金小亞

【摘 要】概念形成和概念同化是教學數(shù)學概念的兩種常見的方式，它們對同一概念的教學其效果會有一定的不同。具體而言，以人教版中的“三角形”這一概念為例，先分析學生對三角形“前概念”的認知層次，再通過兩種不同教學方式的實際教學，比較得出不同教學方式所產(chǎn)生的教學效果，為概念教學提供依據(jù)。

【關鍵詞】概念形成；概念同化；三角形；對比研究

一、研究背景

概念形成和概念同化是教學數(shù)學概念的兩種常見的方式。[1]概念同化是指在教學中，利用學生已有的知識經(jīng)驗，以定義的方式直接提出概念，并揭露其本質(zhì)屬性，由學生主動地與原認知結構中的有關概念相聯(lián)系去學習和掌握概念的方式。[2]概念形成即通過創(chuàng)設情境從客觀實例引入，抽象共性特征，概括本質(zhì)特征，形成數(shù)學概念。[3]兩種教學方式與數(shù)學概念學習之間的關系見圖1。[4]

概念教學是一件復雜的事情。面對一個數(shù)學概念，采取何種教學方式更為有效，往往讓教師備感糾結。兩種不同的教學方式對同一概念的教學效果會有什么區(qū)別？筆者以人教版四年級下冊“三角形”概念的教學為例，進行了研究。

二、三角形“前概念”調(diào)查與分析

“前概念”指的是學生對將要學習的知識在先前的生活與學習過程中形成的一種認識與觀念。教學之前，我們先對學生的三角形“前概念”的情況進行調(diào)查。

（一）對三角形直觀認知的調(diào)查

三角形的概念是最低層次的直觀概念，只涉及直觀形狀，與圖形元素的性質(zhì)和形狀無關。[5]我們對浙江省東部沿海某鄉(xiāng)鎮(zhèn)中心小學四年級兩個班的學生（四甲班39人，四乙班43人，均使用人教版教材）進行了三角形直觀認知的調(diào)查，題目見圖2。

調(diào)查表明，97.6%的學生全部做出了正確判斷，92.7%的學生簡要說明了理由。說明學生基本上已經(jīng)從直觀層面認識了三角形。

（二）對三角形概念抽象表述的調(diào)查

三角形的定義是一個抽象的概念，反映的是三角形這一類幾何圖形的本質(zhì)屬性。人教版教材對三角形的定義是：由三條線段圍成（每兩條線段首尾相連）的圖形。

我們對同一批學生進行了三角形概念認知的調(diào)查，調(diào)查放在學習“三角形的認識”一課之前。調(diào)查內(nèi)容是：你認為什么是三角形？要求學生獨立完成，用文字表述。目的在于了解學生對三角形概念的抽象表述的情況，掌握三角形概念教學的難點。

按照SOLO（英文“Structure of the Observed Learning Outcome”的縮寫，意為“可觀察的學習成果結構”）水平分類的方法，我們把學生對三角形概念的認知分成五個層次，具體情況見表1。

從數(shù)據(jù)上看，兩個班學生對三角形概念認知的水平無顯著差異，其分布情況見圖3。

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，要求學生抓住三角形的本質(zhì)特征進行描述，并用規(guī)范的數(shù)學語言進行表達，對小學生來說是一件比較困難的事。學生對三角形概念認知的整體水平較低，能夠從“角”和“邊”兩方面對三角形進行描述的學生均只有三分之一左右，甚至極少有學生關注到“線段”這一概念。

三、兩種教學方式對同一概念的教學效果

（一）采用“概念同化”教學方式

“概念同化”是大多數(shù)教師習慣使用的一種教學方式。教學中一般由教師直接告知定義，再由學生接受、理解并納入自己原有的知識結構，進行記憶和運用?！案拍钔钡慕虒W過程比較簡明，能使學生比較直接地學習概念，被稱為“學生獲得數(shù)學概念的最基本的方式”。根據(jù)曹才翰教授描述的“概念同化方式學習概念的幾個階段”[6]，我們設計了教學程序并在四甲班進行了教學（下文中的楷體字系曹才翰教授給出的步驟）。

1.揭示概念的關鍵屬性，給出定義、名稱和符號。

課前預習，了解什么是三角形，三角形的各部分名稱，三角形的特性，三角形的底和高。

師：通過預習，我們知道了什么樣的圖形叫作三角形。

生：由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點首尾相連）叫作三角形。

師：請大家畫一個三角形，標出三角形的頂點、邊、角，然后給自己畫的三角形起個名字。（學生操作）

2.突出概念的本質(zhì)特性。

師：生活中有很多三角形的物體。（出示空調(diào)支架、健身器材、大橋等圖片）你能從圖中找出三角形嗎？（學生在屏幕上找）

師：這些物體的大小、形狀、材料都不相同，為什么都能叫作三角形呢？

生：它們都是由三條線段圍成的。

3.使新概念與已有認知結構中的有關觀念建立聯(lián)系，把新觀念納入到已有概念體系中，同化新概念。

師：三角形的定義中哪些詞最重要？請說說理由。

生：“3條”很重要，因為不是三條就不是三角形了。

生：“線段”也很重要，如果是直線就出頭了。

生：“圍成”也很重要，不圍成就不能說是三角形。（教師隨著學生的回答在關鍵詞下畫一條線）

師：為什么不說有三個角呢？

生：角的邊是射線，三角形的邊是線段。

師：看來，數(shù)學的定義是很嚴謹又很簡潔的，每一個詞都很重要！

教師指著（每相鄰兩條線段的端點首尾相連）這句話問：對這句話你怎么理解？你覺得這句話重要嗎？（學生疑惑）

師：（準備好三根小棒）誰能用這三根小棒擺一個三角形，并解釋一下這句話的意思？

學生操作，理解“每相鄰兩條線段的端點首尾相連”的意思。

4.用肯定例證與否定例證讓學生辨認，使新概念與已有認知結構中的相關概念分化。

判斷圖2中哪些是三角形，要求根據(jù)三角形的定義，說明理由。

5.把新概念納入到相應的概念體系中去，使有關概念融會貫通，組成一個整體。

師：我們能不能給四邊形也下一個定義？

生：由4條線段圍成的圖形。

生：要每相鄰兩條線段的端點首尾相連。

師：五邊形呢？

……

（二）采用“概念形成”教學方式

概念形成的教學方式，即讓學生經(jīng)歷概念的抽象、概括、表述的過程。這需要學生一是從許多事物、事件或情境中抽象出它們的共有特征，以便進行概括；二是要能夠辨別與概念相關或不相關的標志，以便進行區(qū)別歸類；三是要用數(shù)學語言表述概括的結果。概念的形成在本質(zhì)上是一種抽象過程，大多數(shù)數(shù)學概念都可以通過概念形成的方式而獲得。

根據(jù)曹才翰和蔡金法教授在《數(shù)學教育學概論》一書中對概念形成的一般過程的描述[7]，我們設計了如下教學過程并在四乙班進行了教學。

1.辨別各種刺激模式（生活引入）。

引入：觀看一些三角形物體的圖片，得出這些圖片中都有三角形的結論。

2.分化出各種刺激模式的屬性。

師：這些三角形的物體都一樣嗎？如果不一樣，哪里不一樣？

生：它們的材料不一樣，有的是鐵做的，有的是木頭做的。

生：大小不一樣，形狀也不一樣。

生：作用也不一樣。

3.概括出各個刺激模式的共同屬性，并提出它們的共同關鍵屬性的假設。

師：這些物體所用的材料不同，大小、形狀以及作用也都不同，為什么都可以叫作三角形呢？

學生思考、回答。教師根據(jù)學生的回答在圖片上進行指點，并擇其要點板書。

生：都有三個角。

生：都有三條邊。

生：邊都是直直的。

4.在特定的情境中檢驗假設，確認關鍵屬性。

師：我們雖然能夠辨別一個圖形是不是三角形，但要準確說出什么樣的圖形是三角形，還是有一定難度。請同學們想一想，剛才這些同學說得對嗎？如果不對，你能不能畫一個圖來說明他錯在哪里？

學生針對板書畫圖辨析，先獨立完成，再在小組內(nèi)交流后集體討論。如圖a有三個角，三條邊，但不是三角形。

5.概括，形成概念。

師：那么究竟什么是三角形呢？請同學們先畫一個三角形，邊畫邊思考：我畫了什么？是怎樣畫的？到底什么是三角形？（學生操作，思考，交流）

生：我畫了三條線段，把它們連在一起，就得到了三角形。

師：那么可不可以說，三條線段連在一起就是三角形？

生：不是，出頭了。

生：要把端點和端點連在一起。

師：所以，關于“圍成”，書本上是這樣解釋的（出示：每相鄰兩條線段的端點相連）?，F(xiàn)在我們一起來說說，什么是三角形？

生：由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連），叫作三角形。

6.把新概念的共同關鍵屬性推廣到同類事物中去。

師：請你在自己畫的三角形上或生活中的三角形上指一指，說說這個三角形是由哪三條線段圍成的。（學生操作）

……

（三）教后測試

兩個星期之后，我們對學生進行了后測。其間學生學習完了三角形單元的全部內(nèi)容，但沒有復習。測試題目不變：你認為什么是三角形？要求學生獨立完成，用文字表述。

后測情況見表2：

表2

[班級][（1）前結構層次：空白或錯誤表述][（2）單點結構層次：只關注到“角”或“邊”][（3）多點結構層次：從“角”“邊”等角度描述][（4）關聯(lián)結構層次：除“角”和“邊”外，還關注到其他特征][（5）抽象拓展層次：完整、正確地表述][甲][甲][甲][甲][甲][乙][乙][乙][乙][乙][12][1][21][18][4][15][3][4][3][1][人數(shù)][占比][3%][7%][10%][7%][38%][9%][46%][49%][3%][28%][“角是尖尖的，叫作三角形”1人。畫了一個三角形，1人。一個直角、兩個銳角，1人][空白，1人][具體解答情況][“有三條邊”4人][“有三個角”2人，“有三條邊”1人][“有三個邊、三個角、三個頂點”

][“有三個邊、三個角、三個頂點”

][除“有三條邊、三個角、三個頂點”外，提到有三條高的有4人，提到穩(wěn)定性的有9人，兩邊之和大于第三邊的有1人，用來“連接”的有2人，用了“圍成”的有7人，用了“封閉的”有1人][除“有三條邊、三個角、三個頂點”，用了“連接”的有2人，用了“封閉”的有2人，用了“圍成”的有14人，不斷開1人，圍住1人，圍著1人][由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）][層次]

前后測情況對比見圖4：

通過數(shù)據(jù)對比，我們可以看到，兩個班“單點結構層次（層次二）”的學生占比都大幅度下降。四甲班“多點結構層次（層次三）”的學生顯著上升，四乙班“抽象拓展層次（層次五）”的學生上升幅度較大。層次四的學生中，四甲班提及“連接”“圍成”“封閉”等詞的學生由0人增加到10人，四乙班由4人增加到11人。從三角形概念的教學來看，概念形成的教學方式在教學效果上要優(yōu)于概念同化的教學方式。

概念形成的核心是理解。數(shù)學概念的理解和掌握是一個漫長的、迂回的認知和實踐過程。概念同化的教學方式引入知識“短平快”，偏重于概念的邏輯結構教學，但忽略了知識發(fā)生過程的教學，容易造成部分中等生及學困生對概念理解不深。三角形的概念和小學生已有的數(shù)學概念不具有很強的關聯(lián)，屬于“弱抽象關系”，因而更適合于用概念形成的教學方式。概念形成教學方式能夠幫助學生從自我語言逐步過渡發(fā)展到借用數(shù)學語言來定義三角形概念，豐富概念表征類型，進而提高學生的數(shù)學概念辨別能力。

但在教學時間上，采用概念同化的教學方式用時約10分鐘，采用概念形成的教學方式則用了約17分鐘。人教版教材一般是把“三角形的定義”“三角形的高”“三角形的穩(wěn)定性”放在一個課時內(nèi)進行教學，教學內(nèi)容多，時間緊，這也是很多教師采用概念同化教學方式的一個重要原因。

四、研究體會

概念形成和概念同化在不同類型概念的教學上發(fā)揮著不同的作用。小學數(shù)學教材里一共有500多個數(shù)學概念，僅采用概念形成的教學方式，會降低概念獲得的效率，并且不容易使學生形成完整的概念體系。教無定法，貴在得法。章建躍指出：概念形成與概念同化并不是孤立存在的，而是有著密切的聯(lián)系。學習數(shù)學概念時，不能僅僅采取一種方式進行學習。[8]喻平教授也認為：學習新概念要采取不同的學習形式。對于某些概念，甚至要用兩種教學方式結合起來教學。[9]教學三角形的概念，概念形成的教學方式要優(yōu)于概念同化，但并不意味著本文的教學方式就是最優(yōu)方案。我們應該探究把兩種教學方式互相結合的教學方式，以使教學效果更好。

概念教學是數(shù)學教學中最基本也是最重要的任務之一。讓學生盡可能深入地理解概念的本質(zhì)，逐步學會用數(shù)學語言描述概念，是教學的努力方向；根據(jù)概念特點選擇合適的教學方式，幫助學生形成必要的數(shù)學能力和數(shù)學思想，是教師的教學追求。通過本研究，希望能夠幫助小學數(shù)學教師了解不同教學方式所產(chǎn)生的教學效果，并進一步反思自己的概念教學，把本次研究的方法拓展應用于自己的教學實踐，提升概念教學的理解層次和實踐水平，幫助學生更好地學習數(shù)學概念。

參考文獻：

[1]黃燦，駱洪才.論數(shù)學概念的認知[J].湘潭師范學院（自然科學版）. 2001（23）：88-89.

[2]鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社.2009： 120.

[3]邵光華，章建躍.數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J]. 課程·教材·教法，2009（7）：47-51.

[4]喻平.數(shù)學概念學習芻議[J].課程·教材·教法，1995（4）：30-32.

[5]同[2]：275.

[6]同[2]：121.

[7]同[2]：119.

[8]章建躍.數(shù)學概念的獲得[J].數(shù)學通報，1990（11）：2-15.

[9]同[4].

（浙江省臺州市路橋區(qū)桐嶼街道中心小學 318053）