推理的認知過程研究，得出結(jié)論是：①歸納加工一般是按照定向識別轉(zhuǎn)化的順序進行的，但這并不是一種線性的發(fā)展，在每一層都可能實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，思維會出現(xiàn)跳躍式或頓悟現(xiàn)象．歸納加工是一個往返、循環(huán)、動態(tài)的過程，但在每一層次又表現(xiàn)出相對靜止的狀態(tài)．②不同學(xué)生的歸納加工的層次上存在差異．優(yōu)生的加工過程只需要 “三大步”就能實現(xiàn)目標，元認知活動較少，而中、差生在實現(xiàn)轉(zhuǎn)化時所用步數(shù)較多，元認知活動相對活躍，知難而進，能夠不斷調(diào)整推理的方向而找到猜想．③不同學(xué)生在策略的選擇上存在差異．優(yōu)生在加工過程中能夠選擇相對優(yōu)化的思維策略，耗時較短，準確率高．而中、差生在策略的選擇上顯得較為“保守”，一步一個腳印地去做，花費時間較多，有時還易出錯．[3]武錫環(huán)、李祥兆研究了初中生數(shù)學(xué)歸納推理的發(fā)展，認為信息表征的類型隨著知識量的增加而增加；歸納猜想隨年齡的升高而呈現(xiàn)緩慢增長趨勢；假設(shè)檢驗隨年齡的增長并不顯著；歸納推理與演繹推理在各個年級中的發(fā)展不均衡，中學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理的發(fā)展落后于演繹推理能力的發(fā)展．[4]嚴卿從PME視角研究邏輯推理素養(yǎng)及其培養(yǎng)，在介紹PME研究成果的同時，提出邏輯推理能力的培養(yǎng)策略：搭建腳手架，為演繹推理鋪平道路；比較異同，為歸納推理指引方向；突出關(guān)系特征，為類比推理提供線索．[5]

第三類，推理能力及其培養(yǎng)的研究．王朝暉認為數(shù)學(xué)推理能力基本成分包括六個方面，即對數(shù)學(xué)材料迅速而正確的概括能力；縮短推理過程，用簡縮的結(jié)構(gòu)來進行思維的能力；推理方法轉(zhuǎn)換能力；推理過程反省認知能力；對推理結(jié)果反思能力；對推理過程中數(shù)學(xué)材料記憶能力．數(shù)學(xué)推理教學(xué)應(yīng)當圍繞這六個方面展開．[6]曾超對高二學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力作了調(diào)查，得出如下結(jié)論：①高二理科生的數(shù)學(xué)推理能力好于高二文科生；②高二男生的數(shù)學(xué)推理能力整體上優(yōu)于高二女生；③高二學(xué)生的合情推理能力強于演繹推理能力；④高二學(xué)生在平面幾何、解析幾何、空間幾何三大問題的推理能力上表現(xiàn)較弱．[7]陳蕊對中學(xué)數(shù)學(xué)教育中推理能力及其階段性培養(yǎng)提出建議：①數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該采取論證推理和合情推理并重的原則來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力；②高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)以研究與掌握學(xué)生心理發(fā)展的規(guī)律為前提，對學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)要注意層次性；③教材是教與學(xué)的藍本，關(guān)系著教育效果的優(yōu)劣．因此，好的教材要以學(xué)生認知發(fā)展的階段水平為前提來編排，才能更加具有針對性和實效性，才能合理地促進學(xué)生推理能力的發(fā)展．[8]

高中課程標準修訂組把邏輯推理擬定為6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，包括演繹推理和合情推理．既然是核心素養(yǎng)，那么當下高中生的邏輯推理能力如何？這就是一個迫切需要研究的問題．綜觀已有的研究，偏重中外比較、推理的心理過程、推理的培養(yǎng)，很少有關(guān)于高中生邏輯推理水平現(xiàn)狀的研究，本研究針對高中生的邏輯推理能力進行測量，期望在一定程度上反映高中生的邏輯推理水平．

2　研究設(shè)計

2.1　被試選擇

抽取南京市6所普通高中(4所四星級高中、2所三星級高中)的21個班級、共832個學(xué)生作為被試，其中高一年級學(xué)生數(shù)為362，男生191人，女生171人；高二年級學(xué)生數(shù)為292，男生129人，女生163人；高三年級學(xué)生數(shù)為178，男生72人，女生106人．樣本具有代表性．

2.2　工具編制過程

第一步：將核心組成員分成三個小組，指定小組組長負責日常選題、編擬測試題工作，各小組就用于測量三個年級學(xué)生演繹推理能力的測試題、合情推理能力的測試題進行優(yōu)選和編擬，各個小組獨立拿出測試題初稿．第二步：各小組對測試題初稿進行研討，就試題的考查功能、難易度、可信度進行反復(fù)研討和打磨，形成測試題討論稿；第三步：由兩位主持人與南京師范大學(xué)專家進行交流溝通，并得到專家指導(dǎo)，就試題的數(shù)量、考試的時間長短、每個試題考查所要達到的目的、試卷的總分進行深入認真探討，經(jīng)過多次反復(fù)最后形成用于測量高中三個年級學(xué)生能力的測試卷．

測試卷共有20個題組成，其中有10個演繹能力的測試題(8個選擇題、2個解答題)，10個合情能力的測試題(8個選擇題、2個解答題)．主持人先認真做了一遍，切身感受測試卷的情況，并思考著給出評分標準和給學(xué)生做合理的測試時間，之后再請課題組老師又認真仔細地做一遍，思考并預(yù)估學(xué)生做題中存在的問題，最后我們商定給學(xué)生90分鐘的測試時間，同時給出了相對合理的評分標準．

2.3　項目分析

隨機抽取300份問卷，對問卷的20道題目進行項目分析．

第一，對每份數(shù)學(xué)邏輯推理問卷總分按升序排列，取前27%為低分組，后27%為高分組．其中，高于58分(包含58分)為高分組，共81人；低于42分(包含42分)為低分組，共83人．

第二，檢驗高低分兩組在每個題項得分的差異．采用獨立樣本t檢驗方法，對高分組和低分組被試在各個題項得分作差異顯著性檢驗，刪除無高低分組顯著差異(p>0.05)的題目，共1道(第1題)．

第三，采用同質(zhì)性檢驗，對所有被試問卷每一道題項上的得分與每個被試在整卷的總體得分進行相關(guān)分析．在題項與總分的相關(guān)顯著性p<0.05的前提下，刪除題項與總分間的相關(guān)系數(shù)小于0.2的題目，共2道(第1題和第16題)．

經(jīng)過以上測試題的分析和刪除，選言推理的題目只保留了一道題目，將其歸入假言推理．得到各子量表、分量表與總量表題目數(shù)量(表1)．

表1　高中生邏輯推理問卷題目安排

2.4　信度與效度計算

信度是對測量一致性程度的估計．信度檢驗旨在檢驗題項刪除后，整體量表的信度系數(shù)變化情形．信度系數(shù)愈高，表示測試結(jié)果愈一致，測量誤差值愈小.通過計算問卷的內(nèi)部一致性，題項與各所屬量表的Cronbach’s Alpha系數(shù)．數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示．結(jié)構(gòu)效度(建構(gòu)效度)是測量到理論建構(gòu)心理特質(zhì)的程度，是指編制出來的測驗是否真正體現(xiàn)了最初所依據(jù)的理論結(jié)構(gòu)．對測試數(shù)據(jù)進行結(jié)構(gòu)效度計算，結(jié)果如表3所示.

表2　高中生邏輯推理問卷信度

表3　問卷各維度與其總問卷的相關(guān)系數(shù)矩陣

表3結(jié)果表明，(1)假言推理、命題演算與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)明顯要高于假言推理、命題演算之間的相關(guān)系數(shù)；歸納推理、類比推理各自與合情推理的相關(guān)系數(shù)要高于歸納推理、類比推理之間的相關(guān)系數(shù)，說明各子量表之間有一定相對獨立性，且子量表又不能偏離總量表．(2)假言推理與演繹推理的相關(guān)系數(shù)大于其與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)，命題演算與演繹推理的相關(guān)系數(shù)大于其與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)，歸納推理與合情推理的相關(guān)系數(shù)大于其與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)，類比推理與合情推理的相關(guān)系數(shù)大于其與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)，這說明子量表與分量表是直接關(guān)系，分量表與總量表示直接關(guān)系，子量表與總量表是間接關(guān)系.(3)演繹推理、合情推理各自與邏輯推理的相關(guān)程度高于演繹推理與合情推理的相關(guān)程度．說明各分量表之間有一定相對獨立性，且分量表又不能偏離總量表．以上結(jié)果表明，該量表的結(jié)構(gòu)是合理的．

3　調(diào)查結(jié)果

3.1　總體情況分析

問卷總分93，平均成績?yōu)?8.82(折合成百分值是52.49)，各個維度的均值和標準差見下表4．

表4　高中生邏輯推理能力基本情況

從表4可以看出，總體來看，全體被試的成績與試題平均分近似相等，說明高中學(xué)生的邏輯推理處于中等水平．其中類比推理成績大大低于測題的平均分，說明高中學(xué)生的類比推理水平處于低級狀態(tài)．

3.2　不同年級學(xué)生的差異分析

將參與測試的832個被試按年級分為3組，對不同年級做方差分析．

表5　方差齊性檢驗

表6　單因素方差分析

表6結(jié)果表明，邏輯推理在不同年級間無顯著性差異(p=0.685>0.05)，而假言推理(p=0.004)、歸納推理(p=0.037)和類比推理(p=0.000)存在顯著性差異．現(xiàn)對假言推理、歸納推理和類比推理做多重比較．

表7　多重比較

*.均值差的顯著性水平為 0.05．

表7的多重比較顯示，高一與高二、高一與高三假言推理能力存在有顯著性差異，高二與高三假言推理能力無顯著性差異；類比推理能力在三個年級之間都有顯著性差異；歸納能力在三個年級之間無顯著差異．

3.3　男女生的差異分析

按照男女性別對被試者劃分成兩組，并比較其各量表的得分．結(jié)果如表8所示：

表8　獨立樣本檢驗

表8結(jié)果顯示，男生的邏輯推理及其各維度測驗的平均分均比女生高，且在邏輯推理上男女之間存在著顯著差異．男女生在演繹推理上沒有顯著差異，(p=0.508>0.05)；在假言推理，命題演算和類比推理上，男女生都存在顯著差異．

4　討論

總體來看，全體被試的成績與試題平均分近似相等，說明高中學(xué)生的邏輯推理處于中等水平．其中類比推理成績大大低于測題的平均分，說明高中學(xué)生的類比推理水平處于低級狀態(tài)．這一現(xiàn)象與目前的高中學(xué)生所受到的高中數(shù)學(xué)教育還是相吻合的，類比推理本身比較難學(xué)，日常教學(xué)中接觸到的也不多，學(xué)生掌握的肯定有問題．

邏輯推理在不同年級間無顯著性差異，這個結(jié)果也有合理的成份，但又與人們常態(tài)認識不一致．說它合理是因為學(xué)生在高一就已經(jīng)學(xué)完了立體幾何，這是高中三年對學(xué)生培養(yǎng)邏輯推理能力最核心的內(nèi)容．但人們又往往會認為年級越高的學(xué)生，他們的邏輯推理能力會越強．而假言推理、歸納推理和類比推理存在顯著性差異，這個結(jié)果應(yīng)該是合理的，現(xiàn)有的高中教材在高二年級專門安排的一章“合情推理”的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生提升歸納推理、類比推理能力．多重比較顯示，高一與高二、高一與高三假言推理能力存在顯著性差異，高二與高三假言推理能力無顯著性差異；類比推理能力在三個年級之間都有顯著性差異；歸納能力在三個年級之間無顯著差異．男生的邏輯推理及其各維度測驗的平均分均比女生高，且在邏輯推理上男女之間存在著顯著差異．

男女生在演繹推理上沒有顯著差異；在假言推理，命題演算和類比推理上，男女生都存在顯著差異．這個結(jié)論與曾超做的研究基本吻合．學(xué)生經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，到了高中男女之間的差異確實已經(jīng)存在了，男女生在演繹推理上沒有顯著差異是正常的，因為現(xiàn)行的教材對學(xué)生的演繹推理能力要求并不高，而在假言推理，命題演算和類比推理這些新學(xué)習(xí)的內(nèi)容上，男女生存在顯著差異也是必然的．

5　結(jié)論

(1)高中學(xué)生的邏輯推理處于中等水平，高中學(xué)生的類比推理水平處于低級狀態(tài)；(2)邏輯推理在不同年級間無顯著性差異，而假言推理、歸納推理和類比推理存在顯著性差異；(3)高一與高二、高一與高三假言推理能力存在顯著性差異，高二與高三假言推理能力無顯著性差異；類比推理能力在三個年級之間都有顯著性差異；歸納能力在三個年級之間無顯著差異；(4)男生的邏輯推理及其各維度測驗的平均分均比女生高，且在邏輯推理上男女之間存在著顯著差異．男女生在演繹推理上沒有顯著差異；在假言推理，命題演算和類比推理上，男女生都存在顯著差異．

(致謝：本研究是在喻平教授團隊的支持下完成的，特別感謝吳妍翎和魏亞楠兩名研究生在數(shù)據(jù)處理方面所做的工作)