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把握本質(zhì) 感受價(jià)值

2018-07-16 09:20程佳杰
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)史數(shù)形結(jié)合

程佳杰

【摘 要】數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究對(duì)象中兩個(gè)十分重要的方面,“數(shù)形結(jié)合”不僅是一種解題方法,而且是一種重要的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中要了解數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生與發(fā)展的背景,把握數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì),設(shè)計(jì)合理的教學(xué)環(huán)節(jié),使學(xué)生充分感受數(shù)形結(jié)合的價(jià)值,形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)史;思想價(jià)值

數(shù)形結(jié)合思想就是通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。這里的數(shù)與形既對(duì)立又統(tǒng)一,在一定條件下是可以轉(zhuǎn)化的。

北京教育學(xué)院劉加霞老師認(rèn)為,借助于直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法,但這一方法與數(shù)學(xué)意義上的“數(shù)形結(jié)合”方法的內(nèi)涵不一致,它至多只能是“數(shù)形結(jié)合”方法的雛形。在教學(xué)中,要充分了解數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生與發(fā)展的背景,把握這種思想的本質(zhì)。只有這樣,才能設(shè)計(jì)出合理的教學(xué)環(huán)節(jié),使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)思想的價(jià)值,形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)。本文就結(jié)合人教版六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)與形”例1的教學(xué),談一談這方面的體會(huì)。

一、打通“式”“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系,找到隱藏的規(guī)律

“數(shù)與形”例1的素材原型是古希臘的擬形數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究數(shù)時(shí),常常和平面上的點(diǎn)聯(lián)系起來(lái),按照點(diǎn)的形狀將數(shù)進(jìn)行分類,同時(shí)結(jié)合圖形的性質(zhì)來(lái)研究數(shù)的性質(zhì),這是一次成功的嘗試,由于“形”的介入,有力地推動(dòng)了“數(shù)”的發(fā)展。古希臘的擬形數(shù)有很多,常見的有三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等(如圖1)。

例1研究的是正方形數(shù),深入分析后不難發(fā)現(xiàn),這里要打通的是“代數(shù)式”“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系,因?yàn)椤皵?shù)形結(jié)合”中的“數(shù)”有時(shí)是一個(gè)數(shù),也可以是數(shù)量關(guān)系,還可以是一個(gè)代數(shù)式,進(jìn)入第三學(xué)段后,數(shù)形結(jié)合中的“數(shù)”更多的是以方程和函數(shù)式的形式出現(xiàn)。在例1 的素材中,代數(shù)式與正方形是一種對(duì)應(yīng)統(tǒng)一的關(guān)系,代數(shù)式中的每一項(xiàng)都能在正方形中找到對(duì)應(yīng)的那個(gè)“零件”,而這個(gè)式子加起來(lái)的和又與“形”中小正方形的總數(shù)相對(duì)應(yīng)。厘清了這些基本要素后,要考慮的是以怎樣的路徑切入,是由“數(shù)”到“形”呢,還是由“形”到“數(shù)”呢?經(jīng)過(guò)思考,我認(rèn)為由“形”到“數(shù)”更加合理,一是符合擬形數(shù)的產(chǎn)生背景,二是有利于學(xué)生自主探究活動(dòng)的實(shí)施。具體教學(xué)環(huán)節(jié)如下。

1.為學(xué)生提供大小一樣,4種顏色(紅色1個(gè),綠色3個(gè),黃色5個(gè),藍(lán)色7個(gè))共16個(gè)小正方形。并提出活動(dòng)要求:分一分、擺一擺,根據(jù)擺法寫出對(duì)應(yīng)的算式。

2. 學(xué)生完成后,教師組織反饋活動(dòng)。學(xué)生借助擺成的邊長(zhǎng)為4的正方形,得到了“1+3+5+7”和“4×4”之間的相等關(guān)系。把“4×4”改寫成“42”后,得到等式:1+3+5+7=42。

3.根據(jù)算式“1+3+5+7=42”和拼成的正方形,引導(dǎo)學(xué)生思考:你還想到了哪些問(wèn)題?學(xué)生很自然地想到:如果把這個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形再變大一些能得到怎樣的算式呢?或者再變小一些能得到怎樣的算式呢?在問(wèn)題引領(lǐng)下,學(xué)生進(jìn)一步開展探究活動(dòng),得到了下面的等式:

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9=52

1+3+5+7+9+11=62

……

4.引導(dǎo)學(xué)生找到規(guī)律,并準(zhǔn)確表述。

通過(guò)觀察、操作和思考,引導(dǎo)學(xué)生利用若干個(gè)數(shù)、式、形中存在的有限的規(guī)律,推理得到一般性結(jié)論,并進(jìn)行準(zhǔn)確的表述。

二、逐步提升問(wèn)題的難度,感受以形助數(shù)的價(jià)值

在學(xué)生找到了“數(shù)”與“形”之間的規(guī)律后,就需要讓他們?cè)趯?shí)踐運(yùn)用中體會(huì)“以形助數(shù)”的優(yōu)勢(shì)。這個(gè)環(huán)節(jié)安排了這樣三道習(xí)題。

第1題:1+3+5+7+9+11+13+15=( )2

第2題:1+3+5+7+……+( )=202

第3題:1+3+5+7+……+2017=( )2

這三道習(xí)題在難度上呈現(xiàn)層層遞進(jìn)的態(tài)勢(shì)。第1題的難度比較低,意圖是讓學(xué)生運(yùn)用第一環(huán)節(jié)的研究成果,初步感受數(shù)形結(jié)合的價(jià)值。第2題在第1題的基礎(chǔ)上增大了數(shù)據(jù),其目的是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形,發(fā)現(xiàn)拼成后的大正方形邊長(zhǎng)與最外層“┓”數(shù)量之間的關(guān)系。在正方形數(shù)中,最外層“┓”數(shù)量是一個(gè)很關(guān)鍵的數(shù)據(jù),因?yàn)樗鼪Q定了拼成的正方形的邊長(zhǎng),換言之,最外層“┓”數(shù)量決定了正方形的量化特征。通過(guò)查閱相關(guān)資料,我們了解到古希臘人也是循著這條路徑去研究的,他們把這個(gè)形狀稱作“磬折形”,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派很重視這方面的研究。因?yàn)檎业搅俗钔鈱印癌贰睌?shù)量與正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系就等于找到了一條連接“數(shù)”與“形”的快速通道。在尋找這條“通道”的過(guò)程中,加深了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想價(jià)值的理解。第3題在第2題的基礎(chǔ)上,繼續(xù)提升難度,增加數(shù)列的項(xiàng)數(shù),同時(shí)改變了思考方向,其目的還是引導(dǎo)學(xué)生借助對(duì)圖形的想象與思考,使其對(duì)最外層“┓”數(shù)量與正方形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系更加清晰,使學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合價(jià)值的體會(huì)更加深刻。

三、引導(dǎo)學(xué)生研究新的問(wèn)題,深化對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)

從數(shù)學(xué)文化的角度來(lái)講,數(shù)學(xué)文化最核心的內(nèi)容是數(shù)學(xué)的思想、精神和研究方法,那么,怎樣才能接近這些核心的部分呢?一條有效的途徑就是讓學(xué)生提出有價(jià)值的問(wèn)題并解決這個(gè)問(wèn)題,在思考和實(shí)踐的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的思想和方法?;谶@樣的思考,在學(xué)生通過(guò)探究活動(dòng)溝通了等差數(shù)列1,3,5,7……的和與正方形之間的關(guān)系后,引導(dǎo)學(xué)生思考:由此你還想到了什么問(wèn)題?果然是一石激起千層浪,學(xué)生提出了很多新的問(wèn)題,既然有正方形數(shù),是不是還有三角形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、梯形數(shù)等其他多邊形數(shù)呢?還有的學(xué)生則從數(shù)列的角度提出了:剛才研究了從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加與正方形有關(guān),那么從2開始的連續(xù)偶數(shù)相加可以擺成什么圖形呢?從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加又可以擺成什么圖形呢?雖然這些問(wèn)題是從兩個(gè)角度提出的,但有一點(diǎn)是一致的,那就是都在原有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,試圖去尋找更多的關(guān)于“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系,結(jié)合“形”的特征來(lái)得到更多“數(shù)”的性質(zhì)。這種想法與古希臘擬形數(shù)的產(chǎn)生背景和發(fā)展歷程是一致的,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的核心價(jià)值,是非常可貴的。

在學(xué)生提出了多個(gè)問(wèn)題后,讓學(xué)生選擇其中一個(gè)共同研究,大多數(shù)學(xué)生選擇了“從2開始的連續(xù)偶數(shù)的和可以擺成什么形狀”這個(gè)問(wèn)題。于是把這個(gè)問(wèn)題拿出來(lái)共同研究,為了激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)欲,把算式的末項(xiàng)定為2018,就得到了這樣的式題:2+4+6+8+……+2018=( )。學(xué)生在研究新問(wèn)題的過(guò)程中,果然遷移了上面的研究方法,也采用了擺一擺、畫一畫的方法。從第1項(xiàng)“2”開始,再到“2+4”,“2+4+6” ,“2+4+6+8”……學(xué)生依次畫出了這樣的圖形(如圖2),也有學(xué)生把小方塊簡(jiǎn)化為一個(gè)圓點(diǎn),畫出了這樣的圖形(如圖3)。

在此基礎(chǔ)上,學(xué)生開始關(guān)注最外層“┓”數(shù)量與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系,有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)最外層“┓”數(shù)量再加上1的話,就把右上角重疊的那一個(gè)補(bǔ)上了,就得到了長(zhǎng)與寬的和,因?yàn)槠闯珊蟮拈L(zhǎng)方形長(zhǎng)總是比寬多1,把得到的和拆成兩個(gè)連續(xù)自然數(shù),就得到了長(zhǎng)和寬。如圖2最右邊的長(zhǎng)方形中,最外層“┓”數(shù)量是8,加上1后得到9,把9拆成相鄰的兩個(gè)自然數(shù)得到4和5,4就是長(zhǎng)方形的寬,5就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng),于是得到總數(shù)為4×5=20。還有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)把最外層“┓”數(shù)量除以2就是寬,寬加上1就得到了長(zhǎng)。不管是哪一種方法,說(shuō)明學(xué)生都關(guān)注到了這個(gè)數(shù)列中的最大數(shù),因?yàn)檫@個(gè)數(shù)決定了拼成后的長(zhǎng)方形的量化特征。把這個(gè)規(guī)律一般化后,學(xué)生借助對(duì)圖形的想象和分析,很快找到了“2+4+6+8+……+2018=( )”的解決辦法。在上述過(guò)程中,有方法的遷移,也有思維的碰撞,更多的是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的感悟與運(yùn)用。

數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)通常是冰冷的,但是若能了解其發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程,就能更好地把握其本質(zhì),設(shè)計(jì)出合理的教學(xué)環(huán)節(jié),引發(fā)學(xué)生火熱的思考,讓學(xué)生在思考與實(shí)踐中感受數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力。

參考文獻(xiàn):

[1]劉加霞.“數(shù)形結(jié)合”思想及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透(上)[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2008(4).

[2]Mario Livio.數(shù)學(xué)沉思錄——古今數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與演變[M].黃征,譯.北京:人民郵電出版社,2010.

(杭州師范大學(xué)附屬乍浦實(shí)驗(yàn)學(xué)校 314201)

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