苑曉杰

摘 要：本文以測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)實(shí)驗(yàn)為例，在胡克定律原理與測(cè)量振動(dòng)周期兩種不同的實(shí)驗(yàn)方法下，用逐差法、線性擬合法、最小二乘法三種不同的數(shù)據(jù)處理方法做橫向與縱向的比較分析，研究在不同的實(shí)驗(yàn)方法下用不同的數(shù)據(jù)處理方法所得值的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：彈簧勁度系數(shù) 逐差法 線性擬合法 最小二乘法

引言

測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)有不同的實(shí)驗(yàn)方法，例如用集成霍爾傳感器、新型焦利稱、氣軌上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)等測(cè)定彈簧的勁度系數(shù)，但是把這些整合在一起作比較的內(nèi)容很少，筆者力圖通過以測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)為例，在胡克定律原理與測(cè)量振動(dòng)周期兩種不同的實(shí)驗(yàn)方法下用逐差法、線性擬合法、最小二乘法三種不同的數(shù)據(jù)處理方法，做橫向與縱向的比較分析，研究在不同的實(shí)驗(yàn)方法下用不同的數(shù)據(jù)處理方法所得到的誤差何時(shí)可以最小。[1]

一、實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法原理

1. 實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法

（1） 胡克定律法原理

胡克定律原理：彈簧在發(fā)生形變時(shí)，彈簧的彈力F和彈簧的形變量（伸長(zhǎng)量或壓縮量）△x成正比，即F= -k·△x。其中k是勁度（倔強(qiáng)）系數(shù)。 在此實(shí)驗(yàn)中，通過測(cè)量施加給彈簧的負(fù)載重量，以及相應(yīng)的形變量，在多次實(shí)驗(yàn)下測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)。[2]

方法：在鐵架臺(tái)上掛一空彈簧，利用“三線對(duì)齊”（即反光鏡A上的水平刻線、玻璃管B的水平刻線和玻璃管水平刻線在反光鏡C中的像重合）的方式記錄此時(shí)的刻度x，然后每次增加一個(gè)砝碼，記錄一次它的刻度值。每次增加的砝碼的質(zhì)量是一樣的，測(cè)量六次。

實(shí)驗(yàn)中使用的砝碼和彈簧情況如下：砝碼：共5只，空托盤的編號(hào)記為1，其余五次編號(hào)為2、3、4、5、6。

質(zhì)量分別為0、40g、60g、80g、100g、120g。

（2）約利稱法原理

設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，懸掛的負(fù)載的質(zhì)量為m， 為彈簧自身的質(zhì)量，彈簧的振動(dòng)周期的公式為 ，

2. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

（1）逐差法原理

由于隨機(jī)誤差具有抵償性，多次測(cè)量求平值可以減少這種誤差，但是，當(dāng)自變量與因變量成線性關(guān)系時(shí)，對(duì)于自變量等間距變化的多次測(cè)量，會(huì)使中間測(cè)量的數(shù)據(jù)由于兩兩抵消，而失去求平均值的意義。為了彌補(bǔ)這種缺憾，可以將測(cè)量得到的數(shù)據(jù)按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組， 先求出兩組中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的差值，后取平均。[3]

設(shè)已知x ， y 為線性關(guān)系： y= bx+a， 其中a ， b 為待定常數(shù)，測(cè)量n組x、y的值，取偶數(shù)n =n，或n =n-1，將n 組數(shù)據(jù)分成兩半，分別求

以上過程討論的要求是：

①測(cè)量值 的誤差對(duì)a、b的影響，遠(yuǎn)小于 的誤差影響；

②原則上要求因變量 的誤差互不相關(guān)且分布特征大致相同，如標(biāo)準(zhǔn)偏差 大致相同。[5]

二、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理

三、計(jì)算結(jié)果的比較分析

1.相同方法測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，不同數(shù)據(jù)處理方法所得結(jié)果的比較分析

（1）胡克定律法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結(jié)果分析

在此實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法下，由 得，截距越接近零值，測(cè)量結(jié)果是越準(zhǔn)確的，用逐差法、線性擬合法、最小二乘法分別得到的截距 ①， ， ，并且從后兩種方法的相關(guān)系數(shù) 1，以及最小二乘法在只能保留小數(shù)點(diǎn)后四位的程度下 ，均可得出逐差法相對(duì)而言是誤差較大的一種方法，比較截距可以得出線性擬合法是這三種方法當(dāng)中較為準(zhǔn)確的一種方法。

（2）約利稱法：用逐差法，線性擬合法，最小二乘法所得結(jié)果分析

在此實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法下，由 得，在線性擬合法與最小二乘法的計(jì)算情況下，所得的相關(guān)系數(shù)分別為：

1， ，可得出最小二乘法的相關(guān)系數(shù)更接近1，但相差不大（ ）。

2.不同方法測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，相同數(shù)據(jù)處理方法所得結(jié)果的比較分析

（1）線性擬合法：胡克定律法與約利稱法所得結(jié)果的比較分析

胡克定律和約利稱方法測(cè)量下的到的相關(guān)系數(shù)分別是：

。

標(biāo)準(zhǔn)偏差分別是：

， 比 更接近1， 比 更接近0，由此可以看出胡克定律的測(cè)量方法所得結(jié)果更接近真實(shí)值。

（2）最小二乘法：胡克定律法與約利稱法所得結(jié)果的比較分析

胡克定律方法測(cè)量下得到的相關(guān)系數(shù)分別是：

y和k的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別是：

， ，從二者比較可以看出胡克定律的測(cè)量方法所得結(jié)果更接近真實(shí)值，誤差較小。

結(jié)語

1.在胡克定律法測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，線性擬合法是誤差最小，測(cè)量結(jié)果最接近真實(shí)值的；逐差法的誤差是相對(duì)線性擬合法和最小二乘法誤差較大的一種處理數(shù)據(jù)的方法。在逐差法中，根據(jù)結(jié)果分析，約利稱法比利用胡克定律原理測(cè)量得到的值更準(zhǔn)確。在手寫計(jì)算時(shí)，逐差法是相對(duì)簡(jiǎn)單、快速的方法，但在有計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的時(shí)代，它的優(yōu)點(diǎn)就沒有那么突出.

2.在約利稱的實(shí)驗(yàn)方法下，最小二乘法比線性擬合法更接近真實(shí)值，但相關(guān)系數(shù)相差不大。

3.在1和2結(jié)論的基礎(chǔ)上，并不能說明線性擬合法和最小二乘法哪一種方法更好，還要考慮到實(shí)驗(yàn)用的具體測(cè)量方法，因此在選擇測(cè)量方法時(shí)，要根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)原理，選擇合適的數(shù)據(jù)處理方法，才能盡可能讓誤差最小。在本次研究中，在胡克定律的原理下用線性擬合法誤差較小，在約利稱法的實(shí)驗(yàn)中，用最小二乘法誤差較小。

4.從橫向進(jìn)行比較，即在相同的數(shù)據(jù)處理方法下，利用胡克定律原理下線性擬合的處理方法最為準(zhǔn)確。胡克定律法比約利稱法更接近真實(shí)值。

原因分析：約利稱法測(cè)量過程中，誤差相對(duì)較大。誤差主要體現(xiàn)在秒表測(cè)周期時(shí)的讀數(shù)誤差、彈簧初始位置的不一致以及彈簧作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)與鏡面的摩擦、負(fù)載較大時(shí)上下振動(dòng)時(shí)略偏離豎直方向等造成的。而在利用胡克定律的實(shí)驗(yàn)中，讀數(shù)時(shí)彈簧是靜止的，干擾因素較少，因此相比較而言，誤差較小，勁度系數(shù)更接近真實(shí)值。

5.綜上，最接近彈簧勁度系數(shù)的真實(shí)值的是k=7.9242N/m.

附錄

①文中出現(xiàn)的任意字母的下標(biāo)含義： 中當(dāng) 時(shí)表示在第一種胡克定律或第二種約利稱的測(cè)量方法下，當(dāng) 時(shí)，分別表示在第一種逐差法測(cè)量方法下，第二種線性擬合法的測(cè)量下，以及第三種最小二乘法的測(cè)量方法下。例如： 表示的含義是在利用胡克定律的測(cè)量中，用線性擬合法測(cè)得的相關(guān)系數(shù)。

參考文獻(xiàn)

[1]楊述武，趙立竹，沈國土主編.普通物理實(shí)驗(yàn)1力學(xué)、熱學(xué)部分.4版.高等教育出版社，2007.12

[2]鄒樂強(qiáng).最小二乘法原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.科技信息.職校論壇.2010年第23期

[3]呂大韻.逐差法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的討論.武漢交通科技大學(xué)基礎(chǔ)課部.物理通報(bào).1999年第10期

[4]焦麗鳳，陸申龍，曹正東.用集成開關(guān)型霍爾傳感器測(cè)定彈簧的勁度系數(shù).物理實(shí)驗(yàn)（第20卷 第11期）

[5]軒植華.回歸法與作圖法求解實(shí)驗(yàn)方程之比較.科技大學(xué)與應(yīng)用物理系.2000.20（20）