劉 艷

（呂梁學(xué)院汾陽(yáng)師范分校，山西汾陽(yáng)032200）

1 預(yù)備知識(shí)

隨機(jī)矩陣作為非負(fù)矩陣的一種，適用于非負(fù)矩陣的各種概念和結(jié)果。為了更容易理解隨機(jī)矩陣，我們首先介紹非負(fù)矩陣的有關(guān)概念和性質(zhì)。

定義1[1]設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Rm×n，如果對(duì)所有的i,j都有aij≥bij，則記為A≥B。如果對(duì)所有的i,j都有aij＞bij，則記為A＞B，特別的，如果A≥0，則稱(chēng)A為非負(fù)矩陣。如果A＞0，則稱(chēng)A為正矩陣。

我們用||A表示任意矩陣A=(aij)∈Cm×n的元素取模之后得到的非負(fù)矩陣，即 ||A=(||aij)；特別的，當(dāng)x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn時(shí)，||x=(||x1, ||x2,…, ||xn)T。

考慮n個(gè)隨機(jī)事件組S1,S2,…,Sn及時(shí)間序列t0,t1,t2,…,tn，如果在這些時(shí)刻的每一瞬間，這事件組有且只有一個(gè)能夠出現(xiàn)，如果在時(shí)刻tk-1出現(xiàn)的事件為Si，則Si在時(shí)刻tk出現(xiàn)的概率記為pij(i,j=1,2,…,n;k=1,2,…)。又假設(shè)條件概率pij(i,j=1,2,…,n)與下標(biāo)數(shù)k無(wú)關(guān)。

當(dāng)給出了有限事件的純馬爾科夫（Markov）鏈時(shí)，也就說(shuō)給出了條件概率矩陣P=(pij)n×n。對(duì)條件概率矩陣P=(pij)n×n，顯然有

引理1[2]若A為隨機(jī)矩陣，則其對(duì)應(yīng)于特征值1的Jordan塊均為一階的。

引理2[1]n階非負(fù)陣A為不可約的充分必要條件是(E+A)n-1＞0。

2 隨機(jī)矩陣的定義及有關(guān)結(jié)論

定義2[3]非負(fù)矩陣A=(aij)n×n稱(chēng)為一個(gè)隨機(jī)矩陣，如果A的每一行上的元素之和都等于1，從隨機(jī)矩陣的定義可知，隨機(jī)矩陣A有特征值1，并且與之對(duì)應(yīng)的有正特征向量Z=(1,1,…,1)T。反之，若每個(gè)非負(fù)的n階矩陣A有特征值1，并且對(duì)應(yīng)于1的特征向量為(1,1,…,1)T時(shí)，則A都是隨機(jī)矩陣。

定理1非負(fù)矩陣A=(aij)n×n為隨機(jī)矩陣的充分必要條件是矩陣A有特征值1，并且n維向量Z=(1,1,…,1)T是與1相應(yīng)的一個(gè)正的特征向量。

容易看出，隨機(jī)矩陣A的其他特征值的模都不超過(guò)1。因此，特征值1就成為了隨機(jī)矩陣A的極大特征值[4]。

下面介紹一種特殊的非負(fù)矩陣，即具有正極大特征值與對(duì)應(yīng)正特征向量的非負(fù)矩陣，它與定義2中的隨機(jī)矩陣具有密切關(guān)系。

定理2若非負(fù)矩陣A=(aij)n×n有正的極大特征值r=ρ(A)＞0，并且對(duì)應(yīng)于特征值r有正的特征向量Z=(z1,z2,…,zn)T＞0，則矩陣A能相似于數(shù)r與某個(gè)隨機(jī)矩陣P的乘積

也即，(B-1AB)∕r為隨機(jī)矩陣。

證由于

定義對(duì)角矩陣

及矩陣

因而

再結(jié)合式（3）可得

因此，P為隨機(jī)矩陣，并且有A=B(rP)B-1，證畢。

3 隨機(jī)矩陣A的冪序列{Am}的收斂性

在實(shí)際應(yīng)用中，常常需要考慮隨機(jī)矩陣A的冪序列{Am}的收斂性。

定理3設(shè)A為n階隨機(jī)矩陣，則A的冪序列{Am}收斂的充分必要條件是A的不等于1的特征值的模均小于1。

證明由引理1，A的對(duì)應(yīng)于特征值1的Jordan塊均為一階的.于是存在可逆陣P使得

其中，Ji(λi)是Jordan塊；λi≠1, ||λi＜1,i=1,2,…,l，則對(duì)于任意正整數(shù)m，有

由式（7）可知，A的冪序列{Am}收斂的充分必要條件是λi≠1,|λi|＜1,i=1,2,…,l。證畢。

下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明定理3的應(yīng)用。

例考慮3個(gè)高校間的人才流動(dòng)問(wèn)題。設(shè)甲、乙、丙3個(gè)高校各有專(zhuān)業(yè)人才分別為200人，600人，1 000人，教育行政主管部門(mén)要求每年每個(gè)單位把所有人才各分一半與其他兩個(gè)單位交流。問(wèn)明年、后年3個(gè)高校的人才分布情況如何？多年后各單位的人才期望值是多少?

解我們用分別表示第k年甲，乙，丙3個(gè)單位的人才數(shù)，則表示一個(gè)具有三個(gè)狀態(tài)的齊次Markov鏈，它的轉(zhuǎn)移矩陣和初始分布向量分別為

并且πk滿足

于是

由于P的特征值為，從而由定理3可知，lki→m∞Pk存在。事實(shí)上

令k→∞，對(duì)式（8）兩邊取極限可得

式（9）即說(shuō)明多年后，甲、乙、丙3個(gè)單位的人才數(shù)為一穩(wěn)態(tài)的分布向量

此外，由于E+P＞0從而(E+P)2＞0，由引理2可知，P是不可約的非負(fù)矩陣。