李曉斌，張 勇

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學院，陜西渭南 714099；2.西南交通大學土木工程學院，成都 610031)

近年來，隨著我國軌道交通建設的高速發(fā)展，高鐵和地鐵引發(fā)的環(huán)境振動和噪聲問題也日益嚴重。在軌道的結(jié)構(gòu)振動中，鋼軌是主要的振動源，也是主要的噪聲輻射源[1]。鋼軌作為車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)的直接接觸部分，其振動形態(tài)不僅影響輪軌的接觸狀態(tài)，而且直接關(guān)系到輪軌系統(tǒng)和軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)行車安全、振動控制及結(jié)構(gòu)可靠性能[2]。隨著高速鐵路運行速度的提高，其引起的輪軌激振頻率也在不斷提高，由此也引發(fā)了一系列諸如鋼軌波磨、多邊形車輪磨耗等高頻振動病害問題。為了更有效地控制高速鐵路鋼軌振動及其引起的輻射噪聲以及與鋼軌振動有關(guān)的諸多鋼軌病害，必須掌握鋼軌在各個頻率振動的特點及傳遞特性。

扣件系統(tǒng)作為鋼軌和軌枕(或其他軌下基礎)的聯(lián)結(jié)件，其力學性能直接影響著鋼軌的振動特性。國內(nèi)外許多學者從不同的角度建立了鋼軌-扣件系統(tǒng)模型，研究扣件系統(tǒng)參數(shù)對鋼軌振動特性的影響[3-7]。而這些研究均將扣件系統(tǒng)考慮為一個無質(zhì)量的剛度-阻尼系統(tǒng)。事實上，提供扣件系統(tǒng)剛度和阻尼特性的是彈性墊板，一般由高分子聚合而成，其動態(tài)剛度和阻尼特性與頻率和溫度密切相關(guān)，而且溫度和頻率對其動力性能的影響在一定程度上表現(xiàn)出相似性[8]。上述等效剛度-阻尼系統(tǒng)只能在低頻范圍內(nèi)近似描述彈性墊板力學性能，無法準確描述扣件系統(tǒng)動力特性的頻變和溫變特性，更無法揭示鋼軌的高頻振動特性。因此，要想精確地研究鋼軌-扣件系統(tǒng)在寬頻范圍內(nèi)的振動情況，必須考慮扣件系統(tǒng)力學性能的頻變和溫變特性。

本文采用分數(shù)階KV模型表征扣件系統(tǒng)彈性墊板的頻變動力性能，并基于分數(shù)階KV模型建立了鋼軌-扣件系統(tǒng)振動模型，采用格林函數(shù)法計算了不同溫度下鋼軌在0～3 000 Hz頻率范圍內(nèi)的振動和傳遞特性，并與等效剛度-阻尼系統(tǒng)(普通KV模型)進行了對比。研究旨在為準確評估鋼軌寬頻振動特性，進一步研究高速鐵路鋼軌振動和噪聲控制及其他振動相關(guān)問題提供理論依據(jù)。

1 扣件系統(tǒng)溫頻變力學特性及其本構(gòu)模型

扣件系統(tǒng)主要由扣壓件和彈性墊層等部件組成，扣件系統(tǒng)的力學性能由彈性墊層提供。彈性墊層屬于高分子黏彈性材料，其動力性能具有強烈的頻率和溫度依賴性。為準確描述扣件彈性墊板的寬頻域、寬溫域動力特性，必須建立反映扣件彈性墊板黏彈性特性的數(shù)學模型。

目前，能夠描述彈性墊板溫頻變特性的模型主要包括經(jīng)驗模型和本構(gòu)模型。經(jīng)驗模型是基于實驗數(shù)據(jù)的曲線擬合。首先根據(jù)實驗曲線構(gòu)造相應的函數(shù)式，然后求解函數(shù)參數(shù)。楊松等[9]基于黏彈性材料的力學性能，研究了ZN-17黏彈性材料動力特性隨溫度、頻率的變化規(guī)律，并根據(jù)實驗結(jié)果用指數(shù)函數(shù)擬合出了黏彈性材料動態(tài)特性的數(shù)學表達式。這種方法擬合精度高，但模型缺乏物理理論依據(jù)，參數(shù)也沒有明確的物理意義[10-11]。本構(gòu)模型是根據(jù)高分子材料的黏彈性本構(gòu)關(guān)系推導出動力特性與溫度、頻率等關(guān)系的一種模型，主要是以傳統(tǒng)機械模型或分數(shù)導數(shù)模型為基礎的一系列衍化模型。Lin等[12]采用標準機械模型與橡膠的分子結(jié)構(gòu)相結(jié)合建立模型，準確地描述橡膠的剛度和阻尼特性，但存在需辨識的參數(shù)多，計算量大等問題。周雄等[13]采用分數(shù)階KV模型描述了硫化橡膠在不同溫度和較寬頻率范圍內(nèi)的動態(tài)力學行為。分數(shù)導數(shù)模型因僅用少量參數(shù)即可描述材料的黏彈性而廣受學者青睞。本文將采用分數(shù)階KV模型描述扣件系統(tǒng)的溫頻變動力特性。分數(shù)階KV模型和普通KV模型如圖1所示，時域本構(gòu)方程分別見式(1)和式(2)。

(1)

F=Kαx+Cαxα

(2)

圖1 扣件系統(tǒng)力學本構(gòu)模型

2 鋼軌扣件系統(tǒng)動力學模型

將鋼軌視為彈性Euler梁，通過扣件系統(tǒng)直接與基礎連接，如圖2所示?？奂到y(tǒng)分別采用普通KV模型和分數(shù)階KV模型模擬，在頻域內(nèi)建立鋼軌扣件系統(tǒng)垂向動力學微分方程，然后采用格林函數(shù)法求解鋼軌運動偏微分方程，可得到鋼軌的點導納和任意位移導納。

圖2 鋼軌扣件系統(tǒng)示意圖

2.1 離散彈性支承軌道模型

設鋼軌為由N個扣件支撐的Euler梁，x為鋼軌縱向坐標/m，zr(x，t)為t時刻時x處鋼軌的垂向位移/m，則鋼軌的振動微分方程可表示為

Pjeiωtδ(x-xj)

(3)

式中，mr為單位長度鋼軌質(zhì)量，kg；E為彈性模量，MPa；I為鋼軌截面慣性矩，m4；Frsi為第i個扣件對鋼軌的作用力，N；Pj為作用在鋼軌xj位置的激振力幅值，N；δ(x)為Dirac函數(shù)。

扣件系統(tǒng)采用普通KV模型和分數(shù)階KV模型模擬時，扣件力Frsi的表達式分別如式(4)和式(5)所示。

(4)

(5)

采用分離變量法，可將鋼軌的位移響應表達為

zr(x，t)=Zr(x)eiωt

(6)

由式(3)～式(6)，可得到如下方程

(7)

2.2 建立目標函數(shù)

采用格林函數(shù)法求解彈性鋼軌Euler梁的振動。設格林函數(shù)G(x，ξ)為單位力作用點在ξ時在x處鋼軌的振動響應，則由式(7)可得

(8)

由疊加原理可知，鋼軌在任意x處的垂向位移響應為

(9)

式中，F(xiàn)(ξ)為作用在ξ處的合力。

根據(jù)式(7)和式(9)可得到

(10)

根據(jù)Dirac分布函數(shù)性質(zhì)，可知在x處的鋼軌垂向位移響應為

PjG(x，xj)

(11)

由式(11)可得任意一點處的鋼軌垂向位移響應應為每個軌枕上方鋼軌垂向位移響應的疊加，則N個軌枕上方的鋼軌垂直位移響應為

PjG(xl，xj)l=1，2，…，N

(12)

設Gi，j為第j個軌枕處的單位力作用在第i個軌枕上方產(chǎn)生的鋼軌響應，則式(12)可以用矩陣形式表示為

(INN+Gr)Zr=GjPj

(13)

式中，INN為N×N維的單位矩陣；Zr為軌枕上方鋼軌垂向位移向量；Gr為軌枕處格林函數(shù)矩陣；Gj為激勵作用處格林函數(shù)矩陣。

根據(jù)式(8)及Euler梁在ξ處的連續(xù)性條件得到離散支承彈性軌道模型基于格林函數(shù)法的精確解為[14]

(14)

結(jié)合式(9)和式(14)可得任意位置xi處鋼軌垂向位移Zr(xi)。設激振力為單位力，可得到鋼軌的位移導納為

(15)

3 鋼軌扣件系統(tǒng)鋼軌振動特性

為分析扣件系統(tǒng)溫頻變動力特性對鋼軌振動特性的影響，本文選用60 kg/m鋼軌、Vossloh 300扣件系統(tǒng)、支承間距為0.6 m的參數(shù)，建立了鋼軌扣件系統(tǒng)動力學模型，在相鄰兩扣件中部對鋼軌施加單位簡諧荷載，分別計算考慮扣件系統(tǒng)溫頻變特性(分數(shù)階KV模型)和不考慮扣件系統(tǒng)溫頻變特性(普通KV模型)工況下不同頻率鋼軌的位移導納，研究扣件系統(tǒng)的頻變和溫變動力特性對鋼軌振動特性的影響。本文采用的鋼軌模型參數(shù)和扣件模型參數(shù)如表1和表2所示。

表1 鋼軌模型參數(shù)取值

表2 扣件系統(tǒng)模型參數(shù)

3.1 扣件頻變特性的影響

計算20 ℃扣件系統(tǒng)分別采用普通KV模型和分數(shù)階KV模型時鋼軌振動位移導納，可得到激勵位置處鋼軌位移導納隨頻率變化的曲線，如圖3所示。在不同頻率鋼軌的振動中，存在兩種典型頻率振動：鋼軌垂向共振和鋼軌pinned-pinned振動。其中，鋼軌發(fā)生垂向共振時，鋼軌從激勵點兩側(cè)開始上翹，此時頻率對應圖中的第一個峰；鋼軌的pinned-pinned振動指兩根軌枕之間鋼軌受到激勵后產(chǎn)生機械波的節(jié)點剛好在軌枕支承處，其一階pinned-pinned振動頻率對應圖中的第二個峰。

從圖3可以看出，考慮扣件系統(tǒng)頻變特征后，鋼軌的共振頻率由144 Hz后移到179 Hz，增大24.3%，其對應的位移導納由1.94×10-8m/N變動為3.69×10-8m/N，增大90.2%。根據(jù)文獻[7]，鋼軌共振頻率只與鋼軌單位長度質(zhì)量和單位長度軌下分布剛度有關(guān)。結(jié)合圖3分析認為，扣件剛度隨頻率的增大而增大，導致鋼軌共振頻率的后移；然而，考慮扣件特性后鋼軌的一階pinned-pinned振動與不考慮扣件頻變特性完全一致，頻率和位移導納均為1 443 Hz和7.67×10-9m/N，是因為鋼軌梁模型垂向pinned-pinned振動頻率只與鋼軌自身特性有關(guān)，與軌下支承無關(guān)。同時也發(fā)現(xiàn)，考慮扣件頻變特性后，鋼軌在500 Hz的振動受頻率影響較大，有較強的頻率敏感性，這是因為高頻時扣件系統(tǒng)阻尼很小，對高頻能量的消耗能力減弱，鋼軌振動加劇。

圖3 激勵處鋼軌位移導納

結(jié)合CRH380系列列車參數(shù)，根據(jù)鋼軌在不同頻率下振動的計算結(jié)果，提取激勵點以及距激勵點2.5、17.5、20 m四個不同位置截面的垂向位移導納，分析鋼軌振動在沿長度方向傳遞過程中的變化及其對列車其他輪對的影響。計算結(jié)果如圖4所示。可以看出，不管是否考慮扣件頻變特性，隨著距加載點距離的增大，鋼軌位移導納減小，鋼軌振動沿長度方向發(fā)生衰減。值得注意的是，當大于鋼軌共振頻率時，鋼軌振動衰減明顯減小，可見，沿長度方向，鋼軌對小于鋼軌共振頻率的振動衰減較好，對大于共振頻率振動的衰減較差，并且對鋼軌pinned-pinned振動無影響。

圖4 距加載點不同位置時鋼軌位移導納

3.2 扣件溫變特性的影響

計算不同溫度下鋼軌振動沿長度方向的傳遞特性，可分析扣件系統(tǒng)溫變特性對鋼軌振動及其傳遞特性的影響。這里給出20、-10、-30 ℃下鋼軌激勵處和距激勵點20 m處的鋼軌位移導納，如圖5所示。就鋼軌激勵處鋼軌振動情況來看，隨著溫度降低，鋼軌位移導納隨頻率變動曲線向右下方移動，其共振頻率由20 ℃的179 Hz，增大到-10 ℃的224 Hz，增大到-30 ℃的294 Hz，而位移導納由20 ℃的3.69×10-8m/N，減小到2.03×10-8m/N，減小到1.16×10-8m/N。溫度降低后，扣件系統(tǒng)的剛度的增大引起鋼軌共振頻率升高，阻尼的增大提高了扣件系統(tǒng)的耗能性能，引起鋼軌位移導納減小。

對比鋼軌激勵處和距激勵點20 m處的鋼軌位移導納可以發(fā)現(xiàn)，當激振頻率小于共振頻率時，溫度對距加載點20 m處鋼軌的位移導納基本無影響，而當激振頻率大于共振頻率時，距激勵點20 m位置鋼軌位移導納隨溫度的降低而減小。

圖5 不同溫度下模型激勵處鋼軌位移導納

4 結(jié)論

本文考慮了扣件系統(tǒng)的頻變和溫變特性，基于鋼軌扣件系統(tǒng)動力學模型和格林函數(shù)法推導了頻域內(nèi)鋼軌任意位置位移導納，分析了扣件系統(tǒng)頻變和溫變特性對鋼軌振動及其沿鋼軌長度方向的傳遞特性的影響，克服了以往鋼軌振動分析不考慮扣件系統(tǒng)頻變和溫變特性的不足。所得結(jié)論和建議如下。

(1)扣件系統(tǒng)的剛度和阻尼具有強烈的頻率和溫度敏感性。在一定頻率范圍內(nèi)，扣件剛度隨頻率增大而增大，阻尼隨頻率增大而減小。在一定溫度范圍內(nèi)，扣件剛度和阻尼均隨溫度的降低而增大。

(2)扣件系統(tǒng)頻變特性不僅會增大鋼軌共振頻率，而且加劇鋼軌大于共振頻率的高頻振動響應。忽略鋼軌的頻變特性會嚴重低估鋼軌的高頻振動，因此，在鋼軌高頻振動特性研究中，扣件系統(tǒng)頻變特性不可忽略。

(3)扣件系統(tǒng)溫變特性會使鋼軌位移導納隨頻率變動曲線整體向右下方移動。低溫有助于減弱鋼軌小于共振頻率的低頻振動響應，但會增加鋼軌大于共振頻率的高頻振動響應。就高速鐵路而言，線路跨越溫區(qū)大，在設計和施工時應考慮扣件彈性墊層的溫變特性對鋼軌振動及行車性能的影響。